“跑男”節(jié)目中的追及問題

程云龍

【摘 要】在忽略次要因素的基礎(chǔ)上，分析某綜藝節(jié)目中的某個挑戰(zhàn)游戲的成功與失敗條件，列解運(yùn)動速度與挑戰(zhàn)距離之間的函數(shù)關(guān)系，建立游戲成功與失敗的數(shù)學(xué)模型，并代以實(shí)際數(shù)據(jù)加以驗(yàn)證。

【關(guān)鍵詞】受力分析 奔跑速度 距離

“跑男”節(jié)目是相當(dāng)吸引青少年眼球的，本人也不例外。正所謂“處處留神皆文章，世事洞明皆學(xué)問”。前段時間在觀看一期“跑男”節(jié)目時，就看到了一起引人深思的球追人游戲。

一、球追人游戲規(guī)則

“跑男”隊(duì)員自由選擇挑戰(zhàn)位置，挑戰(zhàn)位置既是“跑男”隊(duì)員的出發(fā)點(diǎn)，也是終點(diǎn)即“安全門”的位置。游戲開始，大橡膠球從坡頂無初速滾下，“跑男”隊(duì)員同時從自選的挑戰(zhàn)位置開始相對橡膠球奔跑，到旗子位置后拔起旗子反向奔跑，在通過“安全門”之前若被橡膠球追上，挑戰(zhàn)失??；若“跑男”隊(duì)員全程能夠逃脫橡膠球的追擊，跑出終點(diǎn)處的安全門，則挑戰(zhàn)成功。

二、問題的提出

看過節(jié)目之后，就開始了對這現(xiàn)實(shí)生活中典型“追及”問題的思考?！芭苣小标?duì)員選擇的挑戰(zhàn)位置在哪里，即設(shè)定的挑戰(zhàn)距離和跑動速度之間滿足什么樣的關(guān)系才能挑戰(zhàn)成功呢？

三、模型的建立

為了研究兩者之間的關(guān)系，繪制圖1所示的節(jié)目中跑道的模型。

設(shè)“跑男”隊(duì)員挑戰(zhàn)距離——安全門到旗子之間的距離為x米，橡膠球的質(zhì)量為m千克，橡膠球到旗子的斜坡長度為l米，橡膠球與地面的摩擦系數(shù)為μ。斜坡與地面的夾角為α，“跑男”隊(duì)員勻速跑動速度為v米/秒，拿旗子及轉(zhuǎn)身往回跑之間的時間間隔忽略不計(jì)。橡膠球和“跑男”的形狀大小忽略不計(jì)，作為質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行研究。

橡膠球滾動的時間分為兩部分，一部分是沿斜坡向下進(jìn)行的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，另一部分是沿水平路面的勻減速直線運(yùn)動。

斜坡上的橡膠球進(jìn)行受力分析如圖2所示，其中G為重力，F(xiàn)N1為支持力，F(xiàn)S1為摩擦力。

設(shè)橡膠球從坡頂無初速的勻加速運(yùn)動到坡底時的速度為v0。利用動能定理，橡膠球到坡底的動能與重力、摩擦力做功的關(guān)系如式（1）所示。

（1）

則橡膠球沿斜坡滾動的時間t3可用式（2）求出。

（2）

在觀看節(jié)目時，發(fā)現(xiàn)很多“跑男”是在拿旗子及轉(zhuǎn)身反向一瞬間被橡膠球撞擊，挑戰(zhàn)失敗，設(shè)“跑男”往返跑所用總時間為t2。此時t2/2≥t3，即得到公式（3）。

（3）

橡膠球在水平地面部分的受力分析如圖3所示，它滾動到安全門的速度v1與水平距離x的關(guān)系由式4表達(dá)，橡膠球在水平地面部分滾動時間t4由式5計(jì)算。

（4）

（5）

橡膠球全程追不上隊(duì)員的即跑男隊(duì)員全程挑戰(zhàn)成功的條件，是橡膠球滾動時間t1（t1=t3+t4）大于等于跑男的往返跑時間t2，即t2≥t2，可用式（6）表達(dá)。

式（6）

4.結(jié)束語

為了驗(yàn)證模型的正確性，設(shè)定節(jié)目中斜坡長度為45米，挑戰(zhàn)距離為28米，坡度角為45°，橡膠球與地面的摩擦系數(shù)為0.3，將上述數(shù)值分別代入公式（3）、式（6），計(jì)算結(jié)果分別是v≤7.78米/秒和v≥9.50米/秒。

根據(jù)討論結(jié)果，要想挑戰(zhàn)28米成功，“跑男”的奔跑速度不能低于7.78米/秒，為保證全程不被橡膠球追上，奔跑速度應(yīng)該大于9.5米/秒。

追及問題是高中物理中常見的問題之一，本文將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為追及問題，并結(jié)合數(shù)學(xué)知識加以計(jì)算并討論，可以加深對追及問題概念的理解，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識在生活中問題求解中的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]趙渭東，追及問題的探討，學(xué)周刊，2013，（05）

[2]樊澤鋒，淺析追及、相遇、碰撞問題，成功（教育），2013，（24）