基于外在擾動(dòng)的雙寡頭價(jià)格博弈模型分析

白雪寒,徐玉華,杜明娟(南京審計(jì)大學(xué)金融學(xué)院, 江蘇 南京 211815)

寡頭競(jìng)爭(zhēng)是市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的重要形式，價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)也是目前營銷活動(dòng)中經(jīng)常選擇的策略。Cournot模型是博弈論中經(jīng)典的同質(zhì)產(chǎn)品以產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)的模型，伯川德(Bertrand)[1]認(rèn)為日常情況下企業(yè)更偏向于運(yùn)用價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的策略。然而，伯川德模型中價(jià)格決策機(jī)制會(huì)造成均衡價(jià)格和邊際成本相等的利潤(rùn)為零的狀況，這就是所謂的“伯川德悖論”。豪泰林(Hotelling)[2]之后合理地解開了這一悖論，他表明有差異的商品之間的替代彈性變小，因此消費(fèi)者對(duì)有差異商品的偏好不同，此時(shí)均衡價(jià)格也就可以大于邊際成本。Agliari[3]在不斷的調(diào)整策略中證實(shí)了產(chǎn)品的差異性越大，納什均衡越不穩(wěn)定；楊曉花等[4]側(cè)重研究了行動(dòng)時(shí)機(jī)和策略變量類型即選擇價(jià)格還是產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)的雙重內(nèi)生選擇下雙寡頭博弈的均衡；Frisch[5]提出了推測(cè)變差模型,因?yàn)橥茰y(cè)變差的不同，所以產(chǎn)生的推測(cè)變差均衡也不同；Kopel等[6]的研究把雙寡頭推向多寡頭。實(shí)現(xiàn)古諾均衡、伯川德均衡的前提條件是競(jìng)爭(zhēng)參與者可以獲得市場(chǎng)的完全信息并且是完全理性的決策，在現(xiàn)實(shí)生活中該類條件很難滿足。Agiza和Elsadany[7]對(duì)古諾模型進(jìn)行了改進(jìn)，有限理性、天真理性和適應(yīng)性假設(shè)等混合理性假設(shè)被嵌入到模型中，并證明了均衡點(diǎn)的存在性；董文波等[8]在有限理性的基礎(chǔ)上構(gòu)建了具有溢出效應(yīng)的雙寡頭價(jià)格博弈模型；趙德余等[9]將市場(chǎng)價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)、產(chǎn)品差異化定位策略以及相關(guān)的消費(fèi)者需求分布和邊際成本優(yōu)勢(shì)等被孤立的問題綜合考慮進(jìn)行研究；郭軍華等[10]將研究深入到了外部因素的政府補(bǔ)貼，得出適當(dāng)?shù)恼a(bǔ)貼機(jī)制可促使博弈系統(tǒng)演化至制造商均選擇進(jìn)入再制造策略的均衡。

現(xiàn)實(shí)中的寡頭企業(yè)在決策中不僅受自身?xiàng)l件的限制也受到外部因素的影響，如政府的重大決策、經(jīng)濟(jì)危機(jī)等。文獻(xiàn)[1～10]對(duì)寡頭博弈做了很多有價(jià)值的探討，然而關(guān)于外部擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)寡頭決策的影響的文獻(xiàn)并不多。下面，筆者基于決策過程中的擾動(dòng)項(xiàng)建立決策模型，分析了擾動(dòng)后的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)混沌行為，旨在為企業(yè)提供適時(shí)調(diào)整競(jìng)爭(zhēng)決策的科學(xué)依據(jù)。

1 博弈模型

假設(shè)企業(yè)1和企業(yè)2為國內(nèi)某一產(chǎn)業(yè)的2家寡頭企業(yè)且分別為領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者角色，即企業(yè)2傾向于模仿企業(yè)1的決策行為，2家企業(yè)的需求函數(shù)為：

qi(pi,pj)=ai-dipi+bipji,j=1,2且i≠j

(1)

其中，ai,di>0,0≤bi≤1；ai為公司1和公司2的潛在需求量；p1，p2分別表示公司1和公司2的產(chǎn)品價(jià)格；bi代表2種商品的替代性，bi越大商品的替代性越強(qiáng)，bi=1時(shí)2種商品具有完全替代性。

