履帶式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制技術(shù)研究

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(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 201804)

移動(dòng)機(jī)器人是一種能夠通過自身狀態(tài)和傳感器信息,在沒有人為干預(yù)且無需對(duì)環(huán)境進(jìn)行任何規(guī)定和改變的條件下,實(shí)現(xiàn)面向目標(biāo)的自主運(yùn)動(dòng)并完成相應(yīng)任務(wù)的機(jī)器人綜合系統(tǒng).該系統(tǒng)集人工智能、信息處理、智能控制、圖像處理等專業(yè)技術(shù)于一體,跨越機(jī)械工程、計(jì)算機(jī)工程、電子工程等多個(gè)學(xué)科,是目前科學(xué)技術(shù)發(fā)展最活躍的領(lǐng)域之一[1].近年來,隨著機(jī)器人技術(shù)的飛速發(fā)展,移動(dòng)機(jī)器人已在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用[2].

根據(jù)移動(dòng)方式的差異,移動(dòng)機(jī)器人可以分為輪式移動(dòng)機(jī)器人、蠕動(dòng)式移動(dòng)機(jī)器人、腿式移動(dòng)機(jī)器人、履帶式移動(dòng)機(jī)器人等類型[3].其中輪式移動(dòng)機(jī)器人操作簡(jiǎn)單,機(jī)械性能穩(wěn)定,但在復(fù)雜路面上的運(yùn)行能力較差,不具有越野性能,應(yīng)用環(huán)境單一;蠕動(dòng)式移動(dòng)機(jī)器人雖然在特殊環(huán)境有其獨(dú)特的優(yōu)越性,但是承載能力和運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性較差;腿式移動(dòng)機(jī)器人由于其結(jié)構(gòu)自由度太多,控制比較復(fù)雜,運(yùn)行速度較慢,應(yīng)用受到一定程度的限制;而履帶式移動(dòng)機(jī)器人因?yàn)閷?duì)地壓力小,不容易出現(xiàn)打滑現(xiàn)象,牽引性能良好,能夠很好地適應(yīng)特殊地形,所以對(duì)其開展的研究得以蓬勃發(fā)展.

運(yùn)動(dòng)控制是移動(dòng)機(jī)器人自主性研究中最基本的問題,因?yàn)橐苿?dòng)機(jī)器人要自主完成的任何一項(xiàng)任務(wù)都是以運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)的.根據(jù)控制目標(biāo)的不同,運(yùn)動(dòng)控制問題可被分為位姿鎮(zhèn)定、軌跡跟蹤以及路徑跟隨3種基本問題[4].其中位姿鎮(zhèn)定是指從指定的初始位置出發(fā),穩(wěn)定達(dá)到給定的終點(diǎn)位置;軌跡跟蹤與路徑跟隨是指從指定的初始狀態(tài)出發(fā),到達(dá)并跟蹤指定的期望曲線.后兩者的主要區(qū)別在于:軌跡跟蹤的期望曲線是依賴于時(shí)間的函數(shù),而路徑跟隨的期望曲線是不包含時(shí)間參數(shù)的變量,可以看作是軌跡跟蹤的一種特殊情況;同時(shí),軌跡跟蹤還要求速度以及加速度與時(shí)間相關(guān)聯(lián),顯然難度更大,研究?jī)r(jià)值更高,現(xiàn)已成為移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問題[5].

針對(duì)軌跡跟蹤問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出一些控制方法與解決方案.吳劍等[6]應(yīng)用Back-Stepping控制法實(shí)現(xiàn)了輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制,但該方法的設(shè)計(jì)過程過于復(fù)雜.Park等[7]提出了用于輪式移動(dòng)機(jī)器人的滑?？刂品?通過將機(jī)器人的速度與角速度控制到滑模面內(nèi)來實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤,但其自身不可避免地輸入抖振問題，增加了設(shè)計(jì)難度并降低了控制精度.Fateh等[8]提出了一種基于模糊控制的微調(diào)控制器,其性能優(yōu)于PD模糊控制,可有效保證軌跡跟蹤的穩(wěn)定性,但模糊控制的隸屬度函數(shù)和控制規(guī)則通常依靠專家經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行建立,存在人為的主觀因素,且在控制過程中不能實(shí)時(shí)修正,直接影響控制結(jié)果.此外,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制技術(shù)也逐漸應(yīng)用于移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問題[9-10].但是,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要在線或離線學(xué)習(xí),占用大量系統(tǒng)資源,軌跡跟蹤控制的實(shí)時(shí)性難以保證.

