回眸創(chuàng)新題型，洞察解題密碼

陳國(guó)林

與創(chuàng)新題型相關(guān)的考點(diǎn)幾乎覆蓋了中學(xué)知識(shí)點(diǎn)的每個(gè)模塊. 其中最為突出的是將中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合數(shù)學(xué)文化進(jìn)行命題，相關(guān)新定義問(wèn)題也較為常見(jiàn)，不等式與函數(shù)方面一般從數(shù)學(xué)應(yīng)用方面著手命制進(jìn)而創(chuàng)新.考生對(duì)一些知識(shí)交匯類題型應(yīng)引起注意，這是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，特別是概率統(tǒng)計(jì)創(chuàng)新題型的命制花樣較多，主要是結(jié)合實(shí)際生活應(yīng)用、散點(diǎn)圖、邏輯推理以及圖論知識(shí)進(jìn)行考查.

一、把握命題規(guī)律，洞悉考點(diǎn)走向

創(chuàng)新思想在每一套數(shù)學(xué)試題中都是不可或缺的，高考一般在試題解決方案、試題素材、試題情境等方面進(jìn)行創(chuàng)新.2016年新課標(biāo)卷Ⅲ中結(jié)合地理考查了識(shí)圖能力；2015年全國(guó)卷Ⅰ理科第16題引導(dǎo)考生將解三角形問(wèn)題的方法推廣運(yùn)用到四邊形試題中，要求考生打破常規(guī)思路，獨(dú)立思考，積極探究；浙江卷文科第7題將立體幾何與平面幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合，考查考生的空間想象能力和推理論證能力，對(duì)考生邏輯思維的靈活性有較高要求；2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第12題將數(shù)列結(jié)合實(shí)際生活進(jìn)行創(chuàng)新，全國(guó)卷Ⅱ理科第4題結(jié)合數(shù)學(xué)文化進(jìn)行命題，新穎獨(dú)特，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化在中學(xué)教學(xué)中的滲透.

二、論說(shuō)創(chuàng)新題型的命題方式

筆者通過(guò)對(duì)近年高考試題的歸納探索發(fā)現(xiàn)，近年來(lái)數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型的命題較為普遍，其中主要命題形式如下.

三、相關(guān)創(chuàng)新題型分析

下面根據(jù)每個(gè)命題形式給出題例，并做出分析.

【例1】（2016·新課標(biāo)卷Ⅲ）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（ ）.

A. 18個(gè) B. 16個(gè) C. 14個(gè) D. 12個(gè)

【解析】當(dāng)k=1時(shí)，由題意得a1=0，當(dāng)k=8時(shí)，得a8=1，則具體的排法列表如下.

【評(píng)注】本題新定義了一個(gè)“規(guī)范01數(shù)列”，考查計(jì)數(shù)原理的相關(guān)應(yīng)用，根據(jù)題目含義進(jìn)行列舉即可得出答案. 本題以信息題的形式呈現(xiàn)，考查了學(xué)生接受和處理信息的能力，解決此題需要充分理解題目的含義，進(jìn)行深入分析，方能準(zhǔn)確地得出結(jié)果.

【例2】（2016·新課標(biāo)卷Ⅲ）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖（如圖1）.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是（ ）.

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)

【解析】結(jié)合圖形可知平均最高氣溫高于20℃的月份有2個(gè)，所以D不正確.

【評(píng)注】這是一道將地理與數(shù)學(xué)結(jié)合的試題，這種學(xué)科交叉的試題有很多，如在數(shù)學(xué)理科卷中，命題人會(huì)將數(shù)學(xué)與物理結(jié)合考查燃油效率問(wèn)題，與化學(xué)結(jié)合考查SO2排放量問(wèn)題，另外此類問(wèn)題還常常考查利用向量解三角形問(wèn)題.本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：一是對(duì)圖形中的線條認(rèn)識(shí)不明確，不知所措，只覺(jué)得是兩把“雨傘”重疊在一起，找不到解決問(wèn)題的方法；二是估計(jì)平均溫差時(shí)易錯(cuò)選B.

【例3】（2015·陜西卷）設(shè)復(fù)數(shù)z=（x-1）+yi（x， y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率為（ ）.

A. + B. + C. - D. -

【解析】由|z|=≤1，得（x-1）2+y2≤1，即點(diǎn)（x， y）所在的區(qū)域是以（1， 0）為圓心，1為半徑的圓盤，則滿足y≥x的區(qū)域?yàn)槿鐖D2所示陰影部分（弓形OA），故y≥x的概率

P==-.

【評(píng)注】復(fù)數(shù)考題常?？疾槟ｉL(zhǎng)、共軛復(fù)數(shù)、實(shí)部與虛部等知識(shí)，而本題則巧妙地將復(fù)數(shù)與幾何概型相結(jié)合考查了數(shù)形結(jié)合的思想. 解決此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確畫圖，畫出圖形后即可看出相應(yīng)的面積關(guān)系.

【例4】（2017·新課標(biāo)卷Ⅱ）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）.

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

【解析】一座7層塔共掛了381盞燈，即S7=381；相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，即q=2，塔的頂層為a1；由等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=（q≠1）可知，S7=

=381，解得a1=3.

【評(píng)注】古算詩(shī)題是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)形式.古算詩(shī)題表達(dá)了數(shù)學(xué)精華的思想方法，傳遞著數(shù)學(xué)問(wèn)題的信息.本題主要選擇了《算法統(tǒng)宗》的古算詩(shī)題，求解的關(guān)鍵在于將詩(shī)題與中學(xué)數(shù)學(xué)建立聯(lián)系，進(jìn)而求解.

