增量形式背景的拓?fù)涮s表示

張 濤,李和合,曹海蘭,2,劉夢(mèng)奇

1(燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004)2(河北東軟軟件有限公司,河北 秦皇島 066004)

1 引 言

形式概念分析[1]是對(duì)形式背景中的屬性、對(duì)象及其間關(guān)系進(jìn)行分析和研究的理論,其提供了一種與傳統(tǒng)的、統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)分析和知識(shí)表示完全不同的方法.形式概念分析理論也稱概念格理論,是由德國的WILLE教授于1982年根據(jù)概念的哲學(xué)思想所提出的一種數(shù)學(xué)方法[2,3].目前形式概念分析的應(yīng)用領(lǐng)域已經(jīng)越來越廣泛,如軟件工程[4],知識(shí)發(fā)現(xiàn)[5],數(shù)據(jù)挖掘[6]等.

形式背景的表示方法是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.在經(jīng)典的形式概念分析中,一般以Hasse圖為代表的概念格對(duì)其進(jìn)行表示.但概念格表示不但計(jì)算復(fù)雜,而且表示內(nèi)容僅限于以概念為單位的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu).隨后,以屬性偏序關(guān)系為基礎(chǔ)的屬性偏序圖[7]、以圖計(jì)算為代表的屬性樹[8]、以Hasse圖進(jìn)行延展的直觀圖[9]以及以圖論為基礎(chǔ)的屬性拓?fù)鋄10]等等表示方法應(yīng)運(yùn)而生.

屬性拓?fù)?(Attribute Topology)是一種新型的形式背景的表示方法,其思想來源于計(jì)算機(jī)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).在屬性拓?fù)渲?將每一個(gè)屬性看作是一個(gè)信息終端,則整個(gè)的形式背景表現(xiàn)為終端間的信息溝通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[3].該結(jié)構(gòu)可以通過加權(quán)圖的形式進(jìn)行直觀展現(xiàn),使其具有良好的可視化特性.目前屬性拓?fù)湓诟拍钣?jì)算[11,12]、關(guān)聯(lián)關(guān)系發(fā)現(xiàn)[13]、認(rèn)知計(jì)算等[14]領(lǐng)域都已有所發(fā)展.在概念計(jì)算中,以屬性拓?fù)錇榛A(chǔ)的概念計(jì)算方法主要包括串行概念分析[11]、并行概念分析[15]以及深度優(yōu)先概念分析[12].但隨著增量式計(jì)算的發(fā)展,迫切需要一種增量式的形式背景表示方法,為動(dòng)態(tài)概念計(jì)算奠定表示基礎(chǔ).

屬性拓?fù)涞恼J(rèn)知模型研究表明[14],對(duì)于特定新增對(duì)象,屬性拓?fù)渚哂芯植烤劢固匦?因此,對(duì)于增量式認(rèn)知計(jì)算任務(wù)而言,其只需要對(duì)增量相關(guān)部分進(jìn)行聚焦,進(jìn)行局部計(jì)算即可完成增量過程.本文即以局部聚焦特性為基礎(chǔ),提出拓?fù)涮s算法(簡稱坍縮算法),并將其應(yīng)用于增量式概念搜索,減少增量式概念搜索過程的復(fù)雜性,為基于認(rèn)知模型的概念計(jì)算奠定基礎(chǔ).

2 屬性拓?fù)涞幕靖拍?/h2>

一般情況下,增量式運(yùn)算的增量部分在于形式背景中對(duì)象部分.因此需要將屬性拓?fù)滢D(zhuǎn)化為對(duì)象拓?fù)浔硎?其基礎(chǔ)定義如下:

定義1.一個(gè)形式背景可以表示為K=(G,M,I),其中,G表示形式背景中所有對(duì)象的集合,M表示形式背景中所有屬性的集合,I?G×M表示對(duì)象與屬性之間的關(guān)系,G×M表示集合G與集合M的笛卡爾積.

