基于D－H矩陣的球面5R并聯(lián)機構(gòu)誤差建模及靈敏度分析

李永泉 張立杰 郭志民 郭 菲

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

0 引言

按照機構(gòu)誤差源分類，機構(gòu)誤差包含原理誤差、制造誤差、使用誤差、測量誤差［1］，而并聯(lián)機器人機構(gòu)的主要誤差來源取決于制造誤差［2］，即各主要零部件加工、裝配誤差，這些誤差是導(dǎo)致球面機構(gòu)各轉(zhuǎn)動副軸線和球心之間產(chǎn)生偏差的主要原因。球面機構(gòu)的特點是各轉(zhuǎn)動副軸線匯交于一點（球心），以保證輸出精度，如果匯交偏差過大，球面機構(gòu)就演變成為普通的空間機構(gòu)，失去了球面機構(gòu)特性。為此，減小各轉(zhuǎn)動副軸線和球心之間的偏差至關(guān)重要，但相關(guān)的研究文獻(xiàn)很少。文獻(xiàn)［2］利用空間矢量鏈分析法研究了3－RRR并聯(lián)數(shù)控回轉(zhuǎn)臺的精度分析問題，文獻(xiàn)［3］利用微分法建立了3－RRR擬人肩關(guān)節(jié)的幾何誤差模型，但文獻(xiàn)［2－3］只分析了球面機構(gòu)的姿態(tài)誤差，沒有對其進(jìn)行相應(yīng)的位置誤差分析，同時也沒有考慮球面機構(gòu)各轉(zhuǎn)動副軸線和球心之間的偏差，而該誤差在實際的球面機構(gòu)加工和裝配過程中是不可避免的。為此，本文基于D－H參數(shù)，采用環(huán)路增量法［1］對球面5R并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行誤差分析，同時得到了球面機構(gòu)的位置誤差和姿態(tài)誤差模型，最后進(jìn)行了靈敏度分析。

1 球面5R并聯(lián)機構(gòu)簡介

球面并聯(lián)機構(gòu)中最簡單的結(jié)構(gòu)形式是球面二自由度5R并聯(lián)機構(gòu)，它具有重要的實際應(yīng)用價值，如作為球面上點的定位設(shè)備［4－5］以及衛(wèi)星信號自動跟蹤設(shè)備［6］等。

如圖1所示，該并聯(lián)機器人選取廣義參考點P作為輸出，具有沿球面曲線移動的2個自由度，它通過2個串聯(lián)3R運動鏈分支PB1A1、PB2A2與固定平臺弧A1A2連接，該機構(gòu)所有運動鏈的轉(zhuǎn)動副軸線皆匯交于球心O點。各轉(zhuǎn)動副軸線間夾角（即第i連桿圓心角）分別為αi（i＝1，2，…，5），相鄰連桿間夾角分別為θi，其中θ1、θ5為驅(qū)動角。固連在第i連桿上的局部坐標(biāo)系（簡稱i系）原點皆為球心O點，xi軸沿各轉(zhuǎn)動副軸線方向，yi軸位于i連桿所在平面上且在實體桿一側(cè)，zi軸垂直于對應(yīng)連桿所在平面，構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系?；鴺?biāo)系與Ox5y5z5重合。令OP與z5軸夾角為φ，OP在Ox5y5平面上的投影與x5軸正向的夾角為φ。

圖1 球面5R并聯(lián)機構(gòu)

2 誤差模型的建立

2.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)及其幾何誤差源的確定

采用D－H參數(shù)［1］表示球面5R并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與i連桿相關(guān)的D－H參數(shù)為轉(zhuǎn)角θi、偏置di、扭角αi、桿長ai，如圖2所示。由球面5R并聯(lián)機構(gòu)的特點可知，各轉(zhuǎn)動副軸線皆匯交于球心O點，即ai＝0，di＝0，由文獻(xiàn)［1］可知，扭角αi即為各連桿對應(yīng)的圓心角（連桿參數(shù)），轉(zhuǎn)角θi即為相鄰各連桿間夾角，其中，θ1、θ5為驅(qū)動關(guān)節(jié)運動參量，θ2、θ3、θ4為從動關(guān)節(jié)運動參量，如圖1所示。用dαi表示機構(gòu)的連桿參數(shù)誤差，用dθi表示運動參量誤差。在實際的球面5R機構(gòu)中，由于存在加工誤差、裝配誤差，要保證5個轉(zhuǎn)動副軸線精確地匯交于球心O點是不可能的，雖然ai、di的名義尺寸為零，但它們的誤差不為零，此處用ddi表示各轉(zhuǎn)動副軸向間隙量，dai表示各轉(zhuǎn)動副軸間距誤差（包括各轉(zhuǎn)動副間隙誤差），則各轉(zhuǎn)動副軸線和球心之間的偏差由ddi和dai共同體現(xiàn)。

