具有反饋控制和時(shí)滯的隨機(jī)logistic種群模型的均值穩(wěn)定性與滅絕性

戴祥軍,毛 志,徐松金

(銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院,貴州銅仁 554300)

1 引言

生物種群模型主要是用來(lái)描述、調(diào)節(jié)、控制和預(yù)測(cè)每個(gè)物種的發(fā)展過(guò)程和發(fā)展趨勢(shì),從而對(duì)一些生態(tài)問(wèn)題和自然生命現(xiàn)象做出合理的決策和方案,其中Logistic種群系統(tǒng)作為最基本的一類(lèi)生物數(shù)學(xué)模型,已經(jīng)被廣大學(xué)者所研究.1993年,Gopalsamy和Weng考慮到物種在其生存的環(huán)境中可能會(huì)受到負(fù)反饋的影響,譬如有毒的剩余殘?jiān)姆e累,人為的控制調(diào)節(jié)等.同時(shí)考慮到種群的密度變化和種群生命運(yùn)行規(guī)律活動(dòng)的演化過(guò)程不是瞬時(shí)發(fā)生的,而是有一定的時(shí)間延遲的;大量事實(shí)也表明許多事物的變化規(guī)律不僅依賴(lài)于當(dāng)前的狀態(tài)，還與過(guò)去的歷史有關(guān),即受時(shí)間滯后的影響.于是提出了如下一類(lèi)具有反饋控制的logistic模型[1]

其中x(t)是種群在t時(shí)刻的種群密度,u(t)是反饋控制變量;r表示內(nèi)凜增長(zhǎng)率;a,b表示同種群的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù),且r,a,b,c,e,f為正常數(shù).他們探討該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性等性態(tài).近年來(lái),具有反饋控制的種群系統(tǒng)受到廣大學(xué)者的關(guān)注[2?5].

然而,在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中,種群不可避免的會(huì)受到環(huán)境中各種細(xì)小的隨機(jī)因子的干擾,如某天突然下場(chǎng)雨、溫度突然升高等等,捕食者與食餌的隨機(jī)相遇等,這些細(xì)小的隨機(jī)因子可以綜合看成是白噪聲的作用.因此環(huán)境白噪聲對(duì)種群的影響是不可忽視的且考慮白噪聲的干擾將更加有實(shí)際意義.目前已經(jīng)引起了廣大學(xué)者的高度重視[6?8].Mao[6]指出環(huán)境白噪聲的干擾可能會(huì)影響出生率,死亡率和競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)等其他參數(shù).在這里假設(shè)環(huán)境白噪聲主要影響系統(tǒng)(1)的增長(zhǎng)率r.而我們通常估計(jì)一個(gè)值都是通過(guò)它的平均值加上它的誤差項(xiàng),即r→r+σ˙B(t),其中˙B(t)代表白噪聲,而σ2代表白噪聲的濃度,σ≥0.B(t)是定義在完備概率空間(?,F,P)上的布朗運(yùn)動(dòng),且B(0)=0.因此在系統(tǒng)(1.1)的基礎(chǔ)上提出如下一類(lèi)具有反饋控制和時(shí)滯的隨機(jī)logistic種群模型

令初始條件為

對(duì)于具有反饋控制的隨機(jī)種群模型的研究成果還很少,因此在這里也沒(méi)有太多的文獻(xiàn)可以借鑒.為了方便起見(jiàn),給出了下列記號(hào)

2 全局正解

因?yàn)閤(t)代表種群的密度,那么它應(yīng)該是非負(fù)的.因此首先就是討論系統(tǒng)(1.2)存在唯一全局正解.

定理2.1 對(duì)任意給定的正初始值滿(mǎn)足條件(1.3),系統(tǒng)(1.2)存在唯一全局正解(x(t),u(t))(t≥?τ),且此解以概率1停留在R+內(nèi).

