平均風與氣彈效應一體化的橋梁非線性后顫振分析

吳長青， 張志田

(湖南大學土木工程學院風工程試驗研究中心， 湖南 長沙 410082)

引 言

至今為止，大跨度橋梁的顫振穩(wěn)定性仍以顫振臨界風速是否大于顫振檢驗風速這一標準來評價，即當風速大于顫振臨界值時，橋梁結構的響應將會快速發(fā)展并直至失穩(wěn)破壞。受到這一標準的束縛，橋梁顫振后的運動狀態(tài)與強健性問題一直未得到抗風設計者的廣泛關注。1940年11月7日，原Tacoma橋在8級風的作用下，發(fā)生了劇烈的扭轉振動，并在持續(xù)近70 min的大幅振動后因部分吊桿被拉斷而最終導致橋面斷裂墜入海灣。顯然，原Tacoma橋經歷了顫振失穩(wěn)的過程，然而當前的評價標準與橋梁抗風理論無法對此給出合理的解釋。從20世紀70年代未開始，針對飛機機翼斷面的非線性氣彈問題展開了大量的研究，結果表明機翼的顫振失穩(wěn)特征并非發(fā)散，而是表現(xiàn)為明顯的極限環(huán)振動(LCO)，且這種特征的振動狀態(tài)強烈地依賴于結構的非線性與氣彈非線性[1]。與機翼類似，橋梁的后顫振也是呈非線性特性的極限環(huán)振動問題，當風速超過顫振臨界值時，結構的非線性特性與斷面的非線性氣彈特性共同決定了振幅的演變規(guī)律與LCO幅值。因此，要準確地評估橋梁的后顫振性能，必須建立一套非線性氣彈穩(wěn)定分析理論。

橋梁的后顫振問題是一類非線性氣彈問題，涉及結構的幾何非線性、材料非線性以及氣動力非線性等，此外，顫振失穩(wěn)是由非定常的氣動自激力決定的，因此建立可靠的非線性非定常氣動力模型是準確評估橋梁結構后顫振性能的關鍵所在。迄今已有的非線性氣動力模型主要是針對于航空領域中的流線型斷面。描述此類斷面的非線性氣動力特性主要有兩大類方法，第一類是直接采用計算流體動力學的方法，讓氣流與結構的振動相耦合[2-4]。這一類方法不引入任何經驗或者半經驗模型，其可靠性取決于CFD 算法及湍流模型的可靠性，而且計算時間成本巨大。第二類方法是引入半經驗模型來描述非線性氣彈效應，比較典型的半經驗模型有Tran和Petot提出的ONERA模型[5]，該模型已在直升機機翼、風力機葉片的動態(tài)失速問題中得到了廣泛的應用[6-8]；Leishman和Beddoes也針對動態(tài)失速問題提出了一種半經驗模型[9]；此外，丹麥Larsen等又提出了另一種專門用于描述大型風力機葉片的非線性氣動力問題的半經驗模型[10]。引入半經驗模型是為了快速有效地描述斷面的氣動力性能，它們強調的是準確描述某一具體時候氣動力的變化規(guī)律。流線型斷面在動態(tài)失速狀態(tài)下其前后緣渦的形成、發(fā)散、到分離均有良好的規(guī)律，然而橋梁斷面具有明顯的鈍體特性，很難采用機翼理論中的半經驗模型來描述其非線性氣彈效應。

到目前為止，有關橋梁非線性氣彈問題的研究還處于起步階段。Diana等提出了一個非線性模型，它是以動態(tài)風攻角為變量的多項式函數(shù)，該模型可以描述頻率與振幅相關的非線性效應[11]。Wu與Kareem提出了一種基于人工神經網絡的非參數(shù)模型來捕捉氣動系統(tǒng)的遲滯非線性行為[12]。后來，Wu與Kareem又提出了采用Volterra理論來描述非線性氣動力效應[13]。上述提出的半經驗模型均是描述給定振幅下一個運動周期內瞬時氣動力的變化規(guī)律，它們不處理隨運動振幅演變的氣動力特性，然而在后顫振模擬中，準確地描述隨振幅演變的氣動力特性是至關重要的。

