基于蒙特卡洛模擬法的輸電塔架結(jié)構(gòu)可靠度分析

牛群凱, 朱 瑞, 朱全軍, 任建興, 王蘇民, 吳世偉, 陳達多

(1.上海電力學(xué)院, 上海 200090; 2.全球能源互聯(lián)網(wǎng)研究院, 北京 102211)

隨著我國十三五綱要的穩(wěn)步推進和特高壓技術(shù)的快速發(fā)展,輸電線路塔架作為高負荷電能的輸送載體,成為特高壓輸電線路工程建設(shè)中的核心。如何在保證經(jīng)濟合理的前提下,建設(shè)安全可靠的輸電線路塔架一直是研究的熱點和難點[1]。為了考慮和解決工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中所遇到的諸多不確定性問題,結(jié)構(gòu)的可靠度理論隨之產(chǎn)生和發(fā)展,因此隨機不確定性下的鐵塔可靠度問題可以應(yīng)用結(jié)構(gòu)可靠度理論進行研究[2]。熊衛(wèi)紅等人[3]將基礎(chǔ)沉降和風(fēng)荷載作為輸入變量,利用矩方法計算塔線體系的可靠度,研究結(jié)果表明,基礎(chǔ)沉降較風(fēng)荷載對桿塔結(jié)構(gòu)可靠度影響更大;張卓群等人[4]對角鋼塔和鋼管塔進行可靠度對比分析,發(fā)現(xiàn)鋼管塔構(gòu)件可靠指標(biāo)大于角鋼塔,且實際構(gòu)件可能達不到工程實際要求可靠度。目前研究中多以無關(guān)變量為輸入變量,但二次函數(shù)往往存在變量交叉項,對于可靠度計算具有不容忽視的影響,因此本文基于蒙特卡洛模擬法對風(fēng)荷載和覆冰荷載作用下的輸電塔架進行可靠度分析,并考慮變量的相關(guān)性問題,以期為輸電塔架的可靠度計算和設(shè)計提供理論指導(dǎo)。

1 可靠度基本理論

設(shè)X=(X1,X2,X3,…,Xn)T是影響結(jié)構(gòu)功能的n個基本隨機變量,則隨機函數(shù)如下

Z=g(X)=g(X1,X2,X3,…,Xn)

(1)

Z為結(jié)構(gòu)的功能函數(shù),也稱為結(jié)構(gòu)的失效函數(shù)。若Z>0則結(jié)構(gòu)可靠;Z<0則結(jié)構(gòu)失效;Z=0表示結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)。結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為

Z=g(X)=g(X1,X2,X3,…,Xn)=0

(2)

當(dāng)功能函數(shù)只有兩個隨機變量R和S時,相應(yīng)的極限狀態(tài)方程可簡化為

Z=g(R,S)=R-S=0

(3)

可靠概率pr表示結(jié)構(gòu)完成預(yù)定功能的概率;相反,失效概率pf表示結(jié)構(gòu)不能完成預(yù)定功能的概率。

用標(biāo)準(zhǔn)差σZ度量原點到平均值μZ的距離,所以有

(4)

β是一個無量綱參數(shù),稱為結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)或可靠指標(biāo),可表示為

pf=Φ(-β)=1-Φ(β)

(5)

β與可靠概率pr之間的關(guān)系為

pr=Φ(β)

(6)

2 失效模式的功能函數(shù)

塔架在設(shè)計和實際運行中往往要考慮到風(fēng)荷載和覆冰荷載作用下的變形和位移問題,研究手段也多以有限元軟件模擬分析為主,進行功能函數(shù)的擬合和分析。

采用某110 kV線路SJ1干字型轉(zhuǎn)角塔的工程實際數(shù)據(jù)來建立輸電塔的有限元模型。塔架主材采用Q345B角鋼,所有斜材和輔助材料均采用Q235B角鋼,相應(yīng)的有限元建模參數(shù)如表1所示。采用梁單元BEAM188為建模單元,建立有限元模型如圖1所示。

