基于復(fù)雜系統(tǒng)退化機(jī)理的備件訂購(gòu)策略模型

王成, 許建新, 王紅軍, 張振明

1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 陜西 西安　710072;2.北京信息科技大學(xué) 現(xiàn)代測(cè)控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京　100192

隨著裝備的結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，精度越來(lái)越高，對(duì)裝備的安全運(yùn)行提出了更高的要求。裝備運(yùn)行狀態(tài)的實(shí)時(shí)有效感知和狀態(tài)判斷對(duì)其安全運(yùn)行至關(guān)重要，特別是對(duì)于一些高端裝備復(fù)雜系統(tǒng)模塊的退化狀態(tài)預(yù)測(cè)和備用系統(tǒng)的有效訂購(gòu)是保障安全有效運(yùn)行、提升服務(wù)質(zhì)量、降低維修成本的關(guān)鍵。高端裝備的諸多系統(tǒng)往往屬于復(fù)雜系統(tǒng)，具有集成度高、退化狀態(tài)預(yù)測(cè)難和維修困難等特點(diǎn)，同時(shí)其訂購(gòu)的備用系統(tǒng)具有價(jià)格昂貴、稀有和較長(zhǎng)交付時(shí)間等特點(diǎn)，為了降低總體維修成本，大多數(shù)企業(yè)一般都采用預(yù)防性替換(preventive replacement,PR)的維修策略。在PR策略中，主要分為2類，基于時(shí)間的維修(time-based maintenance,TBM)策略和視情維修(condition-based maintenance,CBM)策略。對(duì)于前者，主要關(guān)注系統(tǒng)的壽命分布模型。對(duì)于后者，主要依據(jù)系統(tǒng)退化水平或健康狀態(tài)作為決策依據(jù)。與前者相比，后者是一個(gè)更有前景的維修策略，因?yàn)樗鼜?qiáng)調(diào)將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)與狀態(tài)監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)相結(jié)合，而且往往針對(duì)具體的維修對(duì)象。因此，后者在學(xué)術(shù)界和工業(yè)界都受到相當(dāng)廣泛關(guān)注[1-3]。特別是最近幾年，基于計(jì)算機(jī)的狀態(tài)監(jiān)測(cè)技術(shù)(computer-based condition monitoring,CBCM)(如先進(jìn)的傳感器技術(shù))和物聯(lián)網(wǎng)(internet of things,IoT)的快速發(fā)展進(jìn)一步促進(jìn)了視情維修的實(shí)踐和發(fā)展。

大多數(shù)CBM策略都是在這樣的假設(shè)下研究的，即在任何時(shí)刻都有無(wú)限量供應(yīng)的可用于替換的備件。然而，當(dāng)可用備件有限和/或交付時(shí)間比較長(zhǎng)時(shí)，這種假設(shè)通常是不現(xiàn)實(shí)和不切實(shí)際的。當(dāng)備件價(jià)格昂貴，稀缺且隨機(jī)交付時(shí)間越長(zhǎng)，考慮缺貨成本和庫(kù)存成本就顯得尤為重要。那么，在工程實(shí)踐中何時(shí)進(jìn)行備件訂購(gòu)才能使整個(gè)維修成本最小是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。受這類問(wèn)題的驅(qū)使，一些訂購(gòu)策略已被廣泛研究。

Chien等[4]提出了一個(gè)基于年齡的備件訂購(gòu)策略，該策略同時(shí)考慮了常規(guī)交付時(shí)間和緊急交付時(shí)間。Chien[5]提出了一個(gè)基于最優(yōu)小修次數(shù)的備件訂購(gòu)策略，該策略考慮了常規(guī)交付時(shí)間。Panagiotidou[6]提出了基于庫(kù)存水平的備件訂購(gòu)策略。Louit等[7]提出了基于組件剩余壽命的訂購(gòu)策略。Godoy等[8]提出了一種利用圖形化技術(shù)描述的訂購(gòu)策略，該策略考慮了基于狀態(tài)的可靠性和交付時(shí)間。 Wang等[9]提出了一個(gè)針對(duì)退化系統(tǒng)的視情訂購(gòu)策略。在這些文獻(xiàn)中，訂購(gòu)策略涉及的備件大多都是單一組件或簡(jiǎn)單系統(tǒng)，涉及到復(fù)雜系統(tǒng)的訂購(gòu)還不多見(jiàn)。其次，針對(duì)高可靠性系統(tǒng)視情訂購(gòu)策略明顯優(yōu)于基于年齡的訂購(gòu)策略，其主要依據(jù)系統(tǒng)本身的退化狀態(tài)進(jìn)行訂購(gòu)， 而在文獻(xiàn)中針對(duì)退化系統(tǒng)展開(kāi)研究的并不多見(jiàn)。最后，文獻(xiàn)中也只有極少數(shù)學(xué)者在訂購(gòu)時(shí)同時(shí)考慮了常規(guī)隨機(jī)交付時(shí)間和緊急隨機(jī)交付時(shí)間。