王騎等采用Taylor級數(shù)展開的方法提出了一種由不同諧波分量疊加的非線性氣動力模型[14]，該模型描述的也是瞬時氣動力隨動態(tài)風攻角變化的非線性，并不能描述隨振幅演變的氣彈非線性。朱樂東與高廣中[15]、Zhang與Xu[16]引入非線性顫振導數(shù)來描述結構后顫振幅值隨時間的演變規(guī)律，該方法能描述氣動自激力隨振幅演變的非線性特性，但前提是要已知結構顫振后的響應時程。劉十一與葛耀君提出了采用附加的非線性微分方程組與附加的氣動力自由度的方法來模擬氣動力隨振幅演變的非線性特性以及氣動力的記憶效應[17]，這種方法不再采用動態(tài)攻角的概念，單獨處理扭轉運動導致的影響，但該法是對已知結果進行擬合且擬合參數(shù)數(shù)目很多。

在大跨度橋梁抗風分析中，通常將平均風效應、準定常氣動效應、非定常氣彈效應獨立求解后再線性疊加[18-19]。然而，各類風荷載效應隨著風速及結構姿態(tài)的變化均呈現(xiàn)出一種非線性性質[20-21]。當各種非線性效應比較顯著時，疊加原理不再成立，從而需要一體化考慮平均風荷載、抖振力荷載及自激力荷載。與頻域法相比，時域方法可綜合考慮結構的幾何、材料以及部分氣動力非線性，因此時域法是模擬橋梁后顫振性能的必然選擇。然而，在時域分析中將多種荷載一體化考慮后，會出現(xiàn)氣動彈性模型與平均風荷載模型之間的不相容問題。

本文采用多階段階躍函數(shù)法來描述隨振幅演變的非線性氣動自激力。每個階段的階躍函數(shù)均是針對某一特定運動狀態(tài)(以振幅表征)下識別的顫振導數(shù)擬合得到，它可以用來描述斷面在這一特定運動狀態(tài)下的氣彈特性，如果一系列離散運動狀態(tài)下的階躍函數(shù)都可獲取，那么隨振幅演變的氣動力非線性特性也可近似地確定。運動幅值的發(fā)展必然存在不同階段階躍函數(shù)間的切換問題，然而這種切換可能會引起結構的非物理瞬態(tài)響應，因此，筆者引入平行激勵的求解策略來處理這一問題。此外，本文提出偽穩(wěn)態(tài)(Pseudo-steady)效應分離法來解決氣動自激力模型與平均風荷載模型之間不相容的問題。

1 線性單階段自激力時域模型

橋梁斷面的氣動自激力通常采用Scanlan提出的時頻混合模型來描述，正弦運動下單位長度主梁的氣動自激升力與升力矩表達式如下[22]：

(1)

(2)

由于Scanlan自激力模型不能直接用于顫振時域分析，因此采用階躍函數(shù)法擬合出與Scanlan模型等價的時域自激力模型。階躍函數(shù)的概念源于經典機翼理論，用來描述風速或者風攻角突然改變時氣動升力的瞬態(tài)演變過程，其表達式如下：

(3)

(4)

對于連續(xù)、任意的結構姿態(tài)變化過程，單位長度主梁的氣動自激力可寫成如下卷積形式(IF氣動自激力模型)：

Lse(s)=Lsea(s)+Lseh(s)=

(5)

Mse(s)=Msea(s)+Mseh(s)=

(6)

(7)

式中axyi與dxyi(x=L，M；y=h，α；i=1，2，3，…)為待識別的參數(shù)。

分別對公式(1),(2)與(5),(6)進行傅里葉變換，再根據頻譜相等的原則可以得到顫振導數(shù)與階躍函數(shù)之間的一些等式[23]，比如

(8)

(9)

根據公式(9)建立的關系，通過求解以下函數(shù)的極小值來獲取階躍函數(shù)的參數(shù)值。

(10)

其余階躍函數(shù)的參數(shù)值也可仿照上述的過程求得。

2 非線性多階段自激力時域模型

公式(5)與(6)中涉及的階躍函數(shù)(即公式(7)所示)是基于線性理論提出來的，它與結構的運動幅值無關，不能體現(xiàn)氣動自激力隨振幅演變的非線性特性。對于后顫振的非線性氣彈問題，必須建立非線性的氣動自激力模型。為了考慮氣動力非線性，本文引入多階段階躍函數(shù)，它不僅是無量綱時間的函數(shù)，也是振幅的函數(shù)，表達式為

