簡(jiǎn)單桁架結(jié)構(gòu)剛度分析方法

(廣州大學(xué)　廣東　廣州　510006)

引言

隨著有限元法不斷完善，它的應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越寬，已成為設(shè)計(jì)領(lǐng)域中的重要的分析工具。有限單元法，也稱(chēng)結(jié)構(gòu)力學(xué)的矩陣分析方法，其主要內(nèi)容包括以下兩部分：

首先是進(jìn)行單元分析。把一個(gè)連續(xù)的結(jié)構(gòu)分解成有限個(gè)單元的集合體，這些單元僅在有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上相連接，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)之為結(jié)構(gòu)的離散化。

其次是進(jìn)行結(jié)構(gòu)的總體分析。在單元分析的基礎(chǔ)上，再把各單元集合起來(lái)進(jìn)行考慮，由各單元?jiǎng)偠染仃嚰闲纬山Y(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣。

本文僅涉及到桁架結(jié)構(gòu)，作了以下兩個(gè)假設(shè)：桁架的桿件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符合虎克定律；桿件各節(jié)點(diǎn)為無(wú)摩擦的鉸結(jié)點(diǎn)。

一、桿單元?jiǎng)偠染仃?/h2>

(一)局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嘯1]

圖1　單元e受力圖

桿端軸向力與桿端位移間的關(guān)系為：

(二)整個(gè)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?/h3>

1.桿端力和位移的坐標(biāo)變換

[T]為正交矩陣

2.整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

桿單元的桿端力和桿端位移在整體坐標(biāo)系下的關(guān)系：

{F}(e)=[k](e){Δ}(e)

單元桿端力與桿端位移在局部坐標(biāo)系下的剛度方程為：

等式兩邊同乘[T]T，得：

比較兩式，便得到：

3.結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣

空間桁架結(jié)構(gòu)桿件較多，本文采用單元集成法求總體剛度矩陣[1]，

單元集成法分為兩步：

(1)由單元?jiǎng)偠染仃嘯k](e)求單元貢獻(xiàn)矩陣[K](e)

首先給桁架結(jié)點(diǎn)位移(或結(jié)點(diǎn)力)進(jìn)行兩種編碼：I.總碼，即在整個(gè)分析中，結(jié)點(diǎn)位移在結(jié)構(gòu)中統(tǒng)一進(jìn)行的編碼。II.局部碼，即在單元分析中，給個(gè)單元的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)各自的獨(dú)立編碼。

(2)由單元貢獻(xiàn)矩陣[K](e)求總體剛度矩陣[K]

總體剛度矩陣[K]的求解就是單元的集成過(guò)程，將n個(gè)單元貢獻(xiàn)矩陣[K](e)中的元素進(jìn)行累加。

經(jīng)過(guò)上述的桁架結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析之后，接下來(lái)就是用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行編寫(xiě)遺傳算法，Matlab程序要實(shí)現(xiàn)的5個(gè)重要模塊分別為：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨那蠼?、單元組裝、節(jié)點(diǎn)位移的求解、單元應(yīng)力的求解、節(jié)點(diǎn)力的求解[4]。

二、經(jīng)典算例

如圖2所示的結(jié)構(gòu)，各個(gè)桿的彈性模量和橫截面積都為已知。試基于MATLAB平臺(tái)求解該結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)力以及支反力。這是一個(gè)16桿空間桁架，已知桿件截面尺寸相同，材料相同。彈性模量E=2.1×108KN/M2，截面面積A=3cm2。

圖2　十六桿平面桁架

解答：對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行有限元分析的過(guò)程如下

(1)結(jié)構(gòu)的離散化與編號(hào)

對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行自然離散，節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)如上圖所示

(2)控制數(shù)據(jù):單元數(shù) 節(jié)點(diǎn)數(shù) 單元類(lèi)型數(shù) 荷載數(shù)：16,9,1,3

(3)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及約束信息(結(jié)點(diǎn)號(hào)，X坐標(biāo)，Y坐標(biāo)，Z坐標(biāo)，X方向約束，Y方向約束，Z方向約束):

1,0,6,8,0,0,0;4,0,0,8,0,0,0;7,4,6,0,1,1,1;2,4,6,8,0,0,0;5,2,3,11,0,0,0;8,4,0,0,1,1,1;3,4,0,8,0,0,0;6,0,6,0,1,1,1;9,0,0,0,1,1,1

(4)單元信息(單元號(hào)，單元起始點(diǎn)，單元末端點(diǎn)，單元類(lèi)型號(hào))

1,1,2,1;5,1,5,1;9,1,6,1;13,4,6,1;2,2,3,1;6,2,5,1;10,2,7,1;14,1,7,1;3,3,4,1;7,3,5,1;11,3,8,1;15,2,8,1;4,4,1,1;8,4,5,1;12,4,9,1;16,3,9,1;

(5)單元類(lèi)型參數(shù)(類(lèi)型號(hào)，彈性模量，截面積)：1,2.1e+8,0.03，

(6)結(jié)點(diǎn)荷載(結(jié)點(diǎn)號(hào)，荷載作用方向，荷載大小)：3,2,20，4,2,20，5,2,20，

(7)計(jì)算結(jié)果的整理

通過(guò)主程序的運(yùn)行得計(jì)算結(jié)果,整理如下

結(jié)點(diǎn)位移：(單位：×104m)

X方向位移：1-5號(hào)節(jié)點(diǎn)-0.1488E-06，-0.1311E-06，-0.1009E-06，-0.7894E-06，0.1567E-06；7,8,9節(jié)點(diǎn)均為0.

Y方向位移：1-5號(hào)節(jié)點(diǎn)分別為0.2098E-05，0.1997E-05，0.2297E-05，0.2110E-05，0.2534E-05；7,8,9節(jié)點(diǎn)均為0；

Z方向位移：1-5號(hào)節(jié)點(diǎn)分別為-0.6898E-07，-0.5700E-06，0.5713E-07，0.5763E-06，0.4728E-07；7,8,9節(jié)點(diǎn)均為0.

結(jié)點(diǎn)軸力和應(yīng)力單位：軸力KN;應(yīng)力×10MPa。

軸力1-16單元桿分別為：3.2398，-24.8701，-3.8998，5.1289，-8.0333，-7.5968，7.6019，8.0298，-5.5038，-44.4898，4.4961，45.5038，-50.4579，0.3998，49.5388，0.3989

應(yīng)力1-16單元桿分別為：1.0798，-8.2789，-1.1389，1.7098，-2.6788，-2.5337，2.5401，2.6803，-1.7930，-14.8331，1.4991，15.1702，-16.8099，0.1402，16.5141，0.1371

三、結(jié)論

通過(guò)經(jīng)典十六桿平面桁架案例模型中計(jì)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)桿件上的位移能夠準(zhǔn)確地求解出來(lái)，而且精度高，各桿件的軸力和應(yīng)力大小也在合理的代數(shù)計(jì)算值范圍內(nèi)，與已有經(jīng)典算例中的代數(shù)解相符，可以得出本次有限元程序是準(zhǔn)確的。在現(xiàn)實(shí)中，大部分三維桁架結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，可以在本文的基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)剛度分析在可以繼續(xù)擴(kuò)展應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，程序編寫(xiě)上擴(kuò)大節(jié)點(diǎn)應(yīng)力搜索范圍，這對(duì)于實(shí)際工程中有更好的實(shí)用性。