實(shí)際上，復(fù)雜系統(tǒng)由一系列的部件構(gòu)成，而且各部件之間往往存在競(jìng)爭(zhēng)退化的情況，因此復(fù)雜系統(tǒng)的退化過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的、多機(jī)理的過(guò)程，描述整個(gè)系統(tǒng)的性能退化水平是一件極其困難的事情。根據(jù)系統(tǒng)的整體性能退化水平開(kāi)展PR工作同樣也是一件具有挑戰(zhàn)性的事情。據(jù)了解，很少有文獻(xiàn)研究復(fù)雜系統(tǒng)的PR策略，特別是將復(fù)雜系統(tǒng)、退化行為、常規(guī)隨機(jī)交付時(shí)間和緊急隨機(jī)交付時(shí)間都考慮其中的訂購(gòu)策略更是少之又少。鑒于此，本文提出了一種基于復(fù)雜系統(tǒng)退化機(jī)理的訂購(gòu)策略模型，基于狀態(tài)空間模型采用核主成分分析(kernel principal component analysis,KPCA)方法[10]通過(guò)狀態(tài)子空間最小夾角獲得系統(tǒng)的退化水平，采用Gamma過(guò)程[11]來(lái)描述系統(tǒng)整體性能退化過(guò)程。當(dāng)系統(tǒng)退化水平達(dá)到預(yù)設(shè)的閾值時(shí)，系統(tǒng)被認(rèn)為失效。所提出的復(fù)雜系統(tǒng)訂購(gòu)策略模型依賴于系統(tǒng)退化模型和備用系統(tǒng)隨機(jī)交付時(shí)間，該策略模型采用下訂時(shí)刻作為決策變量。為了解決系統(tǒng)意外失效引起的問(wèn)題，該策略模型同時(shí)考慮了常規(guī)隨機(jī)交付時(shí)間和緊急隨機(jī)交付時(shí)間?；谔岢龅膹?fù)雜系統(tǒng)訂購(gòu)策略模型，存在一個(gè)唯一的使期望費(fèi)用率最小化的最優(yōu)下訂時(shí)刻。本文的目標(biāo)是在費(fèi)用率標(biāo)準(zhǔn)下尋求最優(yōu)的下訂時(shí)刻。

1　系統(tǒng)描述

本文的研究對(duì)象為一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，該系統(tǒng)由若干部件組成，每個(gè)部件都有其各自的特征性能退化參數(shù)，系統(tǒng)的整體性能退化水平由其中關(guān)鍵部件的特征性能退化參數(shù)共同來(lái)表征。所有的特征性能參數(shù)隨測(cè)量次數(shù)會(huì)產(chǎn)生一系列性能退化數(shù)據(jù)。下面通過(guò)對(duì)性能退化數(shù)據(jù)的分析來(lái)確定系統(tǒng)整體退化過(guò)程模型，并依據(jù)系統(tǒng)退化過(guò)程模型建立訂購(gòu)策略模型。

1.1　系統(tǒng)退化建模

基于狀態(tài)空間模型[12-13]通過(guò)性能退化數(shù)據(jù)建立的狀態(tài)特征矩陣X為

(1)

式中,n為性能參數(shù)的個(gè)數(shù),m為性能退化測(cè)量次數(shù)。xij表示第i個(gè)性能參數(shù)在tj時(shí)刻的退化測(cè)量值(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)。

系統(tǒng)在正常狀態(tài)下的特征矩陣與退化狀態(tài)下的特征矩陣具有不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),即它們對(duì)應(yīng)到映射的子空間不同。采用KPCA方法提取狀態(tài)特征矩陣的狀態(tài)子空間S,即

S=span(ω1,ω2,…,ωr)

(2)

式中,ω1,ω2,…,ωr為由較大特征值對(duì)應(yīng)的正交基向量,r為子空間維數(shù),且r≤m。

假設(shè)系統(tǒng)在正常狀態(tài)下的狀態(tài)子空間為Ss,在退化狀態(tài)下的狀態(tài)子空間為Sd,Ss與Sd之間的差異可通過(guò)基向量間的主夾角表示,即