(11)

式中Ak(k=1，2，3，…)為第k階振幅(豎向振幅hk或扭轉振幅αk)；φxy(s,Ak)(x=L，M；y=h，α)為第k階振幅對應的階躍函數(shù)；其他符號的意義同前。如果足夠多的離散振幅狀態(tài)對應的階躍函數(shù)均獲得了，那么斷面的非線性氣彈特性也可確定。

在時域分析中，主梁不同部位的振幅不同，因而其運動狀態(tài)對應的階躍函數(shù)也不同。在橋梁某個斷面達到LCO狀態(tài)之前，其振幅是不斷演變的，任意時刻t的振幅可用一組中間振幅狀態(tài)來表示，如扭轉振幅h*或扭轉振幅α*

αk≤α*≤αk+1；hm≤h*≤hm+1

(12)

其中：k和k+1分別表示扭轉振幅的第k和k+1階，m和m+1表示扭轉振幅的第m和m+1階，對于這樣的中間狀態(tài)，其階躍函數(shù)可通過線性插值得到:

ηα,kφLα(s,αk)+ηα,k+1φLα(s,αk+1)

(13)

ηα,kφMα(s,αk)+ηα,k+1φMα(s,αk+1)

(14)

ηh,mφLh(s,hm)+ηh,m+1φLh(s,hm+1)

(15)

ηh,mφMh(s,hm)+ηh,m+1φMh(s,hm+1)

(16)

中間狀態(tài)對應的氣動自激力表達式如下：

Lse(s,α*,h*)=ηα,kLseα(s,αk)+

ηα,k+1Lseα(s,αk+1)+ηh,mLseh(s,hm)+

ηh,m+1Lseh(s,hm+1)

(17)

Mse(s,α*,h*)=ηα,kMseα(s,αk)+

ηα,k+1Mseα(s,αk+1)+ηh,mMseh(s,hm)+ηh,m+1Mseh(s,hm+1)

(18)

在時域分析中，突然切換一組新的階躍函數(shù)參與計算時可能會引起非物理的瞬態(tài)響應，如圖1所示。這種瞬態(tài)現(xiàn)象取決于識別的階躍函數(shù)，如采用階躍函數(shù)描述正弦運動引起的自激力時程時，在達到穩(wěn)態(tài)的正弦形式的自激力之前，往往需要經過一個瞬態(tài)演變的過程，如圖2所示。然而這一瞬態(tài)過程只是階躍函數(shù)的擬合過程所引起的附帶現(xiàn)象，并沒有明顯的物理意義[24]。

圖1 不同階段階躍函數(shù)之間突然切換時引起的非物理的瞬態(tài)響應Fig.1 Non-physical transient responses induced by sudden switching to a new group of indicial functions

圖2 單位正弦豎向運動引起的自激升力LsehFig.2 An example of lift Lseh due to unit sinusoidal vertical motion

為了避免上述可能出現(xiàn)的非物理瞬態(tài)響應，本文引入平行激勵的求解策略，具體思路如下：對于時域分析的任意時刻，同時采用所有階段的階躍函數(shù)分別獨立地計算它們對應的每個斷面的自激力作為備用；然后根據公式(12)確定每個斷面所處的中間振幅狀態(tài)；最后，每個斷面的自激力可通過對某相鄰的兩組自激力進行線性插值確定，如公式(17)與(18)所示。這種平滑處理的方法成功地消除了非物理的瞬態(tài)響應現(xiàn)象。圖3直觀地展示了此求解思路的具體過程。

圖3 采用多階段階躍函數(shù)確定各斷面的非線性氣動自激力的流程圖Fig.3 Flow chart for determination of nonlinear aerodynamic self-excited loads by multi-stage indicial functions

3 氣動力的一體化與兼容性

3.1 平均風荷載

一般地，單位長度主梁的平均阻力、升力與升力矩采用靜力三分力系數(shù)來表達：

(19)

(20)

(21)

(22)

平均風荷載是風攻角的非線性函數(shù)。借助泰勒展開式將三分力在初始風攻角位置展開成如下表達式：

(23)

(24)

(25)

3.2 時域氣動自激力的平均特性

若結構處于一個穩(wěn)態(tài)的隨機振動過程，它的總響應可以寫成平均響應與脈動響應兩部分之和：

(26)

