考慮表面擴(kuò)散的實(shí)際狀態(tài)頁巖氣表觀滲透率新模型

李冬冬, 張艷玉, 孫曉飛, 趙風(fēng)凱, 崔曉朵, 喬偉澤, 蘇玉亮

(1.中國石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院,山東青島 266580; 2.中國石化勝利油田分公司勘探開發(fā)研究院,山東東營 257015;3.遼河油田安全環(huán)保技術(shù)監(jiān)督中心,遼寧盤錦 124010)

頁巖氣儲層以發(fā)育多種類型的納米級孔隙為特征[1],孔隙度一般小于6%,滲透率一般小于0.001×10-3μm2[2]。頁巖氣在納米孔隙中的流動形態(tài)為滑脫流或過渡流[3],目前描述上述過程的主要方法有格子Boltzmann方法[4-5]、蒙特卡洛方法[6-7]以及滲流力學(xué)方法等。其中,滲流力學(xué)方法研究尺度廣(從孔隙尺度到油藏尺度),計(jì)算量小,廣泛應(yīng)于頁巖氣研究領(lǐng)域。目前,基于滲流力學(xué)方法形成的頁巖氣表觀滲透率模型主要有Beskok-Karniadakis[8]、Javadpour[9-10]以及Klinkenberg模型[11],而Jones-Owens[12]、Florence[13]、Ertekin[14]、Michel[15]、Sakhaee-Bryant[16]、Civan[17]等模型以Klinkenberg模型為基礎(chǔ),主要區(qū)別在于滑脫系數(shù)bk的計(jì)算方法不同。上述3類模型均假設(shè)頁巖氣為理想氣體,未考慮頁巖氣分子的大小及分子間的相互作用力。另外,吸附氣和自由氣共存的介質(zhì)中,氣體運(yùn)移機(jī)制主要包含自由氣的黏滯流和Knudsen擴(kuò)散以及吸附氣的表面擴(kuò)散。Knudsen擴(kuò)散描述氣體分子與孔隙壁碰撞而引起的氣體運(yùn)移現(xiàn)象,而滑脫效應(yīng)產(chǎn)生的根源也是氣體分子與孔隙壁的碰撞,因此兩者從本質(zhì)上是同一種機(jī)制。已有模型僅考慮了自由氣的黏滯流以及Knudsen擴(kuò)散,并未考慮吸附氣的表面擴(kuò)散現(xiàn)象。為了表征實(shí)際狀態(tài)下的頁巖氣在納米孔隙中的運(yùn)移機(jī)制,筆者考慮黏滯流、Knudsen擴(kuò)散以及表面擴(kuò)散機(jī)制,推導(dǎo)實(shí)際狀態(tài)下頁巖氣的表觀滲透率模型。

1　實(shí)際狀態(tài)下頁巖氣的Knudsen擴(kuò)散

考慮分子的大小以及分子間的相互作用,假設(shè)孔隙為圓形,內(nèi)壁光滑,氣體前進(jìn)方向?yàn)檎?則實(shí)際狀態(tài)氣體的Knudsen擴(kuò)散方程[9]為

(1)

其中

式中,JK為頁巖氣Knudsen擴(kuò)散質(zhì)量流量,kg/(m2·s);M為頁巖氣的相對分子質(zhì)量,kg/mol;C為頁巖氣的摩爾密度,mol/m3;DK為頁巖氣的Knudsen擴(kuò)散系數(shù),m2/s;r為孔隙半徑,m;Z為頁巖氣的壓縮因子;R為通用氣體常數(shù),8.314 J/(mol·K);T為溫度,K;z為空間變量。

根據(jù)實(shí)際氣體的狀態(tài)方程pV=nZRT可得,氣體的摩爾密度為

(2)

式中,p為壓力,Pa;n為氣體的物質(zhì)的量,mol;V為氣體的體積,m3。

將式(2)代入式(1)中可得

(3)

而壓縮因子又是溫度以及壓力的函數(shù),在恒溫條件下,有

(4)

對于實(shí)際氣體,其等溫壓縮系數(shù)[18]為

(5)

將式(4)、(5)代入式(3)中,推導(dǎo)可得實(shí)際狀態(tài)下的Knudsen擴(kuò)散方程為

(6)

式中,Cg為頁巖氣的等溫壓縮系數(shù),Pa-1。

2　實(shí)際狀態(tài)下頁巖氣的黏滯流

根據(jù)Hagen-Poiseuille方程[13],頁巖氣在納米孔隙中流動時黏滯流質(zhì)量流量為

(7)

式中,Jvs為頁巖氣的質(zhì)量流量,kg/(m2·s);ρ為頁巖氣的密度,kg/m3;μ為頁巖氣的黏度,Pa·s。

根據(jù)實(shí)際氣體的狀態(tài)方程可得氣體的密度為

(8)