圖2 D－H參數(shù)圖

2.2 基于環(huán)路增量法［1］構(gòu)建誤差模型

球面5R并聯(lián)機構(gòu)的封閉環(huán)方程可以寫為

其中，Ti為基于D－H參數(shù)的相鄰i連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣，即

對式（1）進(jìn)行時間變量微分得

式中，Δi為i連桿在i系中的位姿誤差［1］；S（δi）為δi的反對稱矩陣［7］；δi為第i連桿相對于自身坐標(biāo)系的微分轉(zhuǎn)動；di為第i連桿相對于自身坐標(biāo)系的微分平動。

將式（3）代入式（2），聯(lián)立式（1）整理后得

式（5）中各項對應(yīng)元素之和為零，等價于下列兩個矢量方程：

式（6）即為該機構(gòu)誤差模型，其中，各項元素均對應(yīng)基坐標(biāo)系下的位置誤差和姿態(tài)誤差，右下標(biāo)對應(yīng)i連桿，左上標(biāo)對應(yīng)基坐標(biāo)系，即Ox5y5z5。式（6）中包含已知原始誤差為：驅(qū)動關(guān)節(jié) 運 動 參 量 誤 差dθ1、dθ5，驅(qū) 動 副 軸 向 間 隙量dd1、dd5，連桿參數(shù)誤差dαi及各轉(zhuǎn)動副軸間距誤差dai；包含未知誤差為：從動關(guān)節(jié)運動參量誤 差dθ2、dθ3、dθ4， 被 動 副 軸 向 間 隙量dd2、dd3、dd4。進(jìn)一步由式（6）利用 Maple軟件編程可分別求出從動關(guān)節(jié)運動參量誤差dθ2、dθ3、dθ4， 被 動 副 軸 向 間 隙量dd2、dd3、dd4顯式函數(shù)關(guān)系。

在實際的球面5R并聯(lián)機構(gòu)中要保證5個轉(zhuǎn)動副精確地匯交于一點是不可能的，即各轉(zhuǎn)動副應(yīng)配有適當(dāng)?shù)妮S向間隙量，現(xiàn)將dd2、dd3、dd4的顯式函數(shù)關(guān)系式導(dǎo)出，即

為保證球面5R并聯(lián)機構(gòu)平穩(wěn)運行，要求軸向間隙量ddi和軸間距誤差dai之間應(yīng)滿足式（7）～式（9），否則，過小的軸向間隙量將會使機構(gòu)卡死，而過大的間隙又會導(dǎo)致機構(gòu)過低的機構(gòu)精確度。

2.3 末端執(zhí)行器位姿誤差計算模型

在圖1中，P點作為輸出，固連于第2連桿，位于2系z軸上，d2、δ2分別為第2連桿相對于自身坐標(biāo)系的微分平動和微分轉(zhuǎn)動，由文獻(xiàn)［1］可以得到，第2連桿在2系中的原始誤差和第2連桿在基坐標(biāo)系中的位姿誤差之間的關(guān)系為

其中，Δ2為第2連桿在2系中的原始位姿誤差，由式（4）定義；Δ為第2連桿在基坐標(biāo)系中的位姿誤差，即

3 精度分析

3.1 精度預(yù)估

對于圖1所示的球面5R并聯(lián)機構(gòu)，取結(jié)構(gòu)參數(shù)為α1＝α2＝α3＝α4＝90°，α5＝120°。取運動特性［8］較好的工作空間0°≤φ ≤30°，0°≤φ ≤360°。

（1）位置精度。由式（10）可知，機構(gòu)末端執(zhí)行器的位置精度僅與軸間距誤差dai和軸向間隙量dd1、dd5有關(guān)。此處，驅(qū)動副（即電機軸）位于機座上，其軸向間隙量dd1、dd5由鏜床加工精度保證，可忽略不計。