θi=arccosκi,i=1,2,…,r,0≤θi≤π/2

(3)

式中,κi表示基向量?jī)?nèi)積。用最小主夾角的正弦值來(lái)表示系統(tǒng)退化水平[14],即

ρ=sin(minθi),0≤θi≤π/2, 0≤ρ≤1

(4)

假設(shè)ρ(t)表示在某一時(shí)刻t的性能退化水平,且服從形狀參數(shù)為Λ(t),尺度參數(shù)為β的Gamma分布,隨機(jī)過(guò)程{ρ(t),t≥0}為Gamma過(guò)程滿足如下性質(zhì):

a)ρ(0)=0;

b)ρ(s+t)-ρ(t)～Γ(Λ(s+t)-Λ(t),β),s≥0,t≥0;

c)ρ(t)具有獨(dú)立增量。

相應(yīng)的概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)可表示為:

(5)

累積分布函數(shù)(cumulative distribution function,CDF)表示為

(6)

定義首次到達(dá)失效閾值l的時(shí)間Tl=inf{t≥0|ρ(t)≥l}, 則系統(tǒng)在時(shí)刻t的累積失效概率為

(7)

式中,Γ(·)表示Gamma函數(shù),γ(·)表示不完全Gamma函數(shù),即

由(7)式,很容易算出系統(tǒng)的期望壽命μTl為

(8)

1.2　假　設(shè)

為了使本文的研究合理、有效,作如下假設(shè):

1) 當(dāng)系統(tǒng)退化水平超過(guò)預(yù)設(shè)的閾值l時(shí),則認(rèn)為系統(tǒng)失效。

2) 系統(tǒng)在零時(shí)刻開(kāi)始運(yùn)行。

3) 當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)立即進(jìn)行緊急訂購(gòu),即認(rèn)為系統(tǒng)失效與緊急訂購(gòu)之間的時(shí)間間隔為零。

4) 系統(tǒng)的退化水平可以被實(shí)時(shí)檢測(cè)到。

5) 由于系統(tǒng)失效會(huì)帶來(lái)許多負(fù)面影響,因此認(rèn)為缺貨成本率大于庫(kù)存成本率,即ρs>ρh>0。

2　訂購(gòu)策略模型

2.1　模型描述

通過(guò)CBCM獲取當(dāng)前時(shí)刻監(jiān)測(cè)部位的性能退化數(shù)據(jù),基于狀態(tài)空間模型采用KPCA方法獲得系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻整體退化水平,系統(tǒng)所有時(shí)序退化水平通過(guò)Gamma過(guò)程來(lái)描述?；谙到y(tǒng)退化過(guò)程模型,同時(shí)結(jié)合備用系統(tǒng)隨機(jī)交付時(shí)間制定訂購(gòu)策略,通過(guò)期望費(fèi)用率目標(biāo)函數(shù)求解最優(yōu)訂購(gòu)時(shí)刻。具體模型的執(zhí)行步驟如圖1所示:

圖1　訂購(gòu)策略模型

步驟1獲取t時(shí)刻系統(tǒng)性能退化數(shù)據(jù)。對(duì)系統(tǒng)關(guān)鍵部件進(jìn)行定期檢測(cè),采集各關(guān)鍵部件的特征性能參數(shù)退化數(shù)據(jù)。

步驟2建立特征狀態(tài)矩陣?；跔顟B(tài)空間模型通過(guò)性能退化數(shù)據(jù)建立特征狀態(tài)矩陣。

步驟3計(jì)算系統(tǒng)性能退化水平。采用KPCA方法提取狀態(tài)特征矩陣的狀態(tài)子空間(正常狀態(tài)子空間和退化狀態(tài)子空間),通過(guò)狀態(tài)子空間夾角計(jì)算出t時(shí)刻系統(tǒng)性能退化水平。

步驟4構(gòu)建系統(tǒng)性能退化過(guò)程。根據(jù)步驟3計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)性能退化水平,重復(fù)步驟1～3,得到時(shí)序系統(tǒng)性能退化水平,構(gòu)建隨時(shí)間變化的系統(tǒng)性能退化過(guò)程,該退化過(guò)程用常用的Gamma過(guò)程來(lái)描述。

步驟5構(gòu)建訂購(gòu)策略。根據(jù)系統(tǒng)性能退化過(guò)程和備用系統(tǒng)隨機(jī)交付時(shí)間(常規(guī)交付時(shí)間和緊急交付時(shí)間),建立常規(guī)訂購(gòu)策略和緊急訂購(gòu)策略。

