雙繞組變壓器集總等效電路頻率響應的電路矩陣算法研究

王松,王薇,曾鑫海,楊豐野,張那明,段娜娜,王曙鴻

(1.西北農(nóng)林科技大學動力與電氣系,712100,陜西楊凌;2.西安交通大學電力設(shè)備電氣絕緣國家重點實驗室,710049,西安)

變壓器作為電力系統(tǒng)中電能轉(zhuǎn)換與傳輸?shù)年P(guān)鍵設(shè)備,確保其安全、可靠的運行狀態(tài)對維護電網(wǎng)的穩(wěn)定具有重要意義[1-3]。然而,隨著我國電網(wǎng)容量以及負荷的增多,電網(wǎng)的短路電流水平也不斷提高,導致因短路造成的變壓器繞組故障也隨之增加。國際大電網(wǎng)會議的變壓器可靠性工作小組調(diào)查了1996—2010年世界范圍的48個單位的900多起重大變壓器事故,深入分析相關(guān)數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn):繞組發(fā)生故障所占比例最高[4-5]。國家電網(wǎng)公司研究了2005—2015年近10年在運的110(66) kV及以上電壓等級的變壓器的運行數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)變壓器繞組發(fā)生故障的次數(shù)最多,占變壓器總故障的35.7%[6]。因此,準確地確定變壓器繞組的狀態(tài)對預防和降低變壓器故障風險有重要作用。

頻率響應分析法(frequency response analysis method,FRA)作為一種有效的變壓器繞組故障診斷方法,由于其對繞組變形的高靈敏度、檢測的非破壞性以及測試數(shù)據(jù)的高重復性,使其成為變壓器繞組變形檢測領(lǐng)域應用最為廣泛的方法之一[7]。FRA法主要依據(jù)故障前后繞組頻率響應曲線的變化規(guī)律進行繞組的故障判定。因此,深入挖掘隱藏在繞組頻率響應中能夠表征繞組狀態(tài)的特征信息成為了確定繞組故障狀態(tài)的關(guān)鍵。然而,由于變壓器自身封閉性、設(shè)備昂貴等特點,使得研究人員在開展變壓器繞組故障類型、變形程度與變形位置與繞組頻率響應內(nèi)在聯(lián)系研究時,很難直接對一臺實際的變壓器繞組設(shè)置相應的變形故障。為解決這一問題,變壓器繞組的仿真研究方法被全世界研究人員廣泛采用。快速準確地獲得變壓器繞組等效電路模型的頻率響應成為順利開展繞組仿真方法研究的關(guān)鍵。因此,研究并選擇高效的電力變壓器繞組等效電路頻率響應計算方法,特別是針對擁有線餅數(shù)量多的電力變壓器,具有非常重要的理論意義和工程價值。

變壓器繞組等效電路模型主要可分為3類:多導體傳輸線模型、混合模型和集總參數(shù)等效電路模型。多導體傳輸線模型將繞組的每一條線匝看成一條傳輸線,基于單位長度的傳輸線等值參數(shù),利用傳輸線理論建立的繞組模型。該模型在變壓器繞組的過電壓分析[8-9]和局部放電[10-11]研究中應用最為廣泛。由于該模型以線匝為基本單元,導致較難通過修改模型相關(guān)參數(shù)模擬典型的繞組變形故障。因此,限制了多導體傳輸線模型在變壓器繞組變形檢測領(lǐng)域的應用。文獻[12]建立了一個單繞組變壓器的多導體傳輸線模型,利用COMSOL建立了該繞組的3D模型,通過修改繞組結(jié)構(gòu)模擬故障并計算了不同故障下繞組電容和電感參數(shù)值,最終將參數(shù)帶入到多導體傳輸線模型中。