為了評價該機構(gòu)末端執(zhí)行器的位置精度，定義其位置誤差為

為了找出末端執(zhí)行器位置誤差在所選取工作空間區(qū)域內(nèi)的分布規(guī)律，根據(jù)三維坐標(biāo)測量儀測量樣機尺寸所得結(jié)果，選取軸間距誤差dai絕對值均為0.1mm，對其進(jìn)行正負(fù)組合，共有32種情況，借助MATLAB軟件，計算機構(gòu)末端執(zhí)行器位置誤差。通過所有情況比較可知，表1所示第1組誤差值引起的末端執(zhí)行器位置誤差最小。本文只以表1所示兩組誤差值為例，分別繪制末端執(zhí)行器位置誤差在所選取工作空間區(qū)域內(nèi)的分布規(guī)律，如圖3所示?？梢缘贸鼋Y(jié)論，裝配機構(gòu)時，軸間距誤差按第1組誤差情況進(jìn)行分配比較合理。

表1 機構(gòu)各轉(zhuǎn)動副軸間距誤差 mm

圖3 末端執(zhí)行器位置誤差分布規(guī)律

（2）姿態(tài)精度。由式（10）可知，機構(gòu)末端執(zhí)行器的姿態(tài)精度僅與連桿參數(shù)誤差dαi和驅(qū)動關(guān)節(jié)運動參量誤差dθ1、dθ5（由控制方法保證，此處忽略）有關(guān)。為了評價該機構(gòu)末端執(zhí)行器的姿態(tài)精度，按文獻(xiàn)［2-3］定義其姿態(tài)誤差為

為了找出末端執(zhí)行器姿態(tài)誤差在所選取工作空間區(qū)域內(nèi)的分布規(guī)律，根據(jù)三維坐標(biāo)測量儀測量樣機尺寸所得結(jié)果，選取連桿參數(shù)誤差dαi絕對值均為0.1°，對其進(jìn)行正負(fù)組合，共有32種情況，借助MATLAB軟件，計算機構(gòu)末端執(zhí)行器姿態(tài)誤差。通過所有情況比較可知，表2所示第1組誤差值引起的末端執(zhí)行器姿態(tài)誤差最小。本文只以表2所示兩組誤差值為例，分別繪制末端執(zhí)行器姿態(tài)誤差在所選取工作空間區(qū)域內(nèi)的分布規(guī)律，如圖4所示?？梢缘贸鼋Y(jié)論，裝配機構(gòu)時，結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差按第1組誤差情況進(jìn)行分配最合理。

表2 機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)理論值與誤差值 （°）

圖4 末端執(zhí)行器姿態(tài)誤差分布規(guī)律

3.2 誤差靈敏度分析

通過上述分析可知，對應(yīng)不同組的設(shè)計參數(shù)，即使在相同的輸入誤差和運動軌跡條件下，機構(gòu)位姿誤差也不相同。靈敏度分析有助于合理選用設(shè)計參數(shù)，改善機構(gòu)運動性能，提高機構(gòu)運動精度，便于在設(shè)計機構(gòu)時，選取對末端執(zhí)行器位姿誤差有重要影響的機構(gòu)主要設(shè)計參數(shù)。

（1）位置誤差靈敏度分析。為了分析各零部件誤差對末端執(zhí)行器位置誤差的影響，定義d關(guān)于各項獨立位置誤差源dai、dd1、dd5的靈敏度系數(shù)為

式中，S為球面工作空間面積。

由式（14），借助MATLAB軟件，繪制了各誤差參數(shù)的靈敏度直方圖，見圖5。由圖5可知，7項誤差源對末端執(zhí)行器的位置誤差影響均較大。

圖5 位置誤差靈敏度直方圖

（2）姿態(tài)誤差靈敏度分析。為了分析各零部件誤差對末端執(zhí)行器姿態(tài)誤差的影響，由文獻(xiàn)［9-10］定義δ關(guān)于各項獨立姿態(tài)誤差源dαi、dθ1、dθ5的靈敏度系數(shù)為

由式（15），借助MATLAB軟件，繪制各結(jié)構(gòu)誤差參數(shù)的靈敏度直方圖，見圖6。由圖6可知，7項誤差源對末端執(zhí)行器的姿態(tài)誤差影響均較大。