表1 有限元模型基本參數(shù)

圖1 有限元模型三維示意

自重荷載和覆冰荷載通過改變材料密度的方法加載在塔架結(jié)構(gòu)模型上。采用擬靜力的方法,將風(fēng)荷載等效為作用于塔架模型截面的集中荷載,將計算所得到的集中荷載平均施加到截面的各個節(jié)點上,重合節(jié)點上的集中荷載進行疊加,方向沿橫線路向,與塔架呈90°夾角[5]。

以主材在覆冰厚度H為10 mm時的情況來計算其在覆冰后的相應(yīng)屬性。主材覆冰前的尺寸為63 mm×5 mm,覆冰后為73 mm×25 mm,覆冰后的擋風(fēng)面積為

S=73×25×2-25×25=3 025 (mm2)

(7)

覆冰前主材的密度為7 850 kg/m3,取長度為1 m的主材,則覆冰后的質(zhì)量為

(8)

則覆冰10 mm后的主材密度為

(9)

根據(jù)式(7)、式(8)和式(9)依次計算出覆冰厚度H為20 mm和40 mm時,主材密度ρ分別為1 774.83 kg/m3和1 328.19 kg/m3。

由GB 50135—2006《高聳結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》規(guī)定可知[6],作用在輸電塔架上的風(fēng)荷載標(biāo)準(zhǔn)值ωs的計算公式為

式中:βz——塔架風(fēng)荷載調(diào)整系數(shù);

μs——風(fēng)荷載體型系數(shù);

μz——對地高度為z處的風(fēng)壓高度變化系數(shù);

ω0——基準(zhǔn)風(fēng)壓標(biāo)準(zhǔn)值;

As——承受風(fēng)壓投影面積;

v′——基準(zhǔn)高度處的風(fēng)速。

將作用在塔架上的風(fēng)速v和覆冰厚度H為輸入變量,輸電塔架的最大位移Dmax為輸出變量,利用有限元軟件ANSYS模擬得到的數(shù)據(jù)樣本如表2所示。

通過MATLAB軟件中的曲線擬合工具箱,對表2中數(shù)據(jù)進行功能曲線擬合。由于功能函數(shù)是多項式隱函數(shù),因此選用多項式穩(wěn)健擬合,擬合結(jié)果如下。

一次回歸函數(shù)為

(12)

二次回歸函數(shù)為

(13)

一次回歸函數(shù)和二次回歸函數(shù)擬合圖分別如圖2和圖3所示。由圖2和圖3可知,擬合結(jié)果符合要求,擬合效果較好。

表2 不同風(fēng)速和覆冰厚度下塔架最大位移樣本

圖2 一次回歸函數(shù)擬合示意

圖3 二次回歸函數(shù)擬合示意

以剛度失效為塔架的失效模式。當(dāng)塔架的最大位移超過一定極限時,則塔架結(jié)構(gòu)失效。設(shè)極限位移為塔架高度Ht的1/1 000,建立一次功能函數(shù)如下

Z=10-3Ht-Dmax

(14)

整理可得

(15)

由式(15)可知,功能函數(shù)Z是v和H的一次函數(shù),且隨著v和H的增大而隨之減小,這是由于塔架的最大位移Dmax隨著風(fēng)速v和覆冰厚度H的增大而增大。當(dāng)Z≤0時,塔架結(jié)構(gòu)失效。

為了討論可靠度分析中風(fēng)速和覆冰厚度的敏感性,選擇僅含一次項的功能函數(shù)為研究對象,則有

由式(16)和式(17)兩個偏導(dǎo)數(shù)可知,功能函數(shù)Z與風(fēng)速v和覆冰厚度H均為負相關(guān)。另外,關(guān)于H的偏導(dǎo)數(shù)的絕對值小于關(guān)于v的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)值,因此功能函數(shù)Z關(guān)于風(fēng)速v的變化率更加明顯,即相對于覆冰厚度H,風(fēng)速v是塔架可靠度分析中更為敏感的因素。

