基于雙曲正弦函數(shù)的改進(jìn)變步長自適應(yīng)濾波算法

程建民，張潤蓮，2，秦明峰

(1.桂林電子科技大學(xué) 廣西無線寬帶通信與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004； 2.廣西高校云計(jì)算與復(fù)雜系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004； 3.衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與裝備技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 50081)

0　引言

在傳統(tǒng)的LMS(Least Mean Square)算法[1]中，為提升算法的收斂速度，應(yīng)該盡可能選擇較大的步長值；而為了減小算法的穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)該盡可能選擇較小的步長值。這一矛盾使得傳統(tǒng)的LMS算法必須在這二者之間進(jìn)行折中處理，導(dǎo)致算法性能不理想。

為解決該問題，研究者們?cè)诨诓介L因子調(diào)整原則的基礎(chǔ)上，通過改變步長因子的表現(xiàn)形式來改進(jìn)LMS算法的性能，經(jīng)典的算法有基于對(duì)數(shù)函數(shù)[2]、基于雙曲正弦函數(shù)的變步長LMS算法[3]和固定步長算法[4]等，但均存在步長值與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。針對(duì)該矛盾，文獻(xiàn)[4]通過結(jié)合Sigmoid函數(shù)和正弦函數(shù)對(duì)步長因子進(jìn)行調(diào)節(jié)控制；文獻(xiàn)[5]通過引入反饋控制函數(shù)建立步長因子與誤差信號(hào)的非線性函數(shù)模型改進(jìn)LMS算法，兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能；文獻(xiàn)[6]通過引入雙曲正切函數(shù)控制步長因子，提高算法的抗噪聲能力；文獻(xiàn)[7-8]通過權(quán)系數(shù)的變化來控制步長因子的變化，以保證當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)停止迭代；文獻(xiàn)[9]通過調(diào)整抽頭長度的方式，獲取最優(yōu)維納解。上述算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面有所改進(jìn)，但計(jì)算量相對(duì)較高。

針對(duì)上述問題，本文給出了一種基于雙曲正弦函數(shù)形式的改進(jìn)LMS算法，該算法通過引入線性函數(shù)與步長函數(shù)相乘，改變步長函數(shù)特性，實(shí)現(xiàn)對(duì)步長值的自適應(yīng)控制，提升收斂速度，降低算法復(fù)雜度，提高抗噪能力。

1　相關(guān)算法及分析

1.1　LMS算法

LMS算法是線性自適應(yīng)濾波器算法，是一種以最小均方誤差準(zhǔn)則(Minimum Mean Square Error，MMSE)為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的瞬時(shí)值估計(jì)梯度矢量的方法，使濾波器的輸出信號(hào)與期望響應(yīng)之間的均方誤差達(dá)到最小。自適應(yīng)濾波器的濾波原理如圖1所示。

圖1　自適應(yīng)陷波器基本原理

圖1中，X(n)、v(n)、d(n)、y(n)、e(n)分別為實(shí)際輸入信號(hào)、噪聲信號(hào)、期望信號(hào)、輸出信號(hào)及誤差信號(hào)。LMS算法步驟為：

① 權(quán)值系數(shù)初始化：W(0)=0；

② 濾波器的輸出：y(n)=WT(n)×X(n)；

③ 濾波器n時(shí)刻的誤差：e(n)=d(n)-y(n)；

④ 抽頭權(quán)向量：W(n+1)=W(n)+μ×e(n)×X(n)；

⑤ 重復(fù)步驟②～④，直到W(n+1)的值趨于穩(wěn)定。

其中步長因子u對(duì)LMS算法的性能起著決定性的作用，其收斂的條件是：0

1.2　常用的LMS算法

為了使LMS算法的收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和抗噪聲能力均能取得較好的性能表現(xiàn)，下面給出幾種常用的LMS算法，如基于對(duì)數(shù)函數(shù)、基于雙曲正弦函數(shù)的變步長LMS算法和固定步長算法，各算法的步長因子和誤差信號(hào)關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2　e(n)和u(n)關(guān)系曲線