本文針對(duì)履帶式移動(dòng)機(jī)器人的自主運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)進(jìn)行了研究.為了能夠?qū)崿F(xiàn)軌跡跟蹤控制,提出了履帶式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)誤差模型.基于Lyapunov函數(shù)與軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)誤差模型,提出了一種狀態(tài)反饋控制算法,并通過穩(wěn)定性分析證明了該算法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤.為了測(cè)試所提方法的性能,在給定的初始條件下,進(jìn)行了Matlab/Simulink環(huán)境下的軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn).通過仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性和可實(shí)現(xiàn)性.

1 履帶式移動(dòng)機(jī)器人模型建立

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

履帶式移動(dòng)機(jī)器人通過兩側(cè)履帶差動(dòng)驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制方式，實(shí)現(xiàn)各種工況下的作業(yè),其運(yùn)動(dòng)軌跡與控制輸入、地面性質(zhì)以及行駛狀態(tài)都有較大關(guān)系.為了便于模型建立,現(xiàn)對(duì)履帶式移動(dòng)機(jī)器人及其運(yùn)動(dòng)做出以下合理假設(shè):① 移動(dòng)機(jī)器人在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng);② 整個(gè)機(jī)器人為剛體,履帶與地面完全接觸且不產(chǎn)生滑動(dòng);③ 兩側(cè)履帶完全相同,其中心連線與機(jī)器人前后運(yùn)動(dòng)方向相互垂直.

基于以上假設(shè),履帶式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖1所示.

圖1 履帶式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.1 Kinematic model of the tracked mobile robot

圖1中:Oxy為全局坐標(biāo)系;θP為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)正方向與全局坐標(biāo)系x軸正方向之間的姿態(tài)角;P為機(jī)器人的質(zhì)心,在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是(xP,yP);vP為機(jī)器人質(zhì)心P處的行駛速度;vL為左側(cè)履帶的行駛速度;vR為右側(cè)履帶的行駛速度;ωP為機(jī)器人的轉(zhuǎn)向角速度;C為旋轉(zhuǎn)瞬心;R為轉(zhuǎn)彎半徑;L為機(jī)器人車體寬度;d為單側(cè)履帶寬度.

根據(jù)全局坐標(biāo)系中的幾何關(guān)系,可以推導(dǎo)出履帶式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(1)

由于在機(jī)器人進(jìn)行轉(zhuǎn)向時(shí),各處轉(zhuǎn)向角速度相等,故可以推導(dǎo)出

(2)

聯(lián)立求解可得

通過式(3)與式(4)可知,機(jī)器人質(zhì)心的行駛速度與轉(zhuǎn)向角速度可根據(jù)左、右兩側(cè)履帶的行駛速度獲得.

1.2 軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)誤差模型

履帶式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問題可以描述為在全局坐標(biāo)系下,機(jī)器人從初始位置出發(fā),到達(dá)并且跟蹤給定的期望軌跡,該期望軌跡由參考機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡來描述,如圖2所示.

圖2 履帶式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤誤差模型Fig.2 Trajectory tracking error model of the tracked mobile robot

圖2中:θB為參考機(jī)器人的姿態(tài)角;B為參考機(jī)器人的質(zhì)心,在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是(xB,yB);vB為參考機(jī)器人質(zhì)心B處的行駛速度,也稱期望速度.

同樣,參考機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可表示為

(5)

式中:ωB為參考機(jī)器人的轉(zhuǎn)向角速度,也稱期望角速度.

通過將全局坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為機(jī)器人自身坐標(biāo)系,參考機(jī)器人與實(shí)際機(jī)器人之間的軌跡跟蹤誤差模型可以表示為

(6)

式中:ex為縱向位移誤差;ey為水平位移誤差;eθ為姿態(tài)角誤差.