當(dāng)其中隨機變量H為定值時,此時一次功能函數(shù)是另一個隨機變量v的單調(diào)函數(shù),二次功能函數(shù)則是v的二次函數(shù),單調(diào)性由v的取值區(qū)間決定,即二次功能函數(shù)為

(18)

當(dāng)風(fēng)速v=30 m/s時,二次功能函數(shù)為

(19)

函數(shù)圖像如圖4所示。由圖4可知,隨著覆冰厚度H的不斷增加,功能函數(shù)的函數(shù)值逐漸遞減,塔架結(jié)構(gòu)可靠度逐漸減小,結(jié)構(gòu)趨向失效。

當(dāng)覆冰厚度H=20 mm時,二次功能函數(shù)為

(20)

函數(shù)圖像如圖5所示。由式(20)和圖5可知,功能函數(shù)Z的函數(shù)值隨著風(fēng)速v的增加先遞增后遞減,結(jié)構(gòu)可靠度呈現(xiàn)相同的變化趨勢;當(dāng)v=0.4 m/s時,Z達到最大值,即0.045 81。

圖4 風(fēng)速v=30 m/s時二次功能函數(shù)曲線

圖5 覆冰厚度H=20 mm時二次功能函數(shù)曲線

3 可靠度計算

蒙特卡洛模擬法被廣泛用于計算已知概率分布的隨機變量。該方法具有不斷重復(fù)的模擬過程,通過每一次模擬,由概率分布生成的隨機變量值,從而得到解的數(shù)據(jù)樣本。若總共進行了N次模擬,則Z<0出現(xiàn)了nf次,根據(jù)Bernoulli定理,結(jié)構(gòu)的失效概率為:

(21)

式中:Ωf——失效域;

fX(x)——聯(lián)合概率密度函數(shù);

x——樣本值;

I(·)——指示函數(shù);

gX(x)——結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)。

由式(5)和式(21)即可求得結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β。采用MATLAB軟件編程計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β,可以直接產(chǎn)生服從各相應(yīng)概率分布函數(shù)的隨機變量數(shù)組,從而大大簡化了編程過程[6],極大地方便了計算。程序流程如圖6所示。

圖6 蒙特卡洛模擬法程序流程

利用MATLAB軟件,對輸電塔在風(fēng)荷載和覆冰荷載作用下的可靠性進行分析,將塔架上的風(fēng)速v以及覆冰厚度H定義為隨機輸入變量,將輸電塔最大位移定義為隨機輸出變量。風(fēng)速v和覆冰厚度H兩者均服從極值Ⅰ型分布;期望分別為30 m/s和20 mm;變異系數(shù)分別為0.1和0.181[7]。

考慮風(fēng)速v和覆冰厚度H兩個變量完全相互獨立時,設(shè)極限位移為塔高的1/1 000,由已建立的一次功能函數(shù),計算可得塔架的可靠指標(biāo)β為1.523 1。

為了更好地進行比對分析,分別計算當(dāng)某一變量為定值且另一變量變化時,塔架結(jié)構(gòu)的可靠度變化情況。為簡化計算,僅分別考慮風(fēng)速v為30 m/s時和覆冰厚度H為20 mm時的塔架可靠度,具體計算結(jié)果見表3和表4。

由表3和表4可知,隨著風(fēng)速和覆冰厚度的增大,結(jié)構(gòu)的可靠概率和可靠指標(biāo)也隨之降低;當(dāng)風(fēng)速一定時,覆冰厚度的增大對可靠概率和可靠指標(biāo)的影響有限;但當(dāng)覆冰厚度一定時,隨著風(fēng)速的增加,塔架的可靠概率和可靠指標(biāo)急劇下降。由此可見,相對于覆冰厚度,風(fēng)速在塔架可靠度分析中為更敏感的因素。這與前文中功能函數(shù)表達式分析結(jié)果相吻合。但以上分析都基于覆冰厚度和風(fēng)速是相互獨立的隨機變量,而實際工程環(huán)境中兩變量是存在相關(guān)性的,因此本文對具體的相關(guān)性進行分析。