1.2.1基于對(duì)數(shù)函數(shù)的變步長LMS算法

文獻(xiàn)[2]在對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga(x)的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行變化調(diào)整，建立了步長因子u(n)與誤差信號(hào)e(n)之間的關(guān)系表達(dá)式：

μ(n)=a×lg[b×|e(n)c|]。

(1)

由圖2可知，e(n)為時(shí)0，u(n)不為0，存在誤差；而且當(dāng)e(n)趨近于0時(shí)，函數(shù)底部變化太快，這會(huì)導(dǎo)致步長因子錯(cuò)過最佳值；同時(shí)，該算法存在指數(shù)運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度較高。

1.2.2基于雙曲正弦函數(shù)的變步長LMS算法

文獻(xiàn)[3]在雙曲正弦函數(shù)y=sinh(x)=(ex-e-x)/2的基礎(chǔ)上，其進(jìn)行變換調(diào)整，建立了步長因子u(n)與誤差信號(hào)e(n)之間的關(guān)系表達(dá)式：

μ(n)=a×|sinh[b×e(n)c]|。

(2)

由圖2可知，當(dāng)e(n)較大時(shí)，u(n)變化較快；當(dāng)e(n)趨近于0時(shí)，函數(shù)底部變化太緩慢，即誤差信號(hào)不為0時(shí)u(n)已經(jīng)為0，造成了較大的穩(wěn)態(tài)誤差；同時(shí)該算法存在指數(shù)運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度較高。

1.2.3固定步長LMS算法

固定步長LMS算法，其步長值在算法迭代過程中為一個(gè)固定值，據(jù)文獻(xiàn)[4]可知，一般取u=0.01；由圖2可知，無論當(dāng)前系統(tǒng)的誤差值如何變化，步長值u一直維持不變，即固定步長。

2　基于雙曲正弦函數(shù)的新變步長LMS算法

文獻(xiàn)[7]中提出了步長因子u調(diào)整原則：在自適應(yīng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)或者算法的起步收斂階段，應(yīng)該使步長值u較大，使得算法具有較快的收斂速度；而在算法達(dá)到收斂后，此時(shí)系統(tǒng)的權(quán)值矢量已接近最優(yōu)值，步長值u應(yīng)該維持很小的值，以達(dá)到很小的穩(wěn)態(tài)誤差。在滿足步長因子調(diào)整原則的基礎(chǔ)上，LMS算法收斂速度越快，效率越高；收斂深度越深，穩(wěn)態(tài)誤差越小。因此，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是改進(jìn)LMS算法的主要方向，也是判定算法性能的重要指標(biāo)。

基于步長因子的調(diào)整原則和算法性能需求，通過圖2分析可知，基于雙曲正弦函數(shù)形式控制的步長因子曲線相比其他算法更符合步長因子調(diào)整原則。由文獻(xiàn)[3]可知，基于雙曲正弦函數(shù)的變步長LMS算法形式簡單、計(jì)算量小，當(dāng)u(n)與e(n)滿足一定函數(shù)關(guān)系時(shí)，算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差都能取得較好的表現(xiàn)。因此，本文采用雙曲正弦函數(shù)控制步長因子，并對(duì)其過早達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)(即誤差信號(hào)e(n)不為0時(shí)，u(n)已經(jīng)無限接近于0)這一缺點(diǎn)進(jìn)行改進(jìn)。

針對(duì)文獻(xiàn)[3]中算法存在的問題，本文改進(jìn)思路如下：將步長值與迭代過程中的某種狀態(tài)變量相關(guān)聯(lián)，利用該狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化來調(diào)整步長值的變化。其中，狀態(tài)變量可以是瞬時(shí)誤差、瞬時(shí)誤差的平方、相鄰2次迭代的瞬時(shí)誤差的相關(guān)函數(shù)[10]、誤差與輸入矢量的相關(guān)性[11]等。該狀態(tài)變量在開始收斂時(shí)較大，而在收斂后較小，因此滿足動(dòng)態(tài)控制步長值的要求。