(27)

(28)

IF氣動自激力模型的平均值可通過對公式(5)和(6)所示的自激力時域表達式求數(shù)學期望獲得，過程如下：

(29)

(30)

(31)

(32)

式中 E表示求數(shù)學期望。上述的4個數(shù)學期望具有明顯的物理意義，它們分別代表平均扭轉響應與平均豎向響應引起的氣動自激力部分。由公式(29)至(32)發(fā)現(xiàn)，IF自激力模型平均值正好與公式(24)與(25)等號右邊的第二項即斷面扭轉引起的平均風荷載的一階項完全相等。因此，在時域分析中，當平均風荷載與氣動自激力同時考慮時，就會出現(xiàn)部分風荷載的重復計算。下節(jié)將引入偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法解決這一問題。

3.3 偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法

由于IF自激力模型不能反映平均風荷載的非線性特性，因此可從IF自激力模型中扣除其平均值來解決了部分氣動力被重復考慮的問題，再單獨處理平均風荷載的非線性，即利用公式(19)～(21)逐步計算平均風荷載，且在每一時間步，根據斷面扭轉角來修正其值[25]。

然而從IF自激力模型中扣除其平均值面臨兩大困難：一方面，結構的平均響應事先未知；另一方面，即便結構的平均響應已知，但從自激力模型中突然扣除結構平均響應引起的氣動力將會導致強烈的瞬態(tài)響應。鑒此，本文引入偽穩(wěn)態(tài)響應的概念，定義如下：

(33)

(34)

(35)

由此可見，偽穩(wěn)態(tài)響應隨著時間的推移最終收斂于結構的平均穩(wěn)態(tài)響應。

根據其極限特性，可以得到如下等式：

(36)

(37)

(38)

(39)

式中

(40)

(41)

其中

(42)

式中Lb(x,s)與Mb(x,s)分別為隨時間變化的抖振升力與升力矩，其表達式如下：

(43)

(44)

式中u(x,t)與w(x,t)分別為順風向與豎風向脈動風速。公式(40)與(41)右邊的第三項即為扣除的偽穩(wěn)態(tài)氣動自激力。需要說明的是，本文暫不考慮抖振力的作用。

為了驗證偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法的可行性與正確性，以某大跨懸索橋為例，采用三種荷載模式來考察主梁中點的階躍響應。三種荷載工況具體描述如表1所示，其中模式M2與模式M3的唯一差異在于后者從IF自激力模型中扣除了偽穩(wěn)態(tài)自激力而前者未扣除。

表1 荷載模式描述

需要強調的是，無論氣彈效應考慮與否，結構的階躍響應都應該逐漸收斂于一個相同的穩(wěn)態(tài)值。換言之，氣彈效應不會對結構最終的靜力平衡位置或者平均結構響應產生任何影響。圖4給出了三種荷載模式下主梁中點的響應時程。由圖可知，荷載模式M1與和荷載模式M3所對應的響應逐漸收斂于真實的靜平衡位置，而荷載模式M2最終收斂于一個錯誤的平衡位置，由此證明了偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法可以有效的解決部分氣動荷載被重復考慮的問題。

圖4 平均風荷載的階躍響應Fig.4 Step response to mean wind loads

4 數(shù)值算例

4.1 有限元模型與氣動參數(shù)

為了驗證本文提出的后顫振時域分析方法與求解策略的可行性，以一薄平板結構為數(shù)值算例。模型的參數(shù)如下：平板長度為4 m，寬度為0.30 m，每延米的質量和質量慣性矩分別為11.25 kg/m和0.2828 kg·m2/m，模型具有豎向與扭轉雙自由度。采用ANSYS有限元軟件建模，其中平板與橫梁采用beam4單元模擬，彈簧支架采用link8單元模擬，質量慣性矩采用mass21單元模擬，有限元模型如圖5所示。

顫振導數(shù)采用Noda等學者所做的寬厚比B/D等于150的矩形斷面的風洞試驗成果[26]?；陬澱駥?shù)，按照第1節(jié)的方法分別識別得到不同階段振幅狀態(tài)對應的階躍函數(shù)，擬合參數(shù)di(i=1～3)的取值范圍設定為區(qū)間(0,2.1]。表2給出了不同振幅對應的階躍函數(shù)參數(shù)值，圖6則為根據階躍函數(shù)反算的顫振導數(shù)值。