證 因?yàn)橄到y(tǒng)(1.2)的系數(shù)滿(mǎn)足局部Lipschitz條件,那么對(duì)于任意給定的正初始值滿(mǎn)足條件(1.3),存在唯一的局部解(x(t),u(t))在[?τ,τe),其中τe是爆破時(shí)間.

為了去證明系統(tǒng)(1.2)的解是全局正解,那么只要證明τe=∞.設(shè)n0>0充分大,使得初始值落入?yún)^(qū)間[1/n0,n0],對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n>n0,定義停時(shí)

顯然 τn隨著n→ +∞ 是遞增的,設(shè)因此 τ∞≤ τe. 所以只需要證明τ∞=+∞.使用反證法,如果結(jié)論是錯(cuò)的,那么這里一定存在常數(shù)T>0和ε∈(0,1),使得P(τ∞ ε,即存在一個(gè)整數(shù) n1>n0,有 P(τn ε,n>n1.

上式從0到τn∧T積分再取均值有

很容易知道一定會(huì)存在正常數(shù)K,有

則

由于剩下的證明跟文獻(xiàn)[7]的證明類(lèi)似,在這里就省略了.

3 均值穩(wěn)定性與滅絕性

本節(jié)主要是探討系統(tǒng)(1.2)解的均值穩(wěn)定性與滅絕性.首先先介紹幾個(gè)引理.

引理 3.1[8]假設(shè)Z(t,ω)∈ C(R+,?).

(1)如果存在正常數(shù)μ和T,使得對(duì)任意的t≥T,有

那么

(2)如果存在正常數(shù)λ,μ和T,使得對(duì)任意的t≥T,有

那么 ?Z(t)??≥a.s.

引理3.2[9]考慮隨機(jī)微分方程dx=x[r?ax]dt+σxdB(t),其中r,a,σ為正常數(shù).當(dāng)r>0.5σ2時(shí),對(duì)于任意的初始值x0>0,方程的解x有

定理3.1當(dāng)r≠0.5σ2時(shí),對(duì)任意初始值滿(mǎn)足(1.3),則系統(tǒng)(1.2)有

證 由系統(tǒng)(1.2)顯然有dx≤x[r?ax]dt+σxdB(t).

設(shè)X(t)是下面這個(gè)隨機(jī)微分方程的解

上式方程有如下復(fù)雜的顯式解

同樣根據(jù)方程(1.2)的第二個(gè)方程有

如果r<0.5σ2,由比較原理可知

如果 r>0.5σ2,那么

對(duì)exp{et}lnX(t)應(yīng)用伊藤公式,

然后兩邊同時(shí)在[0,t]上積分再除以texp{et}有

那么根據(jù)積分中值定理有

其中τ1,τ2∈[0,t].由引理3.2和=0,有

定理3.2 對(duì)于任意初始值滿(mǎn)足條件(1.3),

(1)如果r?0.5σ2<0,那么種群x(t)將趨于滅絕.即

(2)如果r?0.5σ2>0,那么種群x(t)均值穩(wěn)定.即

證 對(duì)(1.2)式應(yīng)用伊藤公式,有

由(3.1)式可知

(1)當(dāng)r?0.5σ2<0時(shí),根據(jù)引理3.1可知

(2)當(dāng)r?0.5σ2>0時(shí),由(3.1)式可知

根據(jù)引理3.2可得

因此對(duì)于ε>0,假設(shè)ε足夠的小,使得r?0.5σ2?ε>0,存在常數(shù)T>0,當(dāng)t≥T時(shí),有

把上面不等式代入等式(3.1)和(3.2)可得

那么由(3.4),(3.5)式和引理3.1可知

由ε的任意性可知

故

完成證明.

4 一般情況

上一節(jié)已經(jīng)討論了一類(lèi)具有反饋控制和時(shí)滯的logistic種群模型的均值穩(wěn)定性和滅絕性.現(xiàn)在把它推廣到更一般的情形,考慮n個(gè)相互競(jìng)爭(zhēng)種群,同樣我們考慮環(huán)境白噪聲的干擾,在這里假設(shè)種群可能同時(shí)受到n個(gè)獨(dú)立的白噪聲源的影響,假設(shè)白噪聲主要影響種群的增長(zhǎng)率,因此采用下面這種擾動(dòng)形式,如文獻(xiàn)[10],即其中σij≥ 0.