圖6 姿態(tài)誤差靈敏度直方圖

4 抑制末端位姿誤差加工裝配工藝設(shè)計

為控制球面5R并聯(lián)機構(gòu)姿態(tài)誤差，4個連桿可以通過線切割的方式一次成形，以保證結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差即dα1、dα2、dα3、dα4的一致性；為控制球面5R并聯(lián)機構(gòu)位置誤差，選好機構(gòu)加工和標(biāo)定基準(zhǔn)以后，通過鏜床加工與電機軸相連的機架上的兩個軸承座上的孔，嚴(yán)格按120°分布，精度由鏜床保證，這樣可保證dd1、dd5在允許范圍內(nèi)，同時保證結(jié)構(gòu)參數(shù)α5的精度；為保證球面5R并聯(lián)機構(gòu)平穩(wěn)運行，要求被動副軸向間隙量應(yīng)滿足式（7）～式（9），為此在各轉(zhuǎn)動軸承處設(shè)置調(diào)整墊，并根據(jù)式（7）～式（9）計算結(jié)果進(jìn)行配磨，使得誤差被控制在允許范圍內(nèi)。在該機構(gòu)進(jìn)行裝配時，設(shè)置專門卡具，以盡量保證各轉(zhuǎn)動副軸線同球心。

5 結(jié)論

（1）在結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差基礎(chǔ)上，綜合考慮軸向間隙量和軸間距誤差，基于環(huán)路增量法，建立了球面5R并聯(lián)機構(gòu)位置和姿態(tài)誤差模型并顯式給出，更接近于工程實際。（2）通過精度分析可知，球面機構(gòu)位置誤差僅與驅(qū)動副軸向間隙量和軸間距誤差有關(guān)，姿態(tài)誤差僅與結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差和驅(qū)動關(guān)節(jié)運動參量誤差有關(guān)。（3）定義了位置誤差靈敏度系數(shù)，通過靈敏度分析可知，各項位置誤差源、姿態(tài)誤差源對球面機構(gòu)末端執(zhí)行器位置誤差、姿態(tài)誤差影響均較大。（4）為確保球面5R并聯(lián)機構(gòu)平穩(wěn)運行，要求被動副軸向間隙量應(yīng)滿足式（7）～式（9），以避免該機構(gòu)出現(xiàn)卡死現(xiàn)象。

［1］ 石則昌，劉深厚.機構(gòu)精確度［M］.北京：高等教育出版社，1995.

［2］ 曾憲菁，黃田，曾子平.3－RRR型數(shù)控回轉(zhuǎn)臺的精度分析［J］.機械工程學(xué)報，2001，37（11）：42－45.

［3］ 李研彪，金振林，計時鳴，等.一種并聯(lián)機構(gòu)擬人肩關(guān)節(jié)的誤差分析［J］.應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報，2009，17（3）：446－451.

［4］ Ouerfelli M，Kumar V.Optimization of a Spherical Five－bar Parallel Drive Linkage［J］.Transactions of the ASME，Journal of Mechanical Design，1994，116：166－173.

［5］ Tavkhelidze D S，Davitashvili N S.Kinematic Analysis of Five－link Spherical Mechanism［J］.Mechanism and Machine Theory，1974，9：181－190.

［6］ Gosselin C M，Cloutier C，Rancourt D.Kinematic A－nalysis of Spherical Two－degree－of－freedom Parallel Manipulators［C］／／Proceedings of the 1994 ASME Design Technical Conferences.Minneapolis，MN，USA，1994：255－262.

［7］ 熊有倫.機器人技術(shù)基礎(chǔ)［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.

［8］ 張立杰，李永泉，黃真.球面二自由度5R并聯(lián)機器人的運動學(xué)分析［J］.中國機械工程，2006，17（4）：342－346.

［9］ 李思維，黃田.一種含平行四邊形支鏈的3自由度并聯(lián)機構(gòu)姿態(tài)精度綜合與裝配工藝設(shè)計［J］.機械工程學(xué)報，2003，39（7）：38－42.

［10］ 黃田，李亞，李思維，等.一種三自由度并聯(lián)機構(gòu)幾何誤差建模、靈敏度分析及裝配工藝設(shè)計［J］.中國科學(xué)（E輯），2002，32（5）：628－635.