將式(8)代入式(7)中,推導(dǎo)可得實(shí)際狀態(tài)下頁巖氣的黏滯流方程為

(9)

3　頁巖氣的表面擴(kuò)散

由于頁巖中存在有機(jī)質(zhì)以及黏土礦物,且頁巖的孔隙尺寸為納米級或微米級,頁巖氣在孔隙中存在吸附現(xiàn)象?？紫秲?nèi)壁的吸附氣會沿著吸附層移動,這種現(xiàn)象稱為表面擴(kuò)散現(xiàn)象。頁巖氣的表面擴(kuò)散流量由Fick擴(kuò)散定律計(jì)算[19-20]為

(10)

式中,JS為頁巖氣表面擴(kuò)散的質(zhì)量流量,kg/(m2·s);DS為頁巖氣的表面擴(kuò)散系數(shù),m2/s;CS為頁巖氣的吸附量,mol/m3。

式(10)中頁巖氣的吸附量CS的計(jì)算方法與頁巖氣的吸附類型有關(guān)。大量文獻(xiàn)表明,甲烷在頁巖中的吸附為單層吸附,滿足Langmuir等溫吸附定律[21-23],因此有

(11)

將式(11)代入到式(10)中,推導(dǎo)可得頁巖氣的表面擴(kuò)散方程為

(12)

式中,CL為Langmuir最大吸附量,mol/m3;pL為Langmuir壓力,表示吸附量為最大吸附量的一半時所對應(yīng)的壓力,Pa。

表面擴(kuò)散系數(shù)DS=DS0f(θ),DS0為表面覆蓋率為0時的表面擴(kuò)散系數(shù),θ為表面覆蓋率。Langmuir等溫吸附的表面覆蓋率定義為

(13)

目前常見的表面擴(kuò)散系數(shù)的計(jì)算方法主要分為兩類:一類是擬合模型(Hwang-Kammermeyer模型[20]、Suzuki-Fujii模型[24]等),需要通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合確定模型中的參數(shù);另一類是理論模型(HIO模型[25]、改進(jìn)的HIO模型[26]、Kapoor-Yang模型[27]、Chen-Yang模型[28]以及Do模型[29]等),主要根據(jù)孔隙和氣體的物性參數(shù)計(jì)算表面擴(kuò)散系數(shù)。由于第二類模型比第一類模型適用性更強(qiáng),本文中采用第二類模型中的5種方法計(jì)算甲烷的表面擴(kuò)散系數(shù),計(jì)算結(jié)果如圖1所示。由此可知,當(dāng)表面覆蓋率接近1時,HIO模型、Do模型以及Kapoor-Yang模型計(jì)算的表面擴(kuò)散系數(shù)趨向于無窮大,因此這3種模型適用性差。改進(jìn)的HIO模型雖不存在此問題,但此模型假設(shè)存在第2吸附層,與頁巖氣藏單層吸附不相符。Chen-Yang模型不但考慮了孔隙表面的非均質(zhì)性,并且覆蓋率為1時表面擴(kuò)散系數(shù)為有限值。因此采用Chen-Yang模型,公式為

(14)

其中

式中,β為阻塞常數(shù),當(dāng)β=0時此模型簡化為HIO模型;kb為阻塞速率常數(shù),m/s;km為前進(jìn)速率常數(shù),m/s。

其中,式(14)中DS0的計(jì)算方法[30]為

(15)

式中,ΔH為等量吸附熱,J/mol。

圖1　不同方法計(jì)算的甲烷表面擴(kuò)散系數(shù)Fig.1　Methane surface diffusion coefficient calculated by different methods

4　實(shí)際狀態(tài)頁巖氣的表觀滲透率模型

頁巖氣在納米孔隙中的流動,在不考慮表面擴(kuò)散時,總流量為黏滯流流量與Knudsen擴(kuò)散流量之和[10,31-32];考慮表面擴(kuò)散時,總流量為自由氣的流量與吸附氣表面擴(kuò)散流量之和[20,32]。因此頁巖氣在納米孔隙中的總質(zhì)量流量為黏滯流流量、Knudsen擴(kuò)散流量以及表面擴(kuò)散流量之和:

J=Jvs+JK+JS=

(16)

頁巖氣的體積流量為

(17)

將式(8)、(16)代入式(17),得

(18)

根據(jù)Darcy定律,可推導(dǎo)出實(shí)際狀態(tài)下單一納米孔隙中頁巖氣的表觀滲透率模型為

(19)

式中,kapp為頁巖氣的表觀滲透率,m2。

若分別用kvs、kKn和kS表示黏滯流、Knudsen擴(kuò)散以及表面擴(kuò)散引起的滲透率,則

(20)