定義2.設(shè)K=(G,M,I)是一個(gè)形式背景,若A?G,B?M,定義一對(duì)算子

f(A)={m∈M|?g∈A,(g,m)∈I}

g(B)={g∈G|?m∈B,(g,m)∈I}

如果二元組(A,B)滿足f(A)=B且g(B)=A,稱二元組(A,B)是形式背景K中的一個(gè)形式概念.A稱為概念(A,B)的外延,稱為概念(A,B)的內(nèi)涵.通常用B(G,M,I)或B(K)表示形式背景K=(G,M,I)的所有概念構(gòu)成的集合.

在傳統(tǒng)的屬性拓?fù)浔硎局幸詫傩詾閳D的頂點(diǎn),屬性之間的耦合關(guān)系作為圖的邊進(jìn)行表示.針對(duì)增量式計(jì)算一般為對(duì)象增量的情況,本文構(gòu)造對(duì)象拓?fù)浔硎痉椒?將對(duì)象作為圖的頂點(diǎn),對(duì)象之間的耦合作為邊進(jìn)行表示.對(duì)象拓?fù)涞亩x為:

定義3.對(duì)于形式背景K=(G,M,I),對(duì)象拓?fù)涞泥徑泳仃嚤硎径x為OT=(V,Edge).其中V=G,為對(duì)象拓?fù)涞捻旤c(diǎn)集合,Edge為對(duì)象拓?fù)溥叺募?稱為該對(duì)象拓?fù)涞泥徑泳仃?Edge表示如下:

針對(duì)表1所示形式背景,其屬性拓?fù)渑c對(duì)象拓?fù)浞謩e如圖1所示.

表1 形式背景Table 1 Formal context

由定義3和圖1可知,對(duì)象拓?fù)鋵?shí)際上為形式背景K轉(zhuǎn)置后的屬性拓?fù)?二者具有內(nèi)在的一致性.因此,可將屬性拓?fù)渲袑傩远x與定義引申至對(duì)象拓?fù)?

定義4.根據(jù)對(duì)象間的不同關(guān)系,可以將所有的對(duì)象分為頂層對(duì)象集合SupObj和伴生對(duì)象集合SubObj兩個(gè)部分:

定義5.若存在gi,gj∈G,滿足f(gi)?f(gj),則稱對(duì)象gi和對(duì)象gj構(gòu)成一組父子對(duì)象對(duì),稱對(duì)象gj為對(duì)象gi的父對(duì)象,記做gj=Par(gi);同時(shí)稱對(duì)象gi為對(duì)象gj的子對(duì)象,記做gi=Chr(gj).

圖1 屬性拓?fù)渑c對(duì)象拓?fù)銯ig.1 Attribute topology and object topology

3 對(duì)象拓?fù)涞奶s

人們?cè)趯?duì)新事物進(jìn)行認(rèn)知和決策時(shí),會(huì)在大腦原有儲(chǔ)備中進(jìn)行激活或更新[16].若新增對(duì)象為已知對(duì)象時(shí),可以直接完成對(duì)新增對(duì)象的認(rèn)知.對(duì)未知對(duì)象的認(rèn)知學(xué)習(xí)過程,可以通過類似證據(jù)的累積過程完成對(duì)其認(rèn)知,該過程在對(duì)象拓?fù)渲斜憩F(xiàn)為增加未知對(duì)象對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)與關(guān)聯(lián).隨著認(rèn)知過程的累積,對(duì)象拓?fù)浠蛐问奖尘皩⒆兊迷絹碓綇?fù)雜,這將使未知對(duì)象的認(rèn)知學(xué)習(xí)難于處理.為了降低對(duì)新增對(duì)象認(rèn)知學(xué)習(xí)的復(fù)雜性,本文給出拓?fù)涮s算法,簡稱坍縮算法.

