四旋翼飛行器PID控制器設(shè)計(jì)

焦青松 ，劉 佳

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市信息傳感與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，天津 300222）

無(wú)人駕駛飛機(jī)簡(jiǎn)稱無(wú)人機(jī)，它是一種可通過(guò)遠(yuǎn)程遙控和自身程序控制裝置操作，能夠在無(wú)人控制下實(shí)現(xiàn)自主飛行同時(shí)可執(zhí)行一定任務(wù)的飛行器。四旋翼飛行器作為極具代表性的無(wú)人機(jī)，因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成為了廣大科研愛(ài)好者在控制領(lǐng)域研究的焦點(diǎn)。其4個(gè)旋翼作為飛行器所需動(dòng)力的直接來(lái)源，均勻分布在機(jī)體的前后左右4個(gè)方向，并以對(duì)稱的方式固定安裝在剛性十字形交叉結(jié)構(gòu)上。為使四旋翼飛行器在飛行過(guò)程中產(chǎn)生的反扭力矩得到進(jìn)一步消除，在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)應(yīng)遵循“同一對(duì)角線上的旋翼具有旋轉(zhuǎn)方向相同的轉(zhuǎn)速，鄰近的旋翼具有旋轉(zhuǎn)方向相反的轉(zhuǎn)速”這一基本原則。相比于普通飛機(jī)而言，四旋翼飛行器最突出的優(yōu)點(diǎn)是體積小、質(zhì)量輕、控制簡(jiǎn)單且機(jī)動(dòng)性能靈活，可實(shí)現(xiàn)平移和旋轉(zhuǎn)等飛行動(dòng)作，廣泛應(yīng)用于影視、消防、電力、農(nóng)業(yè)和快遞等行業(yè)以及軍事相關(guān)領(lǐng)域[1]。四旋翼飛行器在空間上，沿3個(gè)坐標(biāo)軸平移3個(gè)線自由度和繞3個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)3個(gè)角自由度作為四旋翼飛行器的6個(gè)自由度，通過(guò)較強(qiáng)的耦合關(guān)系體現(xiàn)在相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型中，同時(shí)姿態(tài)角對(duì)其位置坐標(biāo)的變化起著決定性作用，從而直接影響其控制效果。近年來(lái)，隨著現(xiàn)代控制理論的不斷涌現(xiàn)并趨向于成熟化，相當(dāng)多的控制理論和算法被應(yīng)用到四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中。例如，美國(guó)賓夕法尼亞大學(xué)對(duì)四旋翼飛行器控制系統(tǒng)進(jìn)行了精確的建模分析，同時(shí)提出采用線性反饋控制法和反步控制法來(lái)控制四旋翼飛行器控制系統(tǒng)[2]。此外，自適應(yīng)控制、滑?？刂?、自抗擾控制、模糊控制[3-6]等控制方法也被成功地應(yīng)用于四旋翼飛行器控制系統(tǒng)。非線性控制領(lǐng)域?qū)τ谒男盹w行器動(dòng)力學(xué)模型的建立有較高的精確性，而PID控制器可有效解決其在建模過(guò)程中存在的穩(wěn)態(tài)誤差這一難點(diǎn)。本文通過(guò)對(duì)其位置和姿態(tài)角進(jìn)行PID控制器的設(shè)計(jì)，進(jìn)而對(duì)四旋翼飛行器的3個(gè)位置坐標(biāo)和3個(gè)姿態(tài)角進(jìn)行有效控制。

1 四旋翼飛行器模型及分析

考慮到四旋翼飛行器在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在多種物理效應(yīng)，直接影響著其受力分析，其原始動(dòng)力學(xué)模型是相當(dāng)復(fù)雜的[7]。為使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)一步簡(jiǎn)化，需要忽略四旋翼飛行器原始動(dòng)力學(xué)模型的陀螺效應(yīng)項(xiàng)和摩擦阻力項(xiàng)，對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)模型做進(jìn)一步簡(jiǎn)化處理，最終被簡(jiǎn)化處理后的非線性動(dòng)力學(xué)模型[8]為：

式中：（x，y，z）為在地面坐標(biāo)系下四旋翼飛行器空間的位置；（φ，θ，ψ）為在其坐標(biāo)系下四旋翼飛行器在空間的姿態(tài)，分別代表滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；Ui（i=1，2，3，4）為飛行器動(dòng)力學(xué)模型的4個(gè)獨(dú)立虛擬控制輸入量；Ki（i=1，2，3，4，5，6）為阻力系數(shù)；Ii（i=1，2，3）為飛行器分別繞x軸、y軸和z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為飛行器機(jī)體的質(zhì)量；l為飛行器機(jī)體質(zhì)心與其旋翼旋轉(zhuǎn)軸二者之間的距離；g為地球表面的重力加速度。