假設(shè)2個(gè)企業(yè)的二次成本函數(shù)為：

(2)

其中，ci>0，即認(rèn)為隨著產(chǎn)量達(dá)到了一定的程度，由于人工和原材料的供應(yīng)的緊張而造成生產(chǎn)成本快速上漲。

在博弈的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)下，2家企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為:

(3)

計(jì)算式(3)的邊際利潤(rùn)函數(shù)可得：

(4)

設(shè)Ai=ai(1+2cidi)，Bi=2di(1+cidi)，Di=bi(1+2cidi)， 則式(4)變?yōu)椋?/p>

(5)

(6)

(7)

將式(5)代入式(6)和式(7)，得到如下動(dòng)態(tài)博弈系統(tǒng)公式：

p1(t+1)=p1(t)+α1p1(t)[A1-B1p1(t)+D1p2(t)]+αp1(t)

(8)

p2(t+1)=p2(t)+α2p2(t)[A2-B2p2(t)+D2p1(t)]

(9)

式(8)和式(9)的4個(gè)均衡解為：

可以看出，均衡解中α2沒有出現(xiàn)，說明α1和α間接地影響企業(yè)2達(dá)到?jīng)Q策均衡狀態(tài)。

2 局部穩(wěn)定性分析

為了分析以上平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，獲得動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的雅可比矩陣如下：

(10)

根據(jù)均衡點(diǎn)的特征可知E0、E1、E2均為邊界均衡點(diǎn)，其中,E0為不穩(wěn)定點(diǎn)，E1、E2為鞍點(diǎn)，E3是唯一的納什均衡點(diǎn)。E3的雅可比矩陣為：

(11)

J3的特征多項(xiàng)式為：

f(λ)=λ2-Tr(J3)λ+Det(J3)

式中， Tr(J3)為雅可比矩陣J3的跡；Det(J3)為雅可比矩陣J3的行列式。

又：

這說明納什均衡的特征值是實(shí)的。下面給出納什均衡E3的充分必要條件。納什均衡的局部穩(wěn)定性可以由Jury條件給出，即：

(12)

在式(12)中，確定除參數(shù)α1，α2，α外其他參數(shù)后，滿足不等式(12)的全體(α1，α2，α)的值即為納什均衡點(diǎn)E3穩(wěn)定區(qū)域。如果(α1，α2，α)在穩(wěn)定域中，則在經(jīng)歷一系列輪次的博弈后，(p1(t),p2(t))穩(wěn)定于E3，如果(α1,α2,α)不在穩(wěn)定域中，經(jīng)過多次博弈之后，系統(tǒng)會(huì)逐漸失去穩(wěn)定。

3 數(shù)值模擬分析

筆者借助Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，取a1=a2=3.5，b1=b2=0.25，c1=c2=0.5，d1=d2=1,α1=0.23。因?yàn)棣潦歉蓴_項(xiàng)系數(shù)，所以在仿真中對(duì)其取不同的值來進(jìn)行對(duì)比。

圖1 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=0)

圖1～圖5是α=0、0.01、0.1、-0.03、-0.1時(shí)的價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖，在分叉圖中可以看出α對(duì)企業(yè)1的影響以及間接對(duì)企業(yè)2的影響。由圖1可以看出，當(dāng)假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)不存在時(shí)，在固定α1的條件下，第1次價(jià)格分叉在Lyapunov指數(shù)圖中對(duì)應(yīng)α2=0.1320，第2次分叉對(duì)應(yīng)α2=0.2763。從雙寡頭價(jià)格博弈模型的演化路徑可以看出，隨著α2的取值變化，價(jià)格模型呈現(xiàn)出倍周期分叉并最終處于混沌狀態(tài)。寡頭雙方價(jià)格的混沌狀態(tài)對(duì)企業(yè)的經(jīng)營十分不利，價(jià)格的過大波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致企業(yè)無法制定合理有效的生產(chǎn)計(jì)劃。

