自適應(yīng)低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)角跟蹤算法*

魯鵬威，賈方秀，王曉鳴，劉 銘

（1.南京理工大學(xué)智能彈藥技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，南京 210094；2.西安交通大學(xué)人居環(huán)境與建筑工程學(xué)院，西安 710049）

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，大量的空中機(jī)動(dòng)目標(biāo)出現(xiàn)在戰(zhàn)場(chǎng)，并且以其高機(jī)動(dòng)性、高靈活性、全天候作戰(zhàn)和有效的攻擊火力，承擔(dān)著越來越重要的作用，使戰(zhàn)爭(zhēng)由平面發(fā)展到立體空間，對(duì)戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)和軍隊(duì)組成等產(chǎn)生了重大影響。但是，隨著地面雷達(dá)和低空導(dǎo)彈的日益完善以及反空火力的增強(qiáng)，空中機(jī)動(dòng)目標(biāo)在作戰(zhàn)中的危險(xiǎn)性不斷增加。由于雷達(dá)對(duì)低空目標(biāo)的快速反應(yīng)能力很差、波束寬等原因，基于雷達(dá)體制的防空系統(tǒng)將無法完成對(duì)低空、超低空目標(biāo)的探測(cè)與跟蹤［1］。依靠地形地物的遮蔽和地面雜波的干擾，在低空飛行的目標(biāo)不易被發(fā)現(xiàn)，所以低空和超低空突防成為空中單位的主要作戰(zhàn)方式。

目前，在輕型防空武器系統(tǒng)超低空防空領(lǐng)域，僅有角測(cè)量的條件下，國內(nèi)外學(xué)者提出了大量角跟蹤算法。王勇等人［2］提出了“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型下的擴(kuò)展卡爾曼角跟蹤算法，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)的角跟蹤，但是跟蹤精度不高；Al-Emadi等人［3］提出了一種利用同步信號(hào)參考與振蕩信號(hào)的角度跟蹤技術(shù)的測(cè)量轉(zhuǎn)換器，表現(xiàn)出優(yōu)異的跟蹤性能，但是所利用的系統(tǒng)較為復(fù)雜；任波等人［4］提出了非線性預(yù)測(cè)濾波算法，在選取恰當(dāng)?shù)募訖?quán)矩陣條件下，可以實(shí)現(xiàn)有效的跟蹤，但是，加權(quán)矩陣很難解析求到，主要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給定，不能保證最優(yōu)結(jié)果。本文針對(duì)輕型防低空武器系統(tǒng)，以低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)為研究對(duì)象，分析其飛行軌跡，提出了一種基于角度的自適應(yīng)跟蹤算法，通過仿真證明了該算法的有效性和優(yōu)越性，并且可以在簡(jiǎn)單的系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。

1 算法設(shè)計(jì)

空中作戰(zhàn)單位在低空或者超低空飛行時(shí)，一般采用地形跟隨飛行方式，利用地物作掩護(hù)，在貼近地面的高度上隱蔽接近攻擊目標(biāo)［5］。低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)的飛行特性主要分為機(jī)動(dòng)飛行和非機(jī)動(dòng)飛行。非機(jī)動(dòng)飛行主要表現(xiàn)為巡航飛行；機(jī)動(dòng)飛行包括以下的飛行方式：懸停跳躍、平飛加速、定常爬升、定常轉(zhuǎn)彎、減速轉(zhuǎn)彎、蛇形飛行和高速拉起等。

本文設(shè)計(jì)的低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)自適應(yīng)角跟蹤算法的基本思路如圖1所示。首先根據(jù)低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)的飛行特性，建立合適的模型；然后根據(jù)建立的模型對(duì)濾波進(jìn)行初始化設(shè)計(jì)；在初始化設(shè)計(jì)后，進(jìn)行擴(kuò)展卡爾曼濾波計(jì)算；濾波結(jié)束后進(jìn)行模型的自適應(yīng)修正，以提高接下來跟蹤的精度；最后是濾波結(jié)果的輸出。