混合模型是王贊基教授為分析變壓器等電力設(shè)備內(nèi)部特快速暫態(tài)響應以及線圈內(nèi)局部電磁振蕩而提出的[13]。該模型集合了變壓器繞組分布參數(shù)和集總參數(shù)的特點,是介于多導體傳輸線模型和集總參數(shù)等效電路模型間的一種模型。國外學者Shintemirov等[14]將該模型應用到了繞組狀態(tài)檢測領(lǐng)域,建立了一個單繞組的混合模型并計算了該繞組模型的頻率響應。文獻[15]針對一臺單繞組變壓器,建立了該繞組的混合模型,仿真獲得了變壓器繞組的頻響特性,通過改變相關(guān)參數(shù)仿真了軸向位移、徑向位移和高接觸電阻故障,并研究了這些故障下的頻率響應曲線變化規(guī)律。然而,以上文獻都僅針對單繞組變壓器展開,并未考慮繞組二次側(cè)繞組的影響。混合模型以線餅為基本單元,與多導體傳輸線模型相比,所建立方程的維數(shù)減小了,但該模型存在集總電路部分的元件參數(shù)不易確定的問題[13]。

集總參數(shù)等效電路模型是依據(jù)繞組的物理結(jié)構(gòu),以繞組的單線餅或雙線餅為基本單元而建立的模型。該模型結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)計算容易,因此在變壓器繞組仿真建模與頻率響應分析中被廣泛采用。文獻[16]利用ANSYS/ANSOFT Simplorer軟件搭建了繞組的集總參數(shù)等效電路,研究了繞組自由翹曲和強力翹曲故障下的頻率響應曲線的變化特征。文獻[17]以雙線餅為基本單元,利用PSPICE軟件對一個單繞組變壓器進行了等效電路建模和頻率響應計算。對于線餅數(shù)量較少的變壓器,利用成熟的電路仿真軟件具有較高的計算效率,但當線餅數(shù)增多時,相應的建模時間會明顯增加。文獻[18]基于狀態(tài)空間法推導了二次繞組短接的雙繞組變壓器的頻率響應函數(shù),并依據(jù)該頻響函數(shù)計算得到了繞組頻率響應曲線以及頻響函數(shù)的零極點。狀態(tài)空間法需要選擇相互獨立的狀態(tài)變量建立狀態(tài)方程和相應的輸出方程,所以該方法推導過程較為復雜。文獻[19]提出了一種變壓器繞組梯形網(wǎng)絡頻率響應的矩陣算法,該方法的實質(zhì)就是節(jié)點電壓方法,但將等效電路模型中支路分成阻抗和導納支路,在節(jié)點電壓列向量求解時,還需對相應的矩陣進行修改,導致推導過程過于繁瑣,影響計算效率。同時,由于難以將PSPICE或者Simulink搭建電路所用時間與構(gòu)建節(jié)點電壓方程的時間作比較,所以僅對比了所述算法、PSPICE和Simulink這3種算法的方程求解時間。然而,本文研究發(fā)現(xiàn),節(jié)點電壓矩陣方程的求解時間僅占算法總耗時的5%左右。因此,算法其他部分的耗時情況也需要進一步對比分析。

針對以上問題,本文基于電路理論,定義了雙繞組等效電路的廣義支路,并據(jù)此構(gòu)建繞組等效電路模型的支路電壓、電流矩陣;通過選擇節(jié)點、獨立回路和獨立割集,基于基爾霍夫電壓和電流定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式、獨立回路矩陣形式、獨立割集矩陣形式,推導了等效電路頻率響應的節(jié)點電壓方程、獨立回路電流方程與獨立割集電壓方程的矩陣算法;利用Multisim電路仿真軟件對所提3種計算繞組等效電路FRA曲線的矩陣算法的正確性進行驗證;對3種算法進行了矩陣求解時間、矩陣裝配時間和總計算時間的對比。本文研究成果應可為工程技術(shù)人員選擇相應的頻率響應計算方法提供指導。