在控制工程的實(shí)際應(yīng)用方面，通過(guò)四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的 6 個(gè)控制輸出量（x，y，z，φ，θ，ψ），可描述四旋翼飛行器在三維空間內(nèi)的具體飛行狀態(tài)。在每個(gè)旋翼上安裝電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的目的是為四旋翼飛行器提供運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所需要的升力和滾轉(zhuǎn)力矩、俯仰力矩以及偏航力矩，分別用 U1、U2、U3和 U4表示，將（U1，U2，U3，U4）直接輸入到四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型中。根據(jù)四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型“輸入量與輸出量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系”這一判斷準(zhǔn)則可知，四旋翼飛行器控制系統(tǒng)可被視為一個(gè)典型的4輸入、6輸出的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[9]。

在控制四旋翼飛行器控制系統(tǒng)時(shí)必然存在變量之間的耦合現(xiàn)象。針對(duì)其變量之間存在相互耦合關(guān)系的控制系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，需分別設(shè)計(jì)位置和姿態(tài)這2個(gè)控制回路。

2 四旋翼飛行器控制系統(tǒng)PID控制

2.1 PID控制理論

PID控制器是以抑制控制系統(tǒng)所產(chǎn)生的干擾和系統(tǒng)誤差為控制目標(biāo)而進(jìn)行設(shè)計(jì)的。其控制系統(tǒng)的控制原理如圖1所示。

圖1 PID控制系統(tǒng)的控制原理

由圖1可知，r為控制系統(tǒng)的控制輸入；y為控制系統(tǒng)的控制輸出；e為控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，通過(guò)對(duì)比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)進(jìn)行線性疊加即可得到控制量u，進(jìn)而控制其被控對(duì)象。表達(dá)式為：

式中：KP為比例系數(shù)；K1為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)。此3個(gè)參數(shù)均對(duì)控制系統(tǒng)的性能起著決定性作用。

PID控制器的控制作用主要包括比例控制、積分控制和微分控制[10-11]。

2.2 四旋翼飛行器PID控制器的設(shè)計(jì)

2.2.1 四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

對(duì)四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)呈十字模式或X模式。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)改變4個(gè)旋翼上電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速來(lái)對(duì)其4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速進(jìn)行調(diào)節(jié)，進(jìn)而使其在飛行過(guò)程中的升力發(fā)生變化，從而可有效實(shí)現(xiàn)其位置坐標(biāo)（x，y，z）控制以及姿態(tài)角（φ，θ，ψ）控制。在四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中，其線自由度和角自由度二者之間存在較強(qiáng)的耦合作用。所以，在對(duì)四旋翼飛行器進(jìn)行控制時(shí)需充分考慮各個(gè)輸出量之間的耦合關(guān)系。在設(shè)計(jì)PID控制器時(shí)，需設(shè)計(jì)位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)，這2個(gè)控制環(huán)分別作為該控制系統(tǒng)的外環(huán)和內(nèi)環(huán)。通過(guò)位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)分別設(shè)計(jì)PID控制器，使控制器可有效控制其位置和姿態(tài)。四旋翼飛行器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 四旋翼飛行器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

由圖2可知，四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的輸入為位置（x，y，z）的期望值（xd，yd，zd）與其偏航角 ψ 的期望值ψd；水平PID控制器和高度PID控制器的輸入為位置坐標(biāo)的期望值與實(shí)際輸出值的差值；姿態(tài)子系統(tǒng)PID控制器的輸入為姿態(tài)角的期望值與實(shí)際輸出值的差值；輸出為（U1，U2，U3，U4），這 4 個(gè)控制量被輸入到四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型中，最終3個(gè)位置坐標(biāo)（x，y，z）和 3個(gè)姿態(tài)角（φ，θ，ψ）作為四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型的控制輸出量。具體地說(shuō)，控制量U2為四旋翼飛行器的滾轉(zhuǎn)通道；U3為四旋翼飛行器的俯仰通道；U4為四旋翼飛行器的偏航通道；控制量U1為位置坐標(biāo)（x，y，z）的控制輸入量。因此，控制該系統(tǒng)時(shí)，可將其分解為以U2、U3、U4為控制輸入的姿態(tài)控制和以U1為控制輸入的位置控制[12]。

2.2.2 姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

姿態(tài)角控制回路作為四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)，由滾轉(zhuǎn)角φ、俯仰角θ和偏航角ψ這3個(gè)獨(dú)立的控制回路組成，因此可將這3個(gè)獨(dú)立的姿態(tài)控制回路分別進(jìn)行PID控制器的設(shè)計(jì)。

以滾轉(zhuǎn)角回路為例，其動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：設(shè)φd為滾轉(zhuǎn)角的期望值；φ為滾轉(zhuǎn)角的實(shí)際輸出值；誤差eφ為滾轉(zhuǎn)角的期望值與實(shí)際輸出值的差值，即：

因此，滾轉(zhuǎn)角回路的控制器可寫為：

同理，俯仰角回路控制器和偏航角回路控制器分別為：

式中：θd為俯仰角的期望值；ψd為偏航角的期望值；θ和ψ均為實(shí)際輸出值。

2.3 位置控制器設(shè)計(jì)

當(dāng)控制四旋翼飛行器的位置時(shí)，可將其劃分為高度控制回路和水平位置控制回路，分別對(duì)這2部分獨(dú)立控制回路進(jìn)行控制。高度控制滿足式（9），水平位置控制滿足式（10）和式（11）。