1.1 建立目標(biāo)模型

模型的設(shè)計(jì)對(duì)估計(jì)精度有很大的影響，在該算法中，將低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)看作質(zhì)點(diǎn)，觀測(cè)用的傳感器在坐標(biāo)原點(diǎn)，具體的幾何關(guān)系如圖2所示。

圖2 目標(biāo)與觀測(cè)量的幾何關(guān)系圖

根據(jù)圖2，建立如下的隨機(jī)非線性系統(tǒng)：

式中，f和 h 都是非線性方程；w（k）是以 Q（k）為協(xié)方差矩陣的系統(tǒng)過程噪聲，v（k）是量測(cè)噪聲，其協(xié)方差矩陣是 R（k）；x（k）是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，z（k）是系統(tǒng)的觀測(cè)向量，具體關(guān)系如下：

綜合之前的低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)的飛行特性，建立“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型，連續(xù)系統(tǒng)模型的描述如下［6］：

將“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型離散化，得到離散形式的動(dòng)力學(xué)模型如下：

過程噪聲方差Q的表示如下：

式中，aM與a-M是目標(biāo)在某一方向所能達(dá)到的最大正加速度和最大負(fù)加速度，a是目前加速度的預(yù)測(cè)值。

1.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波

1.2.1 計(jì)算預(yù)測(cè)均值和方差

根據(jù)前文建立的模型，由于系統(tǒng)的非線性，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)［7］。首先計(jì)算飛行目標(biāo)的預(yù)測(cè)均值和方差，計(jì)算公式如下：

心理距離四個(gè)維度之間的聯(lián)系是潛在的自動(dòng)化，與此同時(shí)，它們還具有相似性的特征。例如Pronin和 Olivola (2008) 證實(shí)了人們?cè)趯?duì)自己或者對(duì)他人進(jìn)行未來決策時(shí)存在相似，但對(duì)現(xiàn)在的自己做決策則不同，這表明盡管分屬不同距離維度，時(shí)間距離和社會(huì)距離存在一定的相似性。[29]Boroditsky (2000) 的研究同樣證明，人們能夠使用空間維度上的部分結(jié)構(gòu)化信息用于處理時(shí)間問題，這說明時(shí)間距離和空間距離同樣具有相似性關(guān)聯(lián)。[30]此外，這四個(gè)維度還存在相互影響的聯(lián)系，時(shí)間、空間和社會(huì)距離之間是相互影響的，當(dāng)其中一種距離維度發(fā)生改變后，其他兩種距離維度也將隨之產(chǎn)生相應(yīng)的變化。

1.2.2 計(jì)算雅克比矩陣

1.2.3 計(jì)算觀測(cè)預(yù)測(cè)、協(xié)方差矩陣和濾波增益

觀測(cè)預(yù)測(cè)的計(jì)算如下：

新息協(xié)方差矩陣計(jì)算如下：

卡爾曼濾波增益計(jì)算如下：

后驗(yàn)均值計(jì)算如下：

協(xié)方差矩陣計(jì)算如下：

1.3 機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)

在“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型中，機(jī)動(dòng)頻率α是根據(jù)跟蹤目標(biāo)機(jī)動(dòng)程度來確定的，機(jī)動(dòng)頻率越小，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)程度越大。低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)可以進(jìn)行機(jī)動(dòng)性小的巡航飛行，也能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)動(dòng)性強(qiáng)的飛行，所以，在該模型中，對(duì)機(jī)動(dòng)頻率進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整將會(huì)提高跟蹤精度。

最小均方（LMS）算法具有計(jì)算簡(jiǎn)單、易于收斂等特性，可以很好地應(yīng)用在實(shí)時(shí)性要求高的跟蹤算法中，所以利用LMS算法對(duì)機(jī)動(dòng)頻率進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整［8］。