1 變壓器繞組等效電路模型與廣義支路

1.1 雙繞組變壓器集總參數(shù)等效電路模型

圖1為一個雙繞組變壓器的集總參數(shù)等效電路模型。該模型以一個線餅為單元,每個單元包含了高壓和低壓縱向電容Csh、Csl,對地電容Cgh、Cgl,串聯(lián)電感Lsh、Lsl,串聯(lián)電阻Rsh、Rsl,高壓與低壓繞組之間的并聯(lián)電容Chl,高壓繞組線餅間的互感MHV(i,j),低壓繞組線餅間的互感MLV(i,j),高、低壓繞組各個線餅間的互感MHL(i,j)。該等效電路的末端電阻R0為匹配電阻。圖1模型含有n個線餅,對應含有2(n+1)個節(jié)點(不考慮接地節(jié)點且接地節(jié)點作為參考點)和7n+5條支路。按照由低壓到高壓、同類支路連續(xù)標號的原則對每條支路進行編號。此原則可使列寫的支路導納或者阻抗矩陣中同類參數(shù)在一起,方便矩陣列寫和編程。圖1中各支路箭頭的指向表示電流的方向。

圖1 雙繞組變壓器的集總參數(shù)等效電路模型

1.2 廣義支路的建立

建立變壓器繞組等效電路方程矩陣算法時,需要建立支路方程,針對電感支路間的耦合互感,利用電流控制的電壓源進行表征。復頻域下等效電路第k條廣義支路的定義見圖2。根據(jù)支路電壓、電流關(guān)系,可得

圖2 廣義支路

Uk(s)=Zk(s)Ik(s)-Zk(s)Isk(s)+Usk(s)+U1k(s)+…+Ujk(s)+…+U(2n-3)k(s)

(1)

式中U1k、Ujk與U2(n+3)k分別表示第1、j、2n-3條電感支路與第k條電感支路的互感電壓,其中j≠k。U1k、Ujk與U2(n+3)k分別等于第1、j、2n-3條電感支路的支路電流乘以相應的互感值。

1.3 支路電壓和支路電流的矩陣形式的建立

將廣義支路推廣到整個繞組等效電路7n+5條支路,可得

(2)

將式(2)寫成矩陣形式

U=ZI-ZIs+Us

(3)

式中:U與I分別為支路電壓與支路電流向量;Us與Is分別為支路電壓源和電流源向量;Z為支路阻抗矩陣,根據(jù)圖1中各支路的編號順序列寫,具體為

(4)

式中:ZLMR為高、低壓繞組各串聯(lián)電感支路的阻抗以及它們之間的互感阻抗矩陣;ZC為各電容支路的支路阻抗矩陣。ZLMR計算式為

(5)

(6)

(7)

(8)

ZC計算式為

(9)

(10)

由于繞組集總參數(shù)等效電路各支路不含電流源,式(3)可簡化為

U=ZI+Us

(11)

由于Z為方陣且可逆,式(11)可轉(zhuǎn)化為

I=YU-YUs

(12)

式中Y為支路導納矩陣,且Y=Z-1。

2 節(jié)點電壓方程矩陣算法

2.1 等效電路節(jié)點電壓方程的矩陣形式

基爾霍夫電流定律(KCL)和基爾霍夫電壓定律(KVL)的關(guān)聯(lián)矩陣形式[20]分別為

(13)

式中:Un為節(jié)點電壓向量;A為關(guān)聯(lián)矩陣,維數(shù)為(2n+2)×(7n+5),該矩陣中的元素akj可依據(jù)等效電路各支路的編號順序依次得到,公式[20]為

(14)

將式(13)代入式(12),即可得到節(jié)點電壓方程的矩陣形式

AYATUn=AYUs

(15)

2.2 頻率響應計算

變壓器繞組等效電路的頻率響應為輸出電壓與輸入電壓的比,利用直接分解法求解式(15)即可得到等效電路模型節(jié)點電壓向量。由于輸入電壓Un(1,1)已知,因此提取節(jié)點電壓向量Un的第2n+2個節(jié)點電壓Un(2n+2,1),即可計算得到雙繞組集總參數(shù)等效電路模型的頻率響應,公式為

H=20lg[Un(2n+2,1)/Un(1,1)]

(16)