對(duì)式(6)進(jìn)行微分,可以得到履帶式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)誤差模型為

(7)

因此,本文所研究的軌跡跟蹤控制目標(biāo)就轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ液线m的期望控制輸入vP和ωP,在控制律的作用下,到達(dá)并且跟蹤指定的期望軌跡.該目標(biāo)可以表示為

(8)

2 軌跡跟蹤控制

2.1 控制律設(shè)計(jì)

Lyapunov穩(wěn)定性理論[11-12]是設(shè)計(jì)控制律的常用工具.為有效控制履帶式移動(dòng)機(jī)器人,針對(duì)式(7),首先構(gòu)造一個(gè)正定的Lyapunov函數(shù):

(9)

式中:K1>0且有界.

對(duì)式(9)進(jìn)行微分,可得

(10)

若控制輸入選取為

(11)

式中:K2>0,K3>0,且都有界.

將式(11)代入式(10),可得

(12)

2.2 穩(wěn)定性分析

(13)

3 仿真實(shí)驗(yàn)研究

3.1 系統(tǒng)仿真

為了評(píng)估本文所提出的控制律性能,在Matlab/Simulink環(huán)境下，對(duì)履帶式移動(dòng)機(jī)器人分別進(jìn)行直線軌跡跟蹤和圓形軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn).在仿真實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)位移誤差、姿態(tài)角誤差、行駛速度以及轉(zhuǎn)向角速度可以測(cè)量或計(jì)算得到,控制器動(dòng)作為實(shí)際機(jī)器人的行駛速度與轉(zhuǎn)向角速度.仿真模型結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3 軌跡跟蹤控制仿真模型結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Structure diagram of the trajectory tracking control simulation model

圖3中:初始條件模塊為機(jī)器人模塊提供相對(duì)應(yīng)的初始位置、姿態(tài)角、行駛速度與轉(zhuǎn)向角速度;機(jī)器人模型模塊根據(jù)輸入的行駛速度與轉(zhuǎn)向角速度進(jìn)行積分計(jì)算,計(jì)算出隨時(shí)間變化的軌跡信息,包括位置與姿態(tài)角信息;軌跡跟蹤誤差模型模塊根據(jù)參考機(jī)器人與實(shí)際機(jī)器人的軌跡信息計(jì)算得到軌跡跟蹤誤差,并轉(zhuǎn)化到機(jī)器人自身坐標(biāo)系上;軌跡跟蹤控制器模塊則根據(jù)誤差信息和控制律進(jìn)行計(jì)算,得到控制輸入的行駛速度與轉(zhuǎn)向角速度.

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

3.2.1直線軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)置參考機(jī)器人的初始位置和姿態(tài)角為(2, 0, 0.25π),行駛速度為0.5 m/s,轉(zhuǎn)向角速度為0 rad/s;設(shè)置實(shí)際機(jī)器人的初始位置和姿態(tài)角為(1, 1, 0.5π),行駛速度為0 m/s,轉(zhuǎn)向角速度為0 rad/s;軌跡跟蹤控制器的參數(shù)為K1=0.909,K2=1.250,K3=0.818;仿真時(shí)間為20 s.直線軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)的軌跡曲線、誤差曲線和控制輸入曲線分別如圖4、圖5和圖6所示.

從圖4可以看出,參考機(jī)器人的期望軌跡是一條與x軸正方向夾角為45°的傾斜直線,實(shí)際機(jī)器人在仿真開始時(shí)具有一定的軌跡跟蹤誤差,但是經(jīng)過軌跡跟蹤控制后,實(shí)際機(jī)器人與參考機(jī)器人的軌跡重合.從圖5可以看出,由于初始條件的設(shè)定,實(shí)際機(jī)器人的軌跡跟蹤誤差在仿真開始時(shí)變化較為劇烈,縱向位移誤差ex和水平位移誤差ey大約1 s后開始平穩(wěn)變化,姿態(tài)角誤差eθ在3 s后開始平穩(wěn)變化,ex在5 s后收斂到0,ey和eθ在10 s后收斂至0.從圖6可以看出,實(shí)際機(jī)器人在開始階段逐漸加速,并利用較大的轉(zhuǎn)向角速度迅速調(diào)整自己的位置,大約在10 s后達(dá)到參考機(jī)器人的行駛速度與轉(zhuǎn)向角速度,并在以后的時(shí)間內(nèi)一直保持一致.

