突破怪圈：數(shù)學(xué)語言促進(jìn)思維發(fā)展

蔣瑩

近來，認(rèn)真研讀了《上海教育叢書》中的數(shù)學(xué)教育專著——陳振宣老師的《培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的探索》。此書已經(jīng)出版了十年，經(jīng)過時(shí)間的驗(yàn)證，陳振宣老師的數(shù)學(xué)思維和教學(xué)思想對(duì)我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響。

1980年代開始，我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，把數(shù)學(xué)能力界定為運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，即三大能力。而陳振宣老師提出這三大能力是數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，是人們的共識(shí)，但據(jù)此來回答數(shù)學(xué)能力的結(jié)構(gòu)似乎難以周全。蘇聯(lián)的心理學(xué)家克魯捷茨基從數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)出發(fā)，將數(shù)學(xué)能力抽象出了九個(gè)成分，其中涉及數(shù)學(xué)符號(hào)語言的理解、運(yùn)用以及對(duì)數(shù)和式的運(yùn)算能力、邏輯推理能力以及利用符號(hào)語言、圖像語言減縮思維等，這一提出對(duì)數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的研究是有貢獻(xiàn)的。但是在教學(xué)中，教師在培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力時(shí)，出現(xiàn)了“怪圈”。通過長期實(shí)踐與教學(xué)教育實(shí)踐，陳振宣老師提出了數(shù)學(xué)思維能力的結(jié)構(gòu)猜想：數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語言×數(shù)學(xué)思維方法×情感智力=數(shù)學(xué)思維能力。這一猜想無疑是給教師在教學(xué)中關(guān)注并滲透數(shù)學(xué)思維能力指明方向，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)頭腦，提高數(shù)學(xué)思維能力有積極的作用。

從陳振宣老師對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的猜想中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)語言對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要性。陳振宣老師提出數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，人們借助于這一載體，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的交流、傳輸，因此熟練掌握數(shù)學(xué)語言是提高數(shù)學(xué)思維能力的必要條件。

什么是數(shù)學(xué)語言？數(shù)學(xué)語言和思維能力又有什么樣的關(guān)系呢？先來看例題。

滬教版八年級(jí)第一學(xué)期19.7 例題2：

在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等，在這個(gè)角的平分線上.

已知：如圖，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是點(diǎn)C、D，且PC=PD.

求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

證明：作射線OP.

∵PC⊥OA，PD⊥OB（已知），

∴△OPC和△OPD都是直角三角形.

在Rt△OPC與Rt△OPD中，

∴Rt△OPC≌Rt△OPD（H.L）.

得∠1=∠2（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

即OP是∠AOB的平分線（角平分線的定義）.

∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

這道例題是對(duì)角的平分線的性質(zhì)定理逆定理的證明。

教學(xué)中對(duì)命題的證明，老師會(huì)要求學(xué)生做到三步：第一步，根據(jù)題意畫出圖形;第二步，根據(jù)題意和圖形寫出“已知”“求證”;第三步，加以證明。這是一種解題的模式，但為什么要做這三步呢？

在這道例題中，可以看到數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形，這就是數(shù)學(xué)語言。我們先來認(rèn)識(shí)它們。

數(shù)學(xué)語言作為一種表達(dá)科學(xué)思想的通用語言和數(shù)學(xué)思維的最佳載體，包含著多方面的內(nèi)容;其中較為突出的是敘述語言、符號(hào)語言及圖形語言，其特點(diǎn)是準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡明。

陳振宣老師的書中指出數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)特有的形式化符號(hào)體系，是數(shù)學(xué)思維的載體，知識(shí)借助語言而傳輸交流。

例題從一開始的命題，也就是敘述語言，翻譯成圖形語言和符號(hào)語言，以此用符號(hào)語言簡明、準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氐贸鼋Y(jié)論，邏輯清晰，讓人一目了然。而這一證明的過程也很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言與思維能力的關(guān)系。數(shù)學(xué)思維活動(dòng)多是無聲的數(shù)學(xué)語言活動(dòng);流暢的數(shù)學(xué)思維建筑在嫻熟的數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)上。顯然，在數(shù)學(xué)教學(xué)中若能有機(jī)地將三種數(shù)學(xué)語言結(jié)合，互相對(duì)照，互相印證，互相轉(zhuǎn)化，這對(duì)于提高學(xué)生思維的靈活性和敏捷性有著不可估量的作用。

在教學(xué)中，老師應(yīng)從口頭訓(xùn)練到語言文字的邏輯表達(dá)訓(xùn)練，逐步達(dá)到表達(dá)的條理井然，層次分明，用語準(zhǔn)確規(guī)范，數(shù)學(xué)符合規(guī)格。這是提高數(shù)學(xué)思維能力的根本。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，需要符合這幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）準(zhǔn)確性。數(shù)學(xué)是一門對(duì)錯(cuò)分明的學(xué)科，不允許有含糊不清的描述或者模棱兩可的語言，所以數(shù)學(xué)語言必須具有準(zhǔn)確性。比如“兩條永不相交的直線是平行線”這句話就不準(zhǔn)確，缺少了一個(gè)重要的條件——“在同一平面內(nèi)”。不在同一平面內(nèi)的兩條永不相交的直線也有異面的情況，所以不準(zhǔn)確的表述會(huì)給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成偏離及對(duì)概念理解的不清。

（2）邏輯性。數(shù)學(xué)又是一門以嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)為骨架的學(xué)科，違背了邏輯就違背了數(shù)學(xué)的真諦，所以數(shù)學(xué)語言要符合邏輯性。有理有據(jù)、有因有果、有前提有結(jié)論。因果關(guān)系環(huán)環(huán)相扣，符合規(guī)律，合情合理。

（3）簡潔性。數(shù)學(xué)語言簡單明了，用盡可能少的語言來表述較復(fù)雜的關(guān)系與規(guī)律。比如“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”這句當(dāng)中的“有且只有”四個(gè)字簡單明了地表述了兩個(gè)層次：第一個(gè)“有”表示存在，“只有”表示唯一，“且”字強(qiáng)調(diào)了這種唯一性。而且簡潔的數(shù)學(xué)語言也使得計(jì)算、推理更清晰，更明確，更合理。

伽利略說：“世界是一本以數(shù)學(xué)語言寫成的書。”數(shù)學(xué)語言是學(xué)好數(shù)學(xué)的工具，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要載體。通過閱讀陳振宣老師的《培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的探索》一書，對(duì)數(shù)學(xué)語言的重要性有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，也讓我更加堅(jiān)定了在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)，從而幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維能力，不僅能學(xué)好數(shù)學(xué)，還能延伸到其他的學(xué)科和生活實(shí)踐中。