表3 風(fēng)速v=30 m/s時不同覆冰厚度下塔架的可靠度

表4 覆冰厚度H=20 mm時不同風(fēng)速下塔架的可靠度

4 變量相關(guān)性分析

當(dāng)由一次功能函數(shù)計算Z的期望時,隨機變量間沒有交叉項。但根據(jù)二次功能函數(shù)求Z的期望時,由于兩隨機變量之間存在交叉項,且對計算結(jié)果有很大影響,因此往往需要考慮隨機變量之間的相關(guān)性問題。隨機變量v和H的線性相關(guān)系數(shù)為

(22)

式中:μ(·)——隨機變量的期望;

σ(·)——隨機變量的方差。

由式(22)可知

(23)

(24)

結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)β為

(25)

以工況H=20 mm且v=30 m/s為例進行計算,研究在不同相關(guān)系數(shù)下輸電塔架的可靠度,結(jié)果如表5和圖7所示。

表5 不同相關(guān)系數(shù)下塔架的可靠度驗算

圖7 可靠指標(biāo)與相關(guān)系數(shù)關(guān)系

由表5和圖7可知,當(dāng)相關(guān)系數(shù)增大時,可靠指標(biāo)隨之減小,且兩者變化呈現(xiàn)線性相關(guān);當(dāng)相關(guān)系數(shù)取值為-1時,此時隨機變量之間為完全負相關(guān),可靠指標(biāo)達到峰值;當(dāng)相關(guān)系數(shù)分別取-1和1時,兩者對應(yīng)的可靠指標(biāo)相差了2.5%。由此可見,隨機變量的相關(guān)性在可靠度計算中不容忽視。

5 結(jié) 論

本文將可靠度分析理論和蒙特卡洛模擬法應(yīng)用于輸電線路塔架的可靠度計算中,主要研究結(jié)論如下。

(1) 采用MATLAB軟件中多項式穩(wěn)健擬合得到風(fēng)荷載和覆冰荷載下的一次回歸函數(shù)和二次回歸函數(shù),通過對函數(shù)表達式和函數(shù)圖像分析可知,隨著風(fēng)速和覆冰厚度的增大,塔架的最大位移增大,當(dāng)Z≤0時,塔架結(jié)構(gòu)失效,且風(fēng)速比覆冰厚度在塔架可靠度分析中具有更高的敏感性。

(2) 在可靠度計算中使用蒙特卡洛模擬法,基于建立的一次功能函數(shù),利用MATLAB軟件計算得到塔架的可靠指標(biāo)β為1.523 1。同時也對僅有單一變量情況時的可靠概率和可靠指標(biāo)進行驗算。計算結(jié)果表明,當(dāng)風(fēng)速一定時,隨著覆冰厚度的增大,可靠概率和可靠指標(biāo)降低幅度有限;當(dāng)覆冰厚度一定時,隨著風(fēng)速的增加,塔架的可靠概率和可靠指標(biāo)急劇下降。

(3) 在推導(dǎo)計算出二次功能函數(shù)中交叉項的相關(guān)系數(shù)及塔架可靠指標(biāo)表達式后發(fā)現(xiàn),當(dāng)覆冰厚度和風(fēng)速一定時,隨著相關(guān)系數(shù)的增大,可靠指標(biāo)隨之減小,且兩者變化呈現(xiàn)線性相關(guān);當(dāng)相關(guān)系數(shù)取值為-1時,可靠指標(biāo)為最大值,當(dāng)相關(guān)系數(shù)取1時,可靠指標(biāo)為最小值,兩者的可靠指標(biāo)相差了2.5%,因此在可靠度計算中應(yīng)注意隨機變量的相關(guān)性影響。

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