圖5 薄平板有限元模型Fig.5 FE model of a thin plate

在顫振時域分析中，結構的阻尼效應采用瑞利阻尼模型模擬，即將結構的阻尼矩陣表達成質量矩陣與剛度矩陣的線性組合，其表達式為

C=aM+bK

(45)

式中C，M與K分別為結構的阻尼矩陣、質量矩陣與剛度矩陣；a與b分別為瑞利阻尼系數(shù)。

因結構變形引起結構剛度改變的一類問題都屬于幾何非線性問題。已有研究表明風洞試驗中的彈性懸掛節(jié)段模型體系具有明顯的非線性剛度特性[27]。

表2 不同振幅對應的階躍函數(shù)參數(shù)值

圖6 根據識別的階躍函數(shù)反算的顫振導數(shù)Fig.6 Flutter derivatives re-obtained from the identified indicial functions

在ANSYS瞬態(tài)分析中，可通過打開大變形開關(即設置NLGEOM,ON)來考慮結構的幾何非線性效應。表3與4分別列出了顫振時域分析的主要計算參數(shù)與工況描述。

表3 顫振時域分析的計算參數(shù)

Tab.3 Calculation parameters of flutter time-domain analysis

參數(shù)數(shù)值結構阻尼模型瑞利阻尼瑞利阻尼系數(shù)a=0.01177,b=0.00202積分方法Newmark-β法正對稱豎彎、扭轉基頻/Hz1.9274,3.0249 豎彎、扭轉振型阻尼比均取0.005時間步長/s0.01 風速攻角/(°)0

表4 時域分析的工況描述

Tab.4 Descriptions of calculation cases of time-domain analysis

工況幾何非線性氣彈非線性平均風效應L-L-EX不包含不包含不包含N-L-EX包含不包含不包含N-N-EX包含包含不包含N-L-IN包含不包括包含N-N-IN包含包含包含

4.2 顫振時域分析與結果討論

4.2.1 顫振臨界風速

采用ANSYS軟件分別求解了表4所列的5種工況對應的平板顫振臨界風速值，如圖7所示。由此得出兩點結論：(1)對比L-L-EX，N-L-EX與N-N-EX三種工況可知，結構的幾何非線性幾乎不影響線性模型對應的顫振臨界風速，然而氣彈非線性效應在一定程度上降低了顫振臨界風速，這表明在顫振臨界狀態(tài)下，雖然平板振動體系的幾何非線性微乎其微，但已呈現(xiàn)出了一定的氣彈非線性效應。(2)對比N-L-EX工況與N-L-IN工況可知，在氣彈模型中計入平均風效應后，顫振臨界風速從7.392 m/s降至6.75 m/s，由此可見，在顫振分析中不考慮平均風荷載將會明顯高估結構的顫振穩(wěn)定性能。因此，一體化考慮平均風效應與氣彈效應是顫振及后顫振時域分析的必然趨勢。

圖7 顫振臨界風速Fig.7 Critical wind speeds of flutter

4.2.2 后顫振LCO特性

圖8給出了5種工況對應的顫振扭轉響應時程曲線。由圖可得到如下結論：對于線性模型(工況L-L-EX)，當風速超過臨界值時，扭轉響應呈指數(shù)式增長，即線性理論揭示的典型顫振發(fā)散現(xiàn)象，如圖8(a)所示，這種現(xiàn)象顯然是不符合工程實際的；當僅考慮幾何非線性時(工況N-L-EX)，后顫振響應最終演變成具有穩(wěn)定幅值的LCO狀態(tài)，如圖8(b)所示，這與航空領域揭示的平板幾何非線性可導致LCO的結論是一致的[6]。當同時考慮幾何與氣彈非線性時(工況N-N-EX)，后顫振LCO的幅值相比同風速下工況N-L-EX對應的幅值大得多，而且達到LCO狀態(tài)所需的時間大大縮短，如圖8(c)所示，即表明氣彈非線性效應可顯著地影響后顫振極限環(huán)特性(如LCO幅值、演變過程等)。當一體化考慮平均與氣彈風效應時(工況N-L-IN與N-N-IN)，平板在較低風速時就呈現(xiàn)了穩(wěn)定幅值的LCO現(xiàn)象，且LCO的發(fā)展速度很快，如圖8(d)及(e)所示。圖9表明了平板達到LCO狀態(tài)所需的時間隨著風速的增加而減少；此外，在同一風速下，工況N-N-IN所需的時間比工況N-L-IN的有所縮短。