定義位置坐標(biāo)（x，y，z）的期望值為（xd，yd，zd），垂直方向上和水平方向上的控制通道均采用PID控制法，其控制算法為：

根據(jù)式（9）和式（12）可得升力U1的表達(dá)式為：

根據(jù)式（10）與式（11）可反解出滾轉(zhuǎn)角φ和俯仰角θ的期望值φd和θd，滾轉(zhuǎn)角φ的期望值φd的表達(dá)式為：

俯仰角θ的期望值θd的表達(dá)式為：

3 仿真結(jié)果及分析

對(duì)圖2所設(shè)計(jì)的四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行Matlab/Simulink仿真平臺(tái)搭建，分別對(duì)其輸出的6個(gè)自由度進(jìn)行理論結(jié)果的仿真實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證基于PID的控制法對(duì)其控制系統(tǒng)進(jìn)行控制的有效性。文獻(xiàn)[12]列出了四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型的具體參數(shù)：

K1=K2=K3=0.10，K4=K5=K6=0.12，I1=I2=1.25，I3=2.5，m=2 kg，l=0.2 m，g=9.8 m/s2。

比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)在PID控制器的設(shè)計(jì)中起著決定性作用。在四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中，由于位置坐標(biāo)和姿態(tài)角之間存在耦合作用，因此在設(shè)計(jì)PID控制器時(shí)，需先調(diào)節(jié)內(nèi)環(huán)的姿態(tài)PID控制器的參數(shù)，直到內(nèi)環(huán)達(dá)到穩(wěn)態(tài)為止，再對(duì)外環(huán)位置PID控制器的參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。

PID控制方法被應(yīng)用于四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中的一個(gè)重要原因即該控制方法具有較強(qiáng)的魯棒性，為了有效地描述該控制方法，通過(guò)控制系統(tǒng)的位置坐標(biāo)響應(yīng)曲線和姿態(tài)角響應(yīng)曲線說(shuō)明使用該控制方法的有效性。

假設(shè)四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的位置坐標(biāo)（x，y，z）的初始值為（0，0，0），期望值（xd，yd，zd）為（10，20，40），滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的初始值分別為30°和20°，滾轉(zhuǎn)角和俯仰角最終收斂到0°，偏航角ψ的初始值為0°，偏航角的期望值ψd為45°。

經(jīng)過(guò)調(diào)試可得到位置PID控制器和姿態(tài)PID控制器的參數(shù)：

Kpx=Kpy=10，Kix=Kiy=1，Kdx=Kdy=3；Kpz=30，Kiz=3，Kdz=10；Kpφ=Kpθ=15，Kiφ=Kiθ=0.1，Kdφ=Kdθ=25；Kpψ=40，Kiψ=0.1，Kdψ=20。

通過(guò)對(duì)四旋翼飛行器控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真得到控制系統(tǒng)的位置坐標(biāo)響應(yīng)曲線和姿態(tài)角響應(yīng)曲線，分別如圖3和圖4所示。

圖3 位置坐標(biāo)響應(yīng)曲線

圖4 姿態(tài)角響應(yīng)曲線

由圖3和圖4可知：位置坐標(biāo)x、y、z的超調(diào)量分別為9.1%、10%和6.1%，達(dá)到穩(wěn)定所需的時(shí)間分別為33 s、40.5 s和41.5 s；姿態(tài)角φ和θ的超調(diào)量分別為16%和18.3%，偏航角的超調(diào)量為0，達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間分別為7 s、6 s和3s。因此，從位置坐標(biāo)和姿態(tài)角這二者的超調(diào)量和達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間可以得出：位置坐標(biāo)x、y、z的超調(diào)量在10%及以內(nèi)，但是達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間均大于30 s；姿態(tài)角φ、θ和ψ中除了偏航角的超調(diào)量為0外，其他2個(gè)角度均存在超調(diào)，超調(diào)量均大于15%，但是姿態(tài)角φ、θ和ψ三者達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間均在10 s以內(nèi)?？傊ㄟ^(guò)對(duì)四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的位置和姿態(tài)6個(gè)自由度的設(shè)計(jì)，可使其6個(gè)自由度最終的輸出值等于期望值。而在超調(diào)量和達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間方面，位置坐標(biāo)的超調(diào)量較小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間較長(zhǎng)；而姿態(tài)角的超調(diào)量較大，很快就能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。因此，控制效果較為理想。

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)四旋翼飛行器的位置坐標(biāo)和姿態(tài)角進(jìn)行PID控制器的設(shè)計(jì)，進(jìn)而對(duì)其飛行的位置和姿態(tài)進(jìn)行有效控制，通過(guò)對(duì)PID控制器參數(shù)的調(diào)節(jié)得到該控制系統(tǒng)輸出的仿真結(jié)果。仿真結(jié)果表明，該控制算法能有效地對(duì)四旋翼飛行器進(jìn)行位置控制和姿態(tài)控制，動(dòng)態(tài)性能良好。