在LMS算法中，它的更新方程如下：

式中，μ是收斂因子，e（k）是預(yù)期輸出與實(shí)際輸出之差，x（k）是系統(tǒng)的輸入，為了保證算法的收斂性，μ應(yīng)該在一定的范圍內(nèi)取值。

將LMS算法應(yīng)用到本文的擴(kuò)展卡爾曼濾波中，將整個(gè)濾波系統(tǒng)看作一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，機(jī)動(dòng)頻率α就是這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，e（k）x（k）是觀測(cè)預(yù)測(cè)與實(shí)際觀測(cè)之差，即，所以，可以得到機(jī)動(dòng)頻率α的調(diào)整公式：

2 仿真與分析

考慮低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)的飛行特性，利用計(jì)算機(jī)生成飛行軌跡，仿真的軌跡特征見表1，目標(biāo)的飛行軌跡見圖3，圖中每個(gè)點(diǎn)之間的時(shí)間為0.1 s。然后計(jì)算出目標(biāo)的高低角和方位角，作為理論數(shù)據(jù)，將觀測(cè)誤差以正態(tài)分布隨機(jī)加到理論數(shù)據(jù)上，作為觀測(cè)數(shù)據(jù)。本次仿真的采樣時(shí)間為0.1 s，觀測(cè)方位角和高低角的誤差方差為1°，方位角理論值和觀測(cè)值見圖4，高低角理論值和觀測(cè)值見圖5。

圖3 飛行軌跡圖

圖4 方位角理論值和觀測(cè)值

圖5 高低角理論值和觀測(cè)值

圖6 方位角誤差圖

圖7 高低角誤差圖

在進(jìn)行仿真時(shí)，對(duì)固定的機(jī)動(dòng)頻率和自適應(yīng)機(jī)動(dòng)頻率分別進(jìn)行仿真，固定的機(jī)動(dòng)頻率取值為0.001和0.01，自適應(yīng)機(jī)動(dòng)頻率的初始取值與其相同，方位角的誤差見圖6，高低角的誤差見圖7，計(jì)算整個(gè)過程的平均均方根誤差見下頁表2。

從方位角誤差圖和高低角誤差圖可以看出，機(jī)動(dòng)頻率自適應(yīng)的角跟蹤算法的誤差明顯小于單一機(jī)動(dòng)頻率的角跟蹤算法。固定機(jī)動(dòng)頻率角跟蹤中，當(dāng)α取值為0.01時(shí)，誤差總體上比α取值0.001時(shí)小；而在自適應(yīng)機(jī)動(dòng)頻率角跟蹤算法中，在經(jīng)過一定的自適應(yīng)步長(zhǎng)后，不同初值對(duì)誤差的大小影響不大。另外，在目標(biāo)飛行狀態(tài)改變較大的時(shí)候，固定機(jī)動(dòng)頻率的誤差明顯增大，而自適應(yīng)機(jī)動(dòng)頻率的誤差也有所增大，但是誤差比固定機(jī)動(dòng)頻率的角跟蹤算法要小。

表2 幾種角跟蹤的平均均方根誤差

通過幾次仿真可以看出，自適應(yīng)角跟蹤算法的跟蹤精度比傳統(tǒng)的角跟蹤算法的跟蹤精度要高，并且初值的選取對(duì)跟蹤精度的影響不大，都會(huì)把誤差控制在一個(gè)很小的范圍內(nèi)。

3 結(jié)論

本文分析了低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)的飛行特征，針對(duì)輕型防低空武器系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)角跟蹤算法，并且詳細(xì)闡述了算法的實(shí)現(xiàn)過程。對(duì)該算法進(jìn)行仿真對(duì)比分析后，證明了該角跟蹤算法的優(yōu)越性，有良好的跟蹤精度，同時(shí)具有計(jì)算速度快、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。