3 獨立回路電流方程矩陣算法

一個平面網(wǎng)絡的網(wǎng)孔數(shù)目就是獨立回路的數(shù)目[21]。根據(jù)此原則,將圖1的雙繞組等效電路模型視為平面網(wǎng)絡,取該網(wǎng)絡的網(wǎng)孔作為等效電路模型的獨立回路,設(shè)定回路的方向為順時針方向,具體如圖3所示。當繞組線餅數(shù)為n時,對應的獨立回路的數(shù)目為5n+3。需要注意的是,由于高、低壓繞組的對地電容都接地,兩個接地點實質(zhì)上是相連接的(如紅色虛線所示)。因此,此處仍存在一個獨立的網(wǎng)孔,根據(jù)獨立回路可列寫出獨立的回路方程組。

圖3 繞組等效電路的獨立回路

3.1 等效電路獨立回路電流方程的矩陣形式

基爾霍夫電壓定律和基爾霍夫電流定律的獨立回路矩陣形式分別為[22]

(17)

式中:B為獨立回路矩陣,維數(shù)為(5n+3)×(7n+5);由于所選回路為獨立回路而非基本回路,維數(shù)為(5n+3)×1,因此Ih為回路電流向量。B矩陣中的元素bkj需按照支路和獨立回路的編號順序,公式[22]為

(18)

將式(18)代入式(11),即可得到獨立回路電流方程的矩陣形式

BZBTIh=BUs

(19)

3.2 頻率響應計算

求解式(19)可以得到等效電路的回路電流向量。等效電路末端匹配電阻所在回路為第5n+3回路,該回路電流等于匹配電阻所在的支路電流。因此,提取第5n+3個回路的回路電流并乘以匹配電阻值50 Ω即為第7n+5支路的支路電壓,也等于該支路所在的第2n+2個節(jié)點電壓。因此,計算得到輸出端的節(jié)點電壓Un(2n+2,1),公式為

Un(2n+2,1)=50Ih(5n+3,1)

(20)

然后,利用式(16)即可得到繞組等效電路的頻率響應。

4 獨立割集電壓矩陣算法

根據(jù)圖論可知,每一個圖可取不同的割集,若選擇的每個割集都僅含有一個樹支時,該割集為基本割集。由于基本割集屬于獨立割集,因此由基本割集建立的割集電壓方程彼此相互獨立,方程有解且唯一。然而,選擇基本割集時,需要先選擇出樹支與連支,然后選擇相應的割集,并使得每個割集只切割一條樹支。顯然,對于結(jié)構(gòu)復雜的圖,利用基本割集的算法建立割集電壓方程將會十分復雜和耗時。為了方便割集電壓方程的列寫,避免樹支和連支的選擇問題,本文選取繞組等效電路的獨立割集,具體的割集選擇如圖4所示,圖中箭頭表示割集方向?？梢钥闯?第一個割集切割了1號節(jié)點以及與其相連的支路,之后的割集較前一個割集都切割了一個新的節(jié)點以及該節(jié)點所連接的支路,這樣就保證了每個割集的獨立性。

圖4 繞組等效電路的獨立割集

為了證明所選割集為獨立割集,可依據(jù)圖1各支路的編號順序以及圖4中各個割集所包含的支路,對每個割集列寫KCL方程,可得

(21)

將式(21)寫成矩陣形式

CI=0

(22)

計算系數(shù)矩陣C的秩為2n+2,其等于該矩陣的行數(shù),證明系數(shù)矩陣C各向量線性無關(guān),因此表明所選割集是獨立割集。此時,式(22)也稱為基爾霍夫電流定律的獨立割集形式,C為獨立割集矩陣,該矩陣中的元素ckj也可按照支路和獨立割集的編號順序得到,公式[23]為

(23)

4.1 等效電路獨立割集電壓方程的矩陣形式

基爾霍夫電壓定律的獨立割集矩陣形式為

CTUg=U

(24)

式中Ug為割集電壓,表示的是被割集分割的電路的兩部分間的虛擬電壓[24]。

將式(22)、(24)代入式(12),即可得到獨立割集電壓方程的矩陣形式

CYCTUg=CYUs

(25)