由于瞬時(shí)誤差e(n)相比其平方和其相鄰2次相關(guān)函數(shù)具有獲取容易、結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算量小等優(yōu)勢。因此，本文選用瞬時(shí)誤差信號(hào)e(n)作為狀態(tài)變量并與步長值相關(guān)聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)步長值的動(dòng)態(tài)調(diào)整。

根據(jù)函數(shù)f(x)=1+|x|性質(zhì)可知，該函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，最小值為1。若將上述瞬時(shí)誤差作為函數(shù)f(x)=1+|x|的自變量，可得函數(shù)f[e(n)]=1+|e(n)+b|，其中，b用來調(diào)節(jié)函數(shù)曲線底部浮動(dòng)幅度。將式(2)與該函數(shù)相乘，則變步長函數(shù)的曲線底部值增加，可以達(dá)到改變函數(shù)曲線底部特性的目的，防止其過早達(dá)到穩(wěn)態(tài)。

此外，針對(duì)式(2)，文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)測試表明，在指數(shù)c=1時(shí)，算法復(fù)雜度最低。因此，本文選取c=1，這使得函數(shù)f[e(n)]=1+|e(n)+b|與式(2)的乘積，去掉了指數(shù)運(yùn)算，從而降低算法復(fù)雜度。改進(jìn)的變步長函數(shù)表達(dá)式具體如下：

μ(n)=a×|sinh[e(n)]|×[1+|e(n)+b|]，

(3)

式中，參數(shù)a用來調(diào)節(jié)曲線的幅值。改進(jìn)的變步長LMS算法表達(dá)式為：

3　算法實(shí)現(xiàn)與仿真測試

3.1　實(shí)驗(yàn)仿真環(huán)境

為驗(yàn)證本文改進(jìn)算法性能，使用Matlab2014仿真軟件，并采用文獻(xiàn)[12]中所列的實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，測試算法的收斂速度、均方誤差、抗噪能力以及計(jì)算復(fù)雜度，具體條件如下：

① 二階自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)；

② 輸入信號(hào)X(n)是零均值、方差為1的高斯白噪聲；

③ 高斯白噪聲的方差為0.04、均值為0，且與輸入信號(hào)無關(guān)；

④ 實(shí)驗(yàn)采樣點(diǎn)數(shù)N=500，未知系統(tǒng)的FIR系數(shù)為W=[0.8，0.5]T。

為減少實(shí)驗(yàn)誤差，實(shí)驗(yàn)將取200次仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值，繪制其收斂曲線。

3.2　參數(shù)的選取

改進(jìn)的變步長函數(shù)表達(dá)式(3)中的參數(shù)a可以調(diào)節(jié)函數(shù)曲線幅值的大小，若a值過小，算法在還未達(dá)到最小穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，步長值已為零，將導(dǎo)致算法收斂速度過慢；若a值過大，算法曲線底部變化較快，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)過最佳步長值。參數(shù)b調(diào)節(jié)函數(shù)曲線底部浮動(dòng)幅度，若b值過大，可能導(dǎo)致函數(shù)曲線難以收斂，誤差較大；若b值過小，此時(shí)并不能對(duì)其過早達(dá)到穩(wěn)態(tài)的這一不足進(jìn)行優(yōu)化。

根據(jù)文獻(xiàn)[13-14]及經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知，a和b的最佳取值范圍均為(0，1]。在實(shí)驗(yàn)測試中，對(duì)a、b分別從0.1開始，以0.1步長增長組合測試算法的步長因子和誤差信號(hào)關(guān)系曲線，測試結(jié)果顯示，在a逼近0.1時(shí)，初始步長值較小，容易錯(cuò)過最佳步長值；在a逼近1時(shí)，初始步長值較大，計(jì)算復(fù)雜度高。故令a=0.5，再測試b分別取不同值時(shí)的關(guān)系曲線，其顯示b太小時(shí)函數(shù)曲線底部變化太快，b太大則會(huì)產(chǎn)生突變，結(jié)果如圖3所示。