對(duì)象拓?fù)涞摹疤s”概念來源于天體物理學(xué)上物質(zhì)在引力作用下坍縮形成黑洞過程.引力坍縮是恒星在自身物質(zhì)的引力作用下彼此拉近而產(chǎn)生坍縮,從而自身向內(nèi)坍陷的過程.將坍縮的概念引入到對(duì)象拓?fù)渲?“坍縮”形象地表達(dá)了在原始形式背景所對(duì)應(yīng)的對(duì)象拓?fù)浠A(chǔ)上,通過對(duì)象間的相關(guān)性彼此吸引,從而向下一層坍陷的過程,坍縮過程簡化和描述了對(duì)未知對(duì)象的認(rèn)知學(xué)習(xí)過程,同時(shí)使對(duì)象拓?fù)涞奶幚磉^程更加形象.

3.1 對(duì)象分類

在對(duì)象拓?fù)渲?頂點(diǎn)之間的連線可以清晰地描述兩個(gè)對(duì)象間的關(guān)系.對(duì)于一個(gè)確定的形式背景可以得到唯一的概念集合和概念格,因此一個(gè)確定的形式背景將對(duì)應(yīng)于一個(gè)特定的認(rèn)知能力.考慮到在形式背景中,新對(duì)象的加入不會(huì)影響原有各個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系,因此在某個(gè)認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上,實(shí)現(xiàn)對(duì)新增對(duì)象的認(rèn)知,只需考慮新增對(duì)象與原有各個(gè)對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)性.

設(shè)原始形式背景為K=(G,M,I),加入新增對(duì)象new后的形式背景為K*=(G*,M*,I*),其中G*=G∪new,M*=M,I*?I;為了區(qū)分兩個(gè)形式背景下的關(guān)系,將在形式背景K*下的算子記為fK*和gK*.

定義6.對(duì)于任意的新增對(duì)象new,根據(jù)新增對(duì)象與原有對(duì)象之間的關(guān)系,可以將新增對(duì)象分為三類:

1)若?x∈G,使得f(x)=fK*(new),則稱新對(duì)象new為已知對(duì)象.

2)若?x∈G,滿足f(x)∩fK*(new)=?,則稱新對(duì)象new為完全未知對(duì)象.

3)其它,則稱對(duì)象new為半未知對(duì)象,根據(jù)對(duì)象間的具體關(guān)系可以細(xì)化為三種情況:

a)f(x)∩fK*(new)=f(x),對(duì)象new其特征可以覆蓋在原始形式背景中對(duì)象x的特征,在對(duì)象拓?fù)鋱D中,二者間存在由對(duì)象節(jié)點(diǎn)new指向節(jié)點(diǎn)x的單向邊,且權(quán)值為f(x).

b)f(x)∩fK*(new)=fK*(new),在原始形式背景中存在對(duì)象x其特征包含對(duì)象new的特征,在對(duì)象拓?fù)鋱D中,二者間存在由對(duì)象節(jié)點(diǎn)x指向節(jié)點(diǎn)new的單向邊,且權(quán)值為fK*(new).

c)f(x)∩fK*(new)≠?且f(x)∩fK*(new)≠f(x)且f(x)∩fK*(new)≠fK*(new),即二者為相容關(guān)系,在對(duì)象拓?fù)渲?二者之間存在雙向邊,且權(quán)值為f(x)∩fK*(new).

根據(jù)定義6,若在現(xiàn)有的認(rèn)知能力下,新增對(duì)象new與對(duì)象x的特征屬性是相同的,則可以通過x完成對(duì)new的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí),將其劃為已知對(duì)象;若新增對(duì)象與任意已知對(duì)象之間的關(guān)系呈現(xiàn)互斥關(guān)系,直觀地看,在對(duì)象拓?fù)鋱D中表現(xiàn)為二者間不存在任何邊的連接,則新增對(duì)象new是一個(gè)完全陌生的未知對(duì)象.當(dāng)new為半未知對(duì)象時(shí),在原始形式背景中,存在與其關(guān)聯(lián)的已知對(duì)象.由于在現(xiàn)有形式背景的認(rèn)知能力下,無法直接明確的認(rèn)識(shí)完全未知對(duì)象和半未知對(duì)象,將它們統(tǒng)稱為未知對(duì)象.新增對(duì)象的各個(gè)類別之間的關(guān)系如圖2所示.