當(dāng)α=0.01時(shí)，價(jià)格博弈演化中的第1次和第2次分叉在Lyapunov指數(shù)圖中分別對(duì)應(yīng)α2=0.1286和0.2694(見圖2)。此時(shí)α取正數(shù)意味著外界有利的擾動(dòng)促使企業(yè)提高商品價(jià)格，當(dāng)企業(yè)因?yàn)榈玫酵獠坷孟⑻岣呱唐穬r(jià)格時(shí)，從演化路徑中可以看出分叉和進(jìn)入混沌狀態(tài)的點(diǎn)均比不考慮擾動(dòng)時(shí)提前。

當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)α=0.1時(shí)，領(lǐng)導(dǎo)者企業(yè)1的價(jià)格分叉更早提前，隨著企業(yè)2對(duì)企業(yè)1的追隨模仿，不久企業(yè)2的價(jià)格也出現(xiàn)分叉，經(jīng)過一段時(shí)間2家企業(yè)在對(duì)應(yīng)幾乎相同的Lyapunov指數(shù)圖中的點(diǎn)處再次分叉進(jìn)入混沌狀態(tài)(見圖3)。因此，當(dāng)外部出現(xiàn)利好因素企業(yè)不可盲目大幅提高商品價(jià)格，應(yīng)權(quán)衡多種因素做出決策。

圖2 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=0.01) 圖3 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=0.1)

當(dāng)α=-0.03時(shí)，由圖4可以看出第1個(gè)分叉點(diǎn)α2=0.1521和第2個(gè)分叉點(diǎn)α2=0.2815相比于圖1的分叉點(diǎn)均有推遲。α小于零意味著外部出現(xiàn)不利因素的擾動(dòng)，企業(yè)對(duì)商品進(jìn)行降價(jià)，此時(shí)對(duì)價(jià)格的微調(diào)便可推遲價(jià)格博弈系統(tǒng)的分叉和混沌。

當(dāng)α=-0.1時(shí)，由圖5可以看出第1個(gè)分叉點(diǎn)α1=0.2513和第2個(gè)分叉點(diǎn)α2=0.3258相比于圖4的分叉點(diǎn)有進(jìn)一步的推遲，這說明企業(yè)依據(jù)外部不利擾動(dòng)的程度在競(jìng)爭(zhēng)決策中對(duì)商品降價(jià)有利于維持系統(tǒng)的穩(wěn)定。但是當(dāng)取負(fù)數(shù)的α過小將失去研究的意義。

從以上分叉圖中可以看出，α不同的取值對(duì)2個(gè)企業(yè)在采取價(jià)格決策競(jìng)爭(zhēng)中的影響十分顯著，企業(yè)在決策中應(yīng)充分考慮外界擾動(dòng)因素，并采取適當(dāng)措施來穩(wěn)定經(jīng)營狀態(tài)。

圖4 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=-0.03) 圖5 價(jià)格分叉和Lyapunov指數(shù)圖(α=-0.1)

4 結(jié)論

在假設(shè)2個(gè)寡頭企業(yè)分別為領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者的角色且具有有限理性的前提下，基于差異化產(chǎn)品的寡頭模型，并結(jié)合擾動(dòng)項(xiàng)構(gòu)建價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)研究外界干擾因素下該模型的穩(wěn)定性和分叉行為的演化，得出如下結(jié)論：

1)外在擾動(dòng)會(huì)加劇價(jià)格決策系統(tǒng)的不穩(wěn)定性；

2)當(dāng)存在有利的外部因素時(shí)，企業(yè)在有限理性下會(huì)在價(jià)格決策機(jī)制中使擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)為正即提高商品價(jià)格，此時(shí)擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)微小的變化即可造成競(jìng)爭(zhēng)中價(jià)格決策系統(tǒng)分叉的提前，當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)系數(shù)大到一定程度極有可能使系統(tǒng)直接進(jìn)入混沌狀態(tài)；

3)當(dāng)外界擾動(dòng)因素產(chǎn)生負(fù)影響時(shí)，結(jié)合心理學(xué)來分析，基于有限理性的寡頭企業(yè)并不愿意在下期價(jià)格決策中降低價(jià)格，通過分叉圖可以看出此時(shí)稍微降低價(jià)格反而會(huì)增加系統(tǒng)的穩(wěn)定，推遲價(jià)格決策系統(tǒng)的分叉及混沌現(xiàn)象，因此，企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)決策中應(yīng)考慮外部擾動(dòng)因素，審慎行動(dòng)。

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