圖3　參數(shù)a與b組合取值的關(guān)系曲線

基于上述實(shí)驗(yàn)對(duì)比，本文算法參數(shù)取值為a=0.5，b=0.5。

3.3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

基于同樣的實(shí)驗(yàn)條件，對(duì)比測試了本文改進(jìn)算法與基于對(duì)數(shù)函數(shù)算法、基于雙曲正弦函數(shù)和固定步長因子算法的收斂速度和抗噪能力?；趯?duì)數(shù)函數(shù)算法中，取a=1 000、b=0.02、c=2；基于雙曲正弦函數(shù)中，a=0.006、b=5、c=1；固定步長因子算法中其步長因子取0.01。

3.3.1收斂速度測試實(shí)驗(yàn)

文獻(xiàn)[15]表明，通過均方誤差和迭代次數(shù)的關(guān)系曲線可以較好地反映算法的收斂速度，算法最先達(dá)到穩(wěn)態(tài)，且所需迭代次數(shù)最少，則其收斂速度最佳?；谏鲜鲞x取的參數(shù)，各算法的測試結(jié)果如圖4所示。

圖4　4種算法收斂速度對(duì)比

圖4結(jié)果表明，固定步長算法由于其步長值固化，收斂速度最慢；基于對(duì)數(shù)函數(shù)算法，由于其對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，步長函數(shù)的變化太快，收斂較慢；基于雙曲正弦函數(shù)算法由于其存在指數(shù)運(yùn)算，收斂速度較快。由式(3)可知，本文算法通過改變基于雙曲正弦函數(shù)算法的步長函數(shù)性質(zhì)達(dá)到改進(jìn)目的，其步長值大于雙曲正弦函數(shù)算法步長值，其收斂速度更快。

3.3.2抗噪能力測試實(shí)驗(yàn)

由文獻(xiàn)[16]可知，均方誤差能夠評(píng)判算法的抗噪能力，在算法收斂的前提下，均方誤差越小，算法抗噪能力越好。基于上述實(shí)驗(yàn)條件，在自適應(yīng)濾波器的輸入信號(hào)中加入高斯白噪聲，使信號(hào)信噪比[17]SNR分別為5 dB和15 dB，將各算法500次迭代后產(chǎn)生的均方誤差值求其均值，測試結(jié)果如圖5所示。

圖5　4種LMS算法抗噪能力對(duì)比

圖5結(jié)果表明，信噪比越高，各算法抗噪能力越強(qiáng)。在SNR=5時(shí)，信噪比較低，各算法對(duì)噪聲均較為敏感，固定步長算法由于步長值固化，收斂速度慢，抗噪性能最差；基于雙曲正弦函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)算法的收斂速度均優(yōu)于固定步長算法，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，均方誤差均值相近，其抗噪能力均優(yōu)于固定步長算法。在SNR=15時(shí)，信噪比較高，各算法的均方誤差均值明顯下降，符合通信理論基本原理。文獻(xiàn)[18-19]中指出，誤差信號(hào)中的噪聲自相關(guān)性一般較強(qiáng)，互相關(guān)性較差。本文算法利用噪聲較差的互相關(guān)性，使用步長函數(shù)將其去除，降低噪聲對(duì)步長的影響，使得本文算法在兩種信噪比下的均方誤差均值都最小，具有較好的抗噪能力。

4　結(jié)束語

本文介紹了幾種常用的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法，并針對(duì)基于雙曲正弦函數(shù)LMS自適應(yīng)濾波算法過早達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)及計(jì)算開銷[20]問題，給出了改進(jìn)方法。該方法基于步長因子與瞬時(shí)誤差信號(hào)建立雙曲正弦函數(shù)關(guān)系，通過改變函數(shù)性質(zhì)，使算法性能得以改善。仿真測試結(jié)果表明，改進(jìn)方法具有較好的收斂速度和抗噪聲能力。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可將該算法應(yīng)用于自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)。