圖2 新增的對(duì)象各個(gè)類別之間的關(guān)系Fig.2 Relationship of new objects in the view of categories

例如,在表1的形式背景的基礎(chǔ)上增加一個(gè)對(duì)象new1,其屬性特征為{c,d,e},易得fK*(new1)=f(7),根據(jù)定義此時(shí)新增對(duì)象new1為已知對(duì)象,可以直接由對(duì)象7完成對(duì)新增對(duì)象new1的認(rèn)知.若在表1所示形式背景的基礎(chǔ)上新增對(duì)象new2,其屬性特征為{d,e},易知新增對(duì)象new2為半未知對(duì)象,此時(shí)不能直接對(duì)new2作出準(zhǔn)確的判斷,且對(duì)象8與new2滿足分類3中的條件a,對(duì)象2,6,7與new2滿足分類3中的條件b,對(duì)象1與new2滿足分類3中的條件c.

性質(zhì)1.對(duì)于形式背景K=(G,M,I),設(shè)new為新增的未知對(duì)象,若#{fK*(new)}=1,則new與原形式背景K中對(duì)象只存在不關(guān)聯(lián)關(guān)系和被包含關(guān)系.

證明:因?yàn)閚ew為未知對(duì)象,所以不存在對(duì)象x∈G使得new=x.即若x∈G且#{f(x)}=1,則new與x定不存在關(guān)聯(lián).

當(dāng)x∈G且#{f(x)}>1時(shí),若f(x)∩fK*(new)=?,則不存在關(guān)聯(lián);

若f(x)∩fK*(new)≠?,則f(x)∩fK*(new)=fK*(new),即對(duì)象new與x為包含關(guān)系,且對(duì)象x包含對(duì)象new.

證畢.

3.2 坍縮過程

按照3.1小節(jié)給出的分類方法,新增對(duì)象可分為已知對(duì)象、完全未知對(duì)象和半未知對(duì)象,由于已知對(duì)象已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的認(rèn)知,本節(jié)算法只針對(duì)后兩種情形,討論未知對(duì)象的對(duì)對(duì)象拓?fù)涞挠绊?設(shè)未知對(duì)象為new,OT=(V,Edge)為原形式背景K所對(duì)應(yīng)的對(duì)象拓?fù)?對(duì)象拓?fù)涮s的算法見算法1,坍縮后所得對(duì)象拓?fù)溆洖镺Tclp=(Vclp,Edgeclp).

算法1.

算法名:對(duì)象拓?fù)涞奶s

算法功能:簡化未知對(duì)象的增量式概念認(rèn)知過程,減小新

增對(duì)象認(rèn)知學(xué)習(xí)過程的復(fù)雜性.

Step1.Vur={v∈V|f(v)∩fK*(new)=?}

Step2.OTct=(Vct,Edgect),Vct=V-Vur,

?vi,vj∈Vct,Edgect(vi,vj)=Edge(vi,vj)

Step3.若新增對(duì)象new為頂層對(duì)象,則進(jìn)入Step 4;否則

跳轉(zhuǎn)到Step 6

Step4.令Vclp=Vct+{new},?vi,vj∈Vclp,

Edgeclp(vi,vj)=

Step5.跳轉(zhuǎn)到步驟7

Step6.令Vclp=Vct-Par(new)+{Par(new)∪new},

?vi,vj∈Vclp

Edgeclp(vi,vj)=

Step7.得到坍縮后的對(duì)象拓?fù)銸Tclp=(Vclp,Edgeclp)