步驟6訂購(gòu)時(shí)刻尋優(yōu)。通過(guò)建立的訂購(gòu)策略,以期望費(fèi)用率為目標(biāo)函數(shù),尋找使期望費(fèi)用率最小時(shí)的最優(yōu)下訂時(shí)刻。

2.2　訂購(gòu)策略

在訂購(gòu)策略中存在3種互斥和完備的狀態(tài),如圖2所示。圖中T表示當(dāng)前下訂時(shí)刻,Lr表示常規(guī)交付時(shí)間,Le表示緊急交付時(shí)間,H表示庫(kù)存時(shí)間,S表示缺貨時(shí)間,Replacement 表示替換時(shí)刻。下面分別對(duì)這3種訂購(gòu)策略狀態(tài)進(jìn)行描述。在整個(gè)訂購(gòu)策略中,會(huì)涉及系統(tǒng)退化失效函數(shù)和交付時(shí)間函數(shù)。

圖2　一個(gè)周期內(nèi)的訂購(gòu)替換狀態(tài)

state1如果下訂時(shí)刻發(fā)生在系統(tǒng)失效之前,且在系統(tǒng)失效之前訂購(gòu)的備用系統(tǒng)到達(dá),那么當(dāng)訂購(gòu)的備用系統(tǒng)送達(dá)時(shí)入庫(kù),此時(shí)的訂購(gòu)采用常規(guī)訂購(gòu),同時(shí)會(huì)產(chǎn)生庫(kù)存成本。此狀態(tài)發(fā)生的概率為

state2如果下訂時(shí)刻發(fā)生在系統(tǒng)失效之前,且在系統(tǒng)失效之后訂購(gòu)的備用系統(tǒng)送達(dá),那么當(dāng)訂購(gòu)的備用系統(tǒng)送達(dá)時(shí)入庫(kù),此時(shí)的訂購(gòu)采用常規(guī)訂購(gòu),同時(shí)會(huì)產(chǎn)生缺貨成本。此狀態(tài)發(fā)生的概率為

2.3　訂購(gòu)時(shí)刻尋優(yōu)

本小節(jié)采用期望費(fèi)用率作為衡量標(biāo)準(zhǔn),通過(guò)使期望費(fèi)用率最小化來(lái)獲取最優(yōu)的訂購(gòu)時(shí)刻。

如圖1所示,整個(gè)替換周期形式化表達(dá)如下:

(9)

式中,U表示替換周期長(zhǎng)度。

由于庫(kù)存時(shí)間僅可能發(fā)生在state1,因此在替換周期內(nèi)期望庫(kù)存時(shí)間EH可表示為

(10)

進(jìn)一步的,由于缺貨時(shí)間可能發(fā)生在state2和state3, 因此替換周期內(nèi)期望缺貨時(shí)間ES可表示為

(11)

由于日常監(jiān)測(cè)會(huì)發(fā)生在所有狀態(tài)中,因此替換周期內(nèi)期望監(jiān)測(cè)時(shí)間EI可表示為

EI=μTl

(12)

基于以上分析,結(jié)合(9)式,期望替換周期長(zhǎng)度可表達(dá)為

(13)

換句話說(shuō),期望替換周期長(zhǎng)度也可以由系統(tǒng)期望壽命和期望缺貨時(shí)間之和來(lái)表示。

整個(gè)替換周期的成本包括替換成本、常規(guī)訂購(gòu)成本、緊急訂購(gòu)成本、庫(kù)存成本、缺貨成本和日常監(jiān)測(cè)成本,即

(14)

式中,C表示替換成本,Cr表示常規(guī)訂購(gòu)成本,Ce表示緊急訂購(gòu)成本,ρs表示缺貨成本率,ρh表示庫(kù)存成本率,ρi表示日常監(jiān)測(cè)成本率。

因此,基于更新過(guò)程理論[15],單位時(shí)間內(nèi)的期望成本(即期望費(fèi)用率)可表示為

(15)