圖4 直線軌跡跟蹤曲線Fig.4 Trajectory curves of the straight line trajectory tracking control

圖5 直線軌跡跟蹤誤差曲線Fig.5 Error curves of the straight line trajectory tracking control

圖6 直線軌跡跟蹤控制輸入曲線Fig.6 Control input curves of the straight line trajectory tracking control

3.2.2圓形軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)置參考機(jī)器人的初始位置和姿態(tài)角為(2, 0, 0.5π),行駛速度為1 m/s,轉(zhuǎn)向角速度為0.25 rad/s;設(shè)置實(shí)際機(jī)器人的初始位置和姿態(tài)角為(2.5, 1, 0.75π),行駛速度為0 m/s,轉(zhuǎn)向角速度為0 rad/s;軌跡跟蹤控制器的參數(shù)為K1=1.0,K2=1.5,K3=1.2;仿真時(shí)間為24 s.圓形軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)的軌跡曲線、誤差曲線和控制輸入曲線分別如圖7、圖8和圖9所示.

圖7 圓形軌跡跟蹤曲線Fig.7 Trajectory curves of the circle trajectory tracking control

圖8 圓形軌跡跟蹤誤差曲線Fig.8 Error curves of the circle trajectory tracking control

圖9 圓形軌跡跟蹤控制輸入曲線Fig.9 Control input curves of the circle trajectory tracking control

從圖7可以看出,參考機(jī)器人的期望軌跡是一個(gè)圓形曲線,實(shí)際機(jī)器人在仿真開始時(shí)具有一定的軌跡跟蹤誤差,但是經(jīng)過軌跡跟蹤控制后,實(shí)際機(jī)器人與參考機(jī)器人的軌跡重合.從圖8可以看出,同樣由于初始條件的設(shè)定,實(shí)際機(jī)器人的軌跡跟蹤誤差在仿真開始時(shí)變化較為劇烈,縱向位移誤差ex和姿態(tài)角誤差eθ大約1 s后開始平穩(wěn)變化,水平位移誤差ey在3 s后開始平穩(wěn)變化,ex在5 s后收斂到0,ey和eθ在8 s后收斂至0.從圖9可以看出,實(shí)際機(jī)器人在開始階段逐漸加速,并利用較大的轉(zhuǎn)向角速度迅速調(diào)整自己的位置,大約在8 s后達(dá)到參考機(jī)器人的行駛速度與轉(zhuǎn)向角速度,并在以后的時(shí)間內(nèi)一直保持一致.

從上述仿真結(jié)果可知,本文所提出的控制律能夠快速地實(shí)現(xiàn)履帶式移動(dòng)機(jī)器人的直線軌跡跟蹤與圓形軌跡跟蹤,控制過程較為平穩(wěn),具有可實(shí)現(xiàn)性和有效性.

4 結(jié)語

本文首先提出了履帶式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)誤差模型.然后，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,提出了一種狀態(tài)反饋控制律,通過進(jìn)行穩(wěn)定性分析證明了該控制律能夠?qū)崿F(xiàn)軌跡跟蹤的控制目的.最后為了評(píng)估所提出控制律的性能,在Matlab/Simulink環(huán)境下，分別進(jìn)行了直線軌跡跟蹤和圓形軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn).仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,即使在給定了初始狀態(tài)與初始誤差的條件下,所設(shè)計(jì)的控制律仍然能夠快速地實(shí)現(xiàn)直線軌跡跟蹤與圓形軌跡跟蹤,證明了所提方法的有效性和可實(shí)現(xiàn)性.本文所提出的方法具有良好的控制效果,能夠保證控制過程的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性,可以廣泛應(yīng)用在履帶式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制的實(shí)際項(xiàng)目中.

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