4.2 頻率響應計算

求解式(25)可以得到電路模型中的獨立割集電壓向量Ug。然而,又因為每條支路的電壓等于切割該支路的全部割集電壓的代數(shù)和[24],而圖4中末端匹配電阻所在支路僅被最后一個割集(第2n+2個)切割,因此直接取Ug(2n+2,1)即為末端匹配電阻支路的電壓。將該電壓代入式(16)即可得到繞組等效電路模型的頻率響應。

5 基于Multisim的頻率響應仿真驗證

本節(jié)利用電路仿真軟件Multisim和提出的繞組等效電路頻率響應的矩陣算法分別對兩組不同參數(shù)的案例進行FRA曲線計算,通過對比驗證所提算法的正確性。

案例1與案例2分別是一個含有7餅與一個含有5餅的雙繞組集總參數(shù)等效電路模型,兩個案例的等效電路模型參數(shù)見本文首頁OSID碼中的開放科學與數(shù)據(jù),計算得到的FRA曲線分別如圖5和圖6所示?？梢钥闯?針對兩種不同案例參數(shù),3種算法計算得到的FRA曲線彼此基本完全重合,并與Multisim得到的FRA曲線重合度非常好,僅在個別峰值點處有一點差異。該差異主要是由于自編程中的互感元件是直接賦值的,而Multisim軟件中的互感是通過輸入互感系數(shù)賦值的,因此就需要利用自感和互感值求解互感系數(shù),而計算過程中的有效值位數(shù)差異就帶來了曲線的微小偏差。

圖5 案例1的FRA曲線對比

圖6 案例2的FRA曲線對比

從兩個案例的FRA曲線對比結(jié)果可知,本文所提算法能夠準確計算雙繞組集總參數(shù)等效電路模型的頻率響應,并且所提算法對不同的案例參數(shù)具有適用性。

6 電路矩陣算法對比分析

3種電路方程矩陣算法的流程圖如圖7所示。

圖7 電路方程矩陣算法流程圖

通過對比3種算法的計算流程不難發(fā)現(xiàn),在完成等效電路模型各支路、回路和節(jié)點的編號后,主要的計算步驟可以分為3步,分別為:建立廣義支路矩陣的電壓、電流矩陣形式,列寫電路方程矩陣,求解電路方程矩陣。需要說明的是,由于選取獨立節(jié)點、獨立回路和獨立割集的時間難以進行量化,因此本文僅從電路方程矩陣的裝配時間、方程求解時間以及總計算時間這3個方面對比。

電路方程矩陣的裝配時間包含了在對節(jié)點與支路編號、獨立節(jié)點、獨立回路和獨立割集選擇完成的基礎(chǔ)上,根據(jù)它們之間的編號和關(guān)系列寫關(guān)聯(lián)矩陣A、回路矩陣B以及割集矩陣C的時間,根據(jù)各種編號順序建立廣義支路電壓、電流矩陣的時間(列寫支路阻抗矩陣或者支路導納矩陣的時間),以及構(gòu)建完成電路方程各系數(shù)矩陣的時間,該時間主要是由線餅數(shù)量決定的,繞組線餅數(shù)量越多,各矩陣的維數(shù)越大,相應的矩陣的列寫時間、矩陣求逆時間以及矩陣相乘的時間就會越長,裝配時間就會越長。除此之外,仿真軟件的不同、編程方法的不同以及電腦性能的差異都會對結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。為了避免仿真軟件與電腦性能差異對計算時間的影響,本文所提算法是在MATLAB 2015b中編程實現(xiàn)的,計算機的基本配置為Intel(R) Core(TM) i7-8750H CPU和8 GB RAM。與此同時,本文對3種算法均采用相一致的編程邏輯和基本語句以盡量避免編程方法的不同對計算時間的影響。方程求解時間指求解電路方程矩陣,計算電路末端匹配電阻處節(jié)點電壓、回路電流和割集電壓的時間?？傆嬎銜r間指矩陣裝配時間與方程求解時間之和。