(21)

(22)

若分別用γvs、γKn和γS表示黏滯流、Knudsen擴(kuò)散以及表面擴(kuò)散引起的滲透率在總表觀滲透率中所占的比重,則

(23)

(24)

(25)

5　頁巖氣壓縮因子及黏度的計(jì)算方法

通過式(19)計(jì)算實(shí)際狀態(tài)下頁巖氣的表觀滲透率,需要精確計(jì)算頁巖氣黏度μ以及壓縮因子Z。分別以108和116個壓縮因子和黏度數(shù)據(jù)點(diǎn)為依據(jù),系統(tǒng)對比評價5種壓縮因子和11種黏度計(jì)算方法,提高實(shí)際狀態(tài)下頁巖氣表觀滲透率模型計(jì)算的準(zhǔn)確性。

將計(jì)算所得相對誤差、平均相對誤差和平均運(yùn)算時間作為模型評價的依據(jù)。

相對誤差ERi的計(jì)算方法為

(26)

平均相對誤差EARi為

(27)

式中,Zi為計(jì)算的第i個壓縮因子或黏度數(shù)據(jù);ZCi為第i個數(shù)據(jù)點(diǎn)的壓縮因子SK圖版值或黏度Carr圖版值;N為壓縮因子或黏度數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)。

5.1　壓縮因子計(jì)算方法

采用HY[18]、DPR[33]、DK[34]、HSM[35]和HMR[36]方法計(jì)算108個不同壓力和溫度下的甲烷壓縮因子,并與壓縮因子SK圖版比較,如圖2所示。

由圖2可知,DK方法誤差最小,為0.53%;而HY方法的運(yùn)算時間最大,DPR、DK方法次之,HSM、HMR方法最小。綜合誤差及運(yùn)算時間兩方面因素,應(yīng)采用DK方法計(jì)算頁巖氣的壓縮因子。

圖2　甲烷壓縮因子相對誤差和平均相對誤差及運(yùn)算時間Fig.2　Relative error and average relative error of methane Z-factor by different methods

5.2　黏度計(jì)算方法

分別采用API剩余黏度[18,33]、DPS[37]、SLP[37-38]、HMR[36]、JH[39]、HMS[40]、LGE[38]、Els[41-42]、LAB[41]、Sutton[41-42]和HJ[41-42]方法計(jì)算了116個不同壓力和溫度下甲烷黏度,并與Carr圖版[43]和文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)比較[44],如圖3所示。由圖3可知,在大氣壓條件下以及高溫高壓條件下累積相對誤差均為Sutton方法最小,分別為0.6%和2.7%。因此采用基于密度的Sutton方法計(jì)算頁巖氣的黏度。

圖3　不同模型計(jì)算的黏度相對誤差和平均相對誤差直方圖Fig.3　Relative error and average relative error of methane viscosity by different methods

6　模型驗(yàn)證

Roy等[45]通過試驗(yàn)測量了Ar氣通過由長直圓柱納米孔隙組長的均質(zhì)多孔介質(zhì)的質(zhì)量流量,試驗(yàn)所采用的材料納米孔隙長度L為60×10-6m,納米孔隙半徑r為106×10-9m,出口壓力pout為4.8 kPa,壓差Δp為87.4～916.9 kPa,溫度T為300 K,氣體的黏度μ為0.222 mPa·s,相對分子質(zhì)量M為39.948 g/mol,出口Knudsen數(shù)為7.36。將本文中所建模型與現(xiàn)有模型計(jì)算結(jié)果比較[12-17],如圖4所示。

圖4　試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型計(jì)算結(jié)果對比Fig.4　Comparison of model computation results and experimental data

由圖4可知,本文中模型計(jì)算結(jié)果與Roy試驗(yàn)測量結(jié)果擬合程度高,擬合效果好,誤差為3.02%,而其余模型計(jì)算的質(zhì)量流量均小于試驗(yàn)值,并且有較大差距,原因在于Jones-Owens、Florence、Ertekin等模型并不能很好地描述頁巖氣在納米尺度孔隙中的運(yùn)移。本文中所建模型可以準(zhǔn)確地描述穩(wěn)態(tài)條件下實(shí)際狀態(tài)頁巖氣在納米孔隙中的滲流過程。

7　頁巖氣表觀滲透率影響因素

7.1　表面擴(kuò)散的貢獻(xiàn)