圖8 平板的扭轉響應時程曲線Fig.8 Time histories of rotation of the plate

圖9 結構達到LCO狀態(tài)所需的時間Fig.9 The time required for the plate reaching LCO

圖10 LCO幅值隨風速的變化曲線Fig.10 LCO amplitudes versus wind speeds

綜上可知，當考慮非線性效應后，結構的后顫振響應表現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)的LCO狀態(tài)，且LCO的幅值與演變規(guī)律與振動體系的非線性強弱緊密相關，此外平均風效應可顯著地降低結構的顫振臨界風速，使結構提前且更為快速地進入后顫振LCO狀態(tài)。

圖10給出了平板的后顫振LCO幅值隨風速的變化曲線。由圖可知，豎向與扭轉LCO的幅值均隨著風速的增加而增加,但幅值遞增的規(guī)律與振動體系的非線性特性及是否考慮平均風效應緊密相關。由圖10得出了如下兩點結論：(1)在同一風速下，對于同時考慮幾何及氣彈非線性的情形(如工況N-N-EX或N-N-IN)，其對應的LCO幅值比只考慮幾何非線性的情形(如工況N-L-EX或N-L-IN)要大；(2)對于考慮平均風效應的情形(工況N-L-IN與N-N-IN)，雖然顫振臨界風速有所降低，然而后顫振LCO幅值隨風速的增長速率相比未考慮平均風效應的情形(工況N-L-EX與N-N-EX)要緩一些，且呈現(xiàn)近似線性增長的趨勢。

斷面的非線性氣彈效應與結構的非線性特性決定了后顫振振幅的演變過程與LCO的幅值，因此不同的氣動外形與結構體系，其表現(xiàn)的后顫振性能也不同。結構的后顫振LCO幅值確定后，可以得到各構件的內力與應力幅值，再結合材料非線性及疲勞特性，可判斷各構件是否出現(xiàn)強度破壞或者達到疲勞破壞的振動持續(xù)時間，從而找到結構在后顫振過程中的薄弱環(huán)節(jié)，為從設計角度上提高結構的抗風強健性提供依據。

5 結 論

本文實現(xiàn)了一體化考慮平均風與氣彈效應的非線性后顫振時域算法，通過理論分析與數(shù)值計算，得出以下結論：

(1)多階段階躍函數(shù)(Multi-stage IFs)可以描述結構斷面的氣彈非線性特性。通過對離散的多階段階躍函數(shù)進行線性插值可以模擬連續(xù)的幅值相關的非線性氣彈特性。

(2)采用偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法從IF氣動自激力模型中扣除了平均扭轉響應引起的自激力部分，解決了一體化考慮平均風荷載與氣動自激力所引起的部分氣動力被重復計入的問題，同時也保留了平均風荷載的非線性特性。

(3)數(shù)值計算表明，后顫振LCO特性與振動體系的非線性特性密切相關。與只考慮幾何非線性的情形相比，氣彈非線性顯著地改變了后顫振幅值演變過程與LCO的幅值；此外，在顫振分析中，平均風荷載的計入明顯地降低了結構的顫振臨界風速值，也顯著地改變了結構的后顫振LCO特性。

(4)與線性理論揭示的顫振發(fā)散相比，非線性分析揭示的后顫振LCO幅值受限，可以通過選取良好的氣動外形來降低結構的LCO的幅值以及提高結構的抗疲勞性能，從而增強結構的強健性，以此來保證結構在有限的振動時間內不發(fā)生致命的破壞。

本文為大跨度橋梁結構的非線性后顫振分析提供了理論基礎與求解思路。如果橋梁斷面在一系列由小到大的離散振幅下的顫振導數(shù)均得到了，那么可采取本文方法進行后顫振分析，確定其后顫振極限環(huán)特性，并可進一步考慮結構的材料非線性、疲勞特性以及構件的薄弱環(huán)節(jié)等強健性因素來評估LCO狀態(tài)下橋梁結構的穩(wěn)定性和安全性。

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