下面就來(lái)考慮一類(lèi)具有反饋控制的n個(gè)種群的隨機(jī)Lotka-Valterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

其中xi(t)代表第i個(gè)種群的種群密度;ui(t)表示反饋控制變量;τij≥0代表時(shí)滯,i,j=1,2,···,n.令初始條件

為了方便起見(jiàn),假設(shè)非空集合I={1,2,···,n},Im={l1,l2,···,lm}且集合J滿(mǎn)足

其中 l1

設(shè)

Aki表示行列式A第k行第i列的余子式,Bki表示行列式B第k行第i列的余子式.

定理4.1對(duì)任意給定的正初始值,系統(tǒng)(4.1)存在唯一全局正解(t≥?τ).如果Ri≠0,則系統(tǒng)(4.1)的解有

定理4.2如果Ri>0且A>0,那么Mi<0,i=1,2,···,n不能同時(shí)成立.

證 假設(shè)結(jié)論不成立,那么Mi<0,i=1,2,···,n,容易得出因?yàn)閔ij都是正常數(shù),故那么很容易看出

也就是說(shuō)A<0,顯然與A>0矛盾.完成證明.

定理 4.3(i)假設(shè)Ri>0且A>0,i=1,2,···,n,

(a)如果Mi>0,Aii>0和Aki≤0(k≠i,k,i=1,2,···,n),那么種群xi均值穩(wěn)定.即

(b)假設(shè)Mli>0且Mk<0,li∈Im,k∈J,如果B>0,Gi>0,Bii>0和Bki≤0(k≠i,k,i=1,2,···,n),那么種群xli均值穩(wěn)定,種群xk將趨于滅絕.即

(ii)如果Ri<0,那么種群xi將趨于滅絕.即

(iii)假設(shè)Rli>0且Rk<0,li∈Im,k∈J,如果B>0,Gi>0,Bii>0和Bki≤0(k≠i,k,i=1,2,···,n),那么種群xli均值穩(wěn)定,種群xk將趨于滅絕.即

證 對(duì)于(4.1)式應(yīng)用伊藤公式,有

結(jié)合(4.2),(4.4)和(4.5)式可得

根據(jù)定理3.1的證明和定理4.1可知?ε>0,存在T>0,當(dāng)t≥T,有

把上面不等式代入(4.6)式可得

(i)(a)如果 Ri>0,A>0,Aii>0,Mi>0,i=1,2,···,n.由 (4.7),(4.8) 式和引理3.1,有

(i)(b)如果Rk>0,Akk>0,Mk<0,k∈J.令ε足夠小,使得Mk+ε<0,由(4.7)式和引理3.1,有xk(t)=0 a.s.k ∈ J.,那么

由上面的方法可知

如果B>0,Bii>0,Gi>0,i=1,2,···,m,由(4.10),(4.11)式和引理3.1,有Gi/B a.s.i=1,2,···,m.

(ii) 如果 Ri<0,i=1,2,···,n,那么

(iii)如果Rk<0,k∈J,根據(jù)(i)(b)的證明易得

在這里就省略了.

5 結(jié)論

本文首先探討了一類(lèi)具有反饋控制的隨機(jī)logistic種群模型,當(dāng)r?0.5σ2>0時(shí),種群x均值穩(wěn)定,當(dāng)r?0.5σ2<0時(shí),種群x滅絕.顯然反饋沒(méi)有影響該種群的均值持久性與滅絕性.接著我們?cè)诖嘶A(chǔ)上把他推廣到n個(gè)種群上,構(gòu)建了一類(lèi)具有時(shí)滯和反饋控制的n個(gè)種群的隨機(jī)Lotka-Volerra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng),并獲得了該系統(tǒng)中的每一個(gè)種群的均值穩(wěn)定和滅絕的充分條件.