計(jì)算不同孔隙半徑、不同壓力條件下的表面擴(kuò)散滲透率比重γS,如圖5所示。表面擴(kuò)散滲透率比重表征了表面擴(kuò)散機(jī)制對頁巖氣表觀滲透率的貢獻(xiàn)。由圖5可知,表面擴(kuò)散滲透率比重隨壓力的增大而減小,也隨孔隙半徑的增大而減小。另外,孔隙半徑為1 nm、壓力分別為0.1和20 MPa時,表面擴(kuò)散引起的滲透率變化在總滲透率中所占比例可達(dá)75%、30%,說明在頁巖納米孔隙中,不管在低壓條件下還是油藏條件下,均不能忽略表面擴(kuò)散對滲透率的影響。

圖5　不同壓力及孔隙半徑下表面擴(kuò)散滲透率比重Fig.5　Effects of pressure and pore radius on surface diffusion permeability fraction

7.2　孔隙半徑與壓力的影響

計(jì)算不同孔隙半徑下表觀滲透率、黏滯流滲透率比重、Knudsen擴(kuò)散滲透率比重以及表面擴(kuò)散滲透率比重,如圖6所示。由圖6可知:①表觀滲透率隨孔隙半徑增加而增加,隨壓力的增加而減小;②黏滯流滲透率比重隨孔隙半徑及壓力的增加而增加;③低壓條件下,Knudsen擴(kuò)散滲透率比重隨孔隙半徑增加,呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢,且壓力越大,曲線峰值越靠左;高壓條件下,Knudsen擴(kuò)散滲透率比重隨孔隙半徑的增加而減小,如圖6(c)所示;④表面擴(kuò)散滲透率比重隨孔隙半徑的增加而急劇減小,如圖6(d)所示,且壓力越低,孔隙半徑的影響越明顯。

圖6　不同壓力下孔隙半徑對表觀滲透率及各比重的影響Fig.6　Effects of pore radius on apparent permeability and fractions at different pressures

7.3　溫度與壓力的影響

不同壓力下溫度對表觀滲透率及各比重的影響如圖7所示。由圖7可知:①表觀滲透率隨溫度的增大而增大,且壓力越小,圖7(a)中曲線的斜率越大,溫度對表觀滲透率的影響越大;②圖7(b)中,黏滯流滲透率比重隨溫度的升高而降低,且壓力太高或太低時,溫度的影響不大,反而壓力處于中間狀態(tài),曲線的變化較明顯,溫度的影響較大;③圖7(c)中,Knudsen擴(kuò)散滲透率比重低壓下隨溫度的升高而降低,高壓下隨溫度的升高而升高;④圖7(d)中,表面擴(kuò)散滲透率比重隨溫度的升高而升高,且低壓下曲線的斜率越大,溫度的影響越大。

7.4　表面擴(kuò)散參數(shù)與壓力的影響

Langmuir最大吸附量、Langmuir壓力及等量吸附熱對頁巖氣的表觀滲透率、黏滯流滲透率比重及Knudsen擴(kuò)散滲透率比重影響不大,但對表面擴(kuò)散滲透率比重有較大影響,如圖8所示。由圖8可知:表面擴(kuò)散滲透率比重隨Langmuir最大吸附量增大而增大,且低壓下,曲線斜率更大,Langmuir最大吸附量的影響更明顯;低壓下,表面擴(kuò)散滲透率比重隨Langmuir壓力的增加而減小,且壓力越大,曲線斜率越小,說明Langmuir壓力對表面擴(kuò)散滲透率比重的影響越小,高壓下Langmuir壓力對表面擴(kuò)散滲透率比重影響甚微;表面擴(kuò)散滲透率比重隨等量吸附熱的增加而減小,且壓力越低,曲線變化越明顯,等量吸附熱的影響越大。

圖7　不同壓力下溫度對表觀滲透率及各比重的影響Fig.7　Effects of temperature on apparent permeability and fractions at different pressures

圖8　Langmuir最大吸附量、Langmuir壓力及等量吸附熱對表面擴(kuò)散滲透率比重的影響Fig.8　Effects of the max Langmuir adsorption concentration,Langmuir pressure and isosteric adsorption heat on surface diffusion permeability fraction

8　結(jié)　論

(1)頁巖氣在納米孔隙中運(yùn)移,包含自由氣的黏滯流、Knudsen擴(kuò)散以及吸附氣的表面擴(kuò)散機(jī)制。

(2)在頁巖納米孔隙中,在低壓及油藏條件下均不能忽略表面擴(kuò)散對滲透率的影響。

(3)壓力和孔隙半徑對表觀滲透率的影響最大;Langmuir最大吸附量、Langmuir壓力、等量吸附熱主要影響表面擴(kuò)散滲透率比重。在低壓和高壓條件下,溫度和孔隙半徑對模型的影響呈現(xiàn)不同的規(guī)律,低壓下各參數(shù)的影響更加明顯。

(4)壓力越低,孔隙半徑越小,表面擴(kuò)散對總表觀滲透率的貢獻(xiàn)越大。