【例5】（2015·四川卷）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b（e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）. 若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是 小時(shí).

【解析】由得e11k=，則當(dāng)x=33時(shí)，y=

e33k+b=（e11k）3·eb=（）3×192=24.

【評(píng)注】培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力一直是一項(xiàng)不可小視的任務(wù)，因此在高考試卷中有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用的試題是必不可少的.本題將食品保鮮問(wèn)題結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行考查，突出了數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)的特點(diǎn).

【例6】（2016·新課標(biāo)卷Ⅱ）有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2.”乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1.”丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5.”則甲的卡片上的數(shù)字是 .

【解析】由題意可知甲的卡片上的數(shù)字為1和3，乙的卡片上的數(shù)字為2和3，丙的卡片上的數(shù)字為1和2.

【評(píng)注】邏輯推理即演繹推理，就是從一般性的前提出發(fā)，通過(guò)推導(dǎo)，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過(guò)程.邏輯推理題的考查主要包括演繹、歸納和溯因三種方式.解決此類試題的關(guān)鍵在于弄清邏輯關(guān)系.

【例7】（2017·新課標(biāo)卷Ⅰ）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為以下數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（ ）.

A. 440 B. 330 C. 220 D. 110

【解析】（方法一）因?yàn)?0+21+22+…+2n-1=2n-1，所以原數(shù)列的前（1+2+3+…+n）項(xiàng)和，即前項(xiàng)和為21-

1+22-1+23-1+…+2n-1=2n+1-2-n.

取n=29，則=435，所以原數(shù)列前440項(xiàng)和為

230-31+20+21+22+23+24=230，所以當(dāng)整數(shù)N=440時(shí)，滿足題設(shè)條件“N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪”.

類似分析，分別取n=25，20，14可知，當(dāng)整數(shù)N= 330，220，110時(shí)，均不滿足題設(shè)條件“N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪”.

綜上，適合題意的最小整數(shù)N為440.故選A.

（方法二）因?yàn)?0+21+22+…+2n-1=2n-1，所以原數(shù)列的前（1+2+3+…+n）項(xiàng)和，即前項(xiàng)和為21-1+22-1+

23-1+…+2n-1=2n+1-2-n（*）.

注意到20=1，20+21=3，20+21+22=7，20+21+22+23=15，20+21+22+23+24=31，所以易判斷知，分別?。?）中的n=1，5，13，29，即得原數(shù)列的前N=3，18，95，440項(xiàng)和均為2的整數(shù)冪（說(shuō)明：這里N的可能取值只羅列了前4個(gè)，且按由小到大的順序依次給出）. 故適合題意的最小整數(shù)N為440.故選A.

【評(píng)注】新情景類數(shù)學(xué)問(wèn)題有利于考查考生分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力、發(fā)散性思維能力和探索創(chuàng)新精神，所以需要引起重視.本題的難點(diǎn)在于需要對(duì)數(shù)列進(jìn)行多次求和，從而導(dǎo)致考生解答時(shí)不知從何下手，思維難以打開(kāi).

四、創(chuàng)新題型破解策略

1.涉及大學(xué)內(nèi)容、學(xué)科關(guān)聯(lián)和新定義的數(shù)學(xué)問(wèn)題一般會(huì)以信息題的形式出現(xiàn)，解決此類試題的關(guān)鍵在于弄清題目所給定義的含義.

2.學(xué)科關(guān)聯(lián)試題的命制較為新穎，一般情況下數(shù)學(xué)文科卷會(huì)與地理結(jié)合進(jìn)行命制，理科卷則會(huì)與物理化學(xué)結(jié)合進(jìn)行命制，一般此類試題難度不大，掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能即可解決.

3.對(duì)于應(yīng)用試題的解決，則需要將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)而求解，一般方法是刪除題目中的多余信息，抽取出關(guān)鍵內(nèi)容，建立等量關(guān)系，進(jìn)而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行破解.

4.邏輯推理問(wèn)題則需要弄清題目?jī)?nèi)在的邏輯關(guān)系.

5.傳統(tǒng)文化試題是將古代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)相結(jié)合，此類試題需要先理清古代數(shù)學(xué)文化中的用語(yǔ)所表示的含義，然后再利用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解.

6.綜合類試題的難度較大，必須要有扎實(shí)的基礎(chǔ)，將大的考點(diǎn)進(jìn)行分解，逐步擊破，方可勝券在握.

五、展望考題趨勢(shì)，關(guān)注命題熱點(diǎn)

筆者預(yù)測(cè)2018年創(chuàng)新題型的命制依舊會(huì)延續(xù)2017年的命題特點(diǎn)，考生需要關(guān)注以下幾點(diǎn)：

1.新定義問(wèn)題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象思維，如本文例1.

2.數(shù)學(xué)應(yīng)用與邏輯推理試題意在考查考生的數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，如本文例3、例6.

3.我國(guó)數(shù)學(xué)文化歷史悠久，存在許多不同于西方數(shù)學(xué)文化的鮮明特點(diǎn)：注重歸納，強(qiáng)調(diào)實(shí)用，講究算法.在高考試題中滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，強(qiáng)調(diào)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的傳統(tǒng)特色，使考生在解題過(guò)程中接受我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的熏陶，從而形成嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實(shí)的治學(xué)態(tài)度，如本文例4.

4.利用綜合知識(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行全面考查，此類試題一般會(huì)設(shè)計(jì)成壓軸題，意在考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理能力.