式中，EU(T)和EV(T)分別由(13)式和(14)式給出。我們的目標(biāo)是利用(15)式求出最優(yōu)的下訂時(shí)刻T。

3　實(shí)例驗(yàn)證

在工程實(shí)際中,許多高端裝備的諸多系統(tǒng)模塊,特別是核心系統(tǒng)模塊如高檔數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)、航空航天裝備發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)、風(fēng)力發(fā)電機(jī)主軸系統(tǒng)、導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)等都是由若干部件構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)體,這些復(fù)雜系統(tǒng)的健康狀態(tài)對(duì)整機(jī)的安全運(yùn)行至關(guān)重要。因此,針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的退化狀態(tài)開(kāi)展有效的訂購(gòu)替換維修工作意義重大。本文所提的系統(tǒng)訂購(gòu)策略模型主要解決由多部件性能退化引起的系統(tǒng)整體退化過(guò)程以及基于系統(tǒng)退化過(guò)程開(kāi)展有效訂購(gòu)替換維修工作,為此,采用文獻(xiàn)[14]所提供的系統(tǒng)退化實(shí)例來(lái)驗(yàn)證該訂購(gòu)策略模型的可行性和有效性。將文獻(xiàn)中所研究的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)視為一個(gè)由多部件組成的復(fù)雜系統(tǒng),并開(kāi)展相應(yīng)的系統(tǒng)退化過(guò)程和訂購(gòu)策略研究。該系統(tǒng)由無(wú)線電高度表、雷達(dá)裝置、陀螺儀、轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)裝置以及電源等關(guān)鍵部件組成,由系統(tǒng)各關(guān)鍵部件性能退化數(shù)據(jù)(電壓值)建立特征狀態(tài)矩陣,通過(guò)KPCA方法提取出狀態(tài)子空間,并計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻退化狀態(tài)子空間與正常狀態(tài)子空間之間的夾角,根據(jù)最小夾角計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻退化水平,通過(guò)時(shí)序退化水平構(gòu)建Gamma退化過(guò)程模型,退化模型參數(shù)如表1所示。假設(shè)訂購(gòu)的備用系統(tǒng)交付時(shí)間服從常用的對(duì)數(shù)正態(tài)分布,其常規(guī)交付時(shí)間PDF為

式中，μ=2.553,σ=0.153;緊急交付時(shí)間PDF為

式中,μ=2.297,σ=0.1。相應(yīng)的圖形化表達(dá)如圖3所示。注意到,這里所用的w(t)和h(t)一般由備用系統(tǒng)供應(yīng)商來(lái)提供。

表1　系統(tǒng)退化模型參數(shù)

表2　成本參數(shù)(單元：元)

圖3　交付時(shí)間概率密度分布

接下來(lái),根據(jù)性能退化模型和備用系統(tǒng)交付時(shí)間函數(shù),求出在期望費(fèi)用率標(biāo)準(zhǔn)下的最優(yōu)下訂時(shí)刻,假設(shè)涉及的成本參數(shù)如表2所示。圖4展示了下訂時(shí)刻與期望費(fèi)用率之間的變化規(guī)律,由圖可知,最優(yōu)的下訂時(shí)刻為使期望費(fèi)用率達(dá)到最小時(shí)獲得,即T*=50.5,CR=1.702 8。由前述所得模型可知,當(dāng)前系統(tǒng)的期望壽命為μTl=76,常規(guī)交付時(shí)間期望μr=13,緊急交付時(shí)間期望μe=10,再將成本因素、系統(tǒng)壽命誤差和意外失效因素、交付時(shí)間誤差因素等考慮在內(nèi),最優(yōu)的下訂時(shí)刻T*=50.5是合理的。

圖4　期望費(fèi)用率隨下訂時(shí)刻的變化規(guī)律

4　結(jié)　論

1)本文分析了復(fù)雜系統(tǒng)的退化特點(diǎn)，提出了一種基于復(fù)雜系統(tǒng)退化機(jī)理的訂購(gòu)策略模型，該系統(tǒng)的退化水平由各關(guān)鍵部件的特征性能退化狀態(tài)子空間共同來(lái)表征，系統(tǒng)的整體性能退化過(guò)程由Gamma過(guò)程來(lái)描述。

2)根據(jù)提出的訂購(gòu)策略模型，系統(tǒng)下訂時(shí)刻依賴于系統(tǒng)退化過(guò)程模型和訂購(gòu)策略。通過(guò)使期望費(fèi)用率達(dá)到最小，可以方便地尋找到最優(yōu)的下訂時(shí)刻。

3)本文提出的方法可以廣泛適用于由多部件退化導(dǎo)致的系統(tǒng)整體退化過(guò)程和基于該退化過(guò)程進(jìn)行備用系統(tǒng)訂購(gòu)替換維修的活動(dòng)。

盡管基于所提出的訂購(gòu)策略模型得出了滿意的結(jié)果，但還需要研究面向服從退化和沖擊劣化系統(tǒng)的訂購(gòu)策略模型和多系統(tǒng)訂購(gòu)策略模型，以便獲得更高的生產(chǎn)效率和安全保障。