針對案例1與案例2中兩組不同的等效電路元件參數(shù)值,考慮繞組線餅數(shù)較多的場合,如線餅數(shù)N分別為100和200,分別獲取3種矩陣算法的計算時間,結(jié)果如表1與表2所示。需要說明的是,表中的時間為所有掃頻點的計算時間總和,頻率響應的掃頻范圍為1 kHz～2 MHz,共有3 302個頻率點。

表1 案例1中算法計算時間對比

表2 案例2中算法計算時間對比

觀察表1與表2中可知,兩種案例參數(shù)下,獨立回路電流矩陣算法的總計算時間和方程求解時間都是最長的,較節(jié)點電壓和割集電壓矩陣算法增加了一倍多的時長。這主要是因為獨立回路的數(shù)目較大,由其構(gòu)成的方程的系數(shù)矩陣維數(shù)為(5n+3)×(5n+3),遠遠大于其他兩種方程的系數(shù)矩陣維數(shù),方程系數(shù)矩陣的維數(shù)如表3所示。這使得方程求解時間和方程矩陣的裝配時間增加,導致總的計算時間變長。與此同時,案例1中獨立回路電流矩陣方程的求解時間占總時間的20.14%和21.87%,案例2中獨立回路電流矩陣方程的求解時間占總時間的20.69%和21.98%,而兩個案例中節(jié)點電壓和獨立割集電壓矩陣方程的求解時間大約都為總計算時間的5%左右。因此,整體而言,矩陣裝配時間才是3種算法最為耗時部分。

表3 方程系數(shù)矩陣的維數(shù)

在線餅數(shù)為100與200情況下,獨立割集電壓與節(jié)點電壓矩陣算法的方程求解時間非常接近。在總計算時間方面,獨立割集電壓矩陣算法較節(jié)點電壓法更少,但相差不大。當線餅數(shù)為200時,兩個案例中的這兩種算法計算時間都僅相差8 s左右。通過深入分析發(fā)現(xiàn),該時間差異主要是由于列寫導納矩陣Y以及相應的關(guān)聯(lián)矩陣A與獨立割集矩陣C引起的。

通過對比表1與表2的數(shù)據(jù)可知,對于參數(shù)不同的兩個案例,3種算法的各種計算時間相差不大,同類型的計算時間非常接近,表明元件參數(shù)的變化對算法的計算時間有影響,但影響程度非常小,基本可以忽略。

7 結(jié) 論

本文對用于計算雙繞組變壓器集總參數(shù)等效電路頻率響應的電路方程矩陣算法展開研究。通過建立廣義支路,避免了將各支路劃分為導納與阻抗兩類支路。在建立方程過程中,利用基爾霍夫電壓、電流的不同矩陣形式,結(jié)合廣義支路電壓、電流矩陣,便捷地得到了繞組等效電路頻率響應的節(jié)點電壓、獨立回路電流、獨立割集電壓電路矩陣算法,在整個推導過程中,不必對任何一個矩陣進行改造,降低了推導難度,提高了頻率響應計算效率。3種算法與成熟電路仿真軟件計算結(jié)果相一致,驗證了所提算法的正確性。

本文提出的雙繞組變壓器集總參數(shù)等效電路模型的獨立割集選取方法,避免了利用基本割集時需對等效電路圖選擇樹支和連支的復雜過程,簡化了割集電壓矩陣算法的應用難度,有助于割集電壓矩陣算法在變壓器繞組等效電路中頻率響應分析、阻抗特性分析等領(lǐng)域的應用。

分析3種算法的建立過程,并對3種算法的方程求解時間、矩陣裝配時間以及總計算時間進行對比,結(jié)果發(fā)現(xiàn):對于含有線餅數(shù)目較大的雙繞組變壓器,獨立回路算法計算時間最長,節(jié)點電壓矩陣算法次之,而按照本文提出的獨立割集選擇方法所推導的獨立割集電壓矩陣算法的計算時間最少。因此,在對計算時間成本要求較為苛刻的場合,可優(yōu)先選擇該算法。然而,由于雙繞組等效電路中節(jié)點的選擇要比獨立割集的選擇簡單,而兩種算法的計算時間差異又較小,因此考慮前期的準備時間,節(jié)點電壓矩陣算法仍是最佳的選擇。