在對(duì)象拓?fù)涞奶s過程中,Step 1-2根據(jù)新增對(duì)象new與原始對(duì)象拓?fù)銸T=(V,Edge)中所有對(duì)象間的關(guān)聯(lián),對(duì)原始對(duì)象集合進(jìn)行了分離,通過刪除與新增對(duì)象new不存在關(guān)聯(lián)的對(duì)象集合,得到規(guī)模較小的對(duì)象拓?fù)銸Tct.Step 3中將新增對(duì)象按頂層對(duì)象和伴生對(duì)象分別進(jìn)行后續(xù)的坍縮算法.Step 4-7,完成對(duì)象拓?fù)涞奶s算法.對(duì)于新增對(duì)象為頂層對(duì)象的情形,將新增對(duì)象作為新結(jié)點(diǎn)加入,并依據(jù)對(duì)象間的關(guān)系完成對(duì)新增對(duì)象的認(rèn)知.對(duì)于新增對(duì)象為伴生對(duì)象的情形,將新增對(duì)象與其父對(duì)象進(jìn)行合并,然后再與原形式背景中各對(duì)象的對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)其進(jìn)行認(rèn)知.對(duì)于完全未知對(duì)象而言,Vur=Vr,則OTct為一空拓?fù)?此時(shí)新增對(duì)象加入后成為拓?fù)渲械捻攲訉?duì)象,算法轉(zhuǎn)入Step 4-5,此時(shí)該對(duì)象將獨(dú)立形成全新的概念,符合認(rèn)知的原理.

對(duì)于表1所示的形式背景K=(G,M,I),對(duì)應(yīng)的對(duì)象拓?fù)淙鐖D1(b)所示,若新增對(duì)象為new,滿足fK*(new)={d,e}.直接在原始對(duì)象拓?fù)渲羞M(jìn)行表示,其結(jié)果如圖3(a)所示.根據(jù)算法1對(duì)其進(jìn)行拓?fù)涮s運(yùn)算,首先可以獲得與新增對(duì)象無關(guān)的對(duì)象集合為Vur={3,4,5},然后獲得對(duì)象拓?fù)銸Tct如圖3(b)所示,其中Vct={1,2,6,7,8}.

圖3 坍縮過程示例Fig.3 Example of a collapsing process

可見,加入新增對(duì)象new后,完成對(duì)原始對(duì)象拓?fù)涞奶s時(shí),若存在與對(duì)象new無關(guān)的節(jié)點(diǎn),例如圖3(a)所示的節(jié)點(diǎn)3、4、5,則通過坍縮可以去除掉原始對(duì)象拓?fù)涞娜哂嗖糠?得到如圖3(b)所示的OTct,此對(duì)象拓?fù)鋱D僅與新增對(duì)象new存在關(guān)聯(lián)性,是原始對(duì)象拓?fù)涞淖訉?duì)象拓?fù)?

由于新增對(duì)象new滿足fK*(new)={d,e},為一伴生對(duì)象,其父對(duì)象有{2,6,7},則將新增對(duì)象與父對(duì)象合并后可以得出Vclp=Vct-Par(new)+{Par(new)∪new}={1,2,6,7,8}-{2,6,7}+{2,6,7,new}={1,8,{2,6,7,new}}.此處為了描述方便,記NEW={2,6,7,new},則Vclp={1,8,NEW}.得到坍縮后的對(duì)象拓?fù)鋱D3(c)所示.

4 實(shí) 驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的坍縮算法對(duì)增量式分析的影響,采用概念搜索算法對(duì)其性能進(jìn)行評(píng)估.由于坍縮表示基礎(chǔ)為屬性拓?fù)?因此選擇的對(duì)比算法均以屬性拓?fù)錇榛A(chǔ)的DFFCS、BDAT兩種算法.其中,DFFCS為典型的串行概念搜索算法,BDAT為典型的并行搜索算法.實(shí)驗(yàn)過程中均采用默認(rèn)參數(shù).

本節(jié)實(shí)驗(yàn)中選取5個(gè)數(shù)據(jù)集,除了典型的形式背景生物和水(Living Beings and Water)之外,還選取了四組來自UCI的數(shù)據(jù)集,Balance scale[17],Tic tactoc[18],Mushroom[19]和Nursery[20].這些數(shù)據(jù)集大多是多值的,因此實(shí)驗(yàn)前需要首先將它們轉(zhuǎn)化為二值背景[1],然后經(jīng)過預(yù)處理去除冗余的對(duì)象和屬性,得到凈化后的二值形式背景,實(shí)驗(yàn)中使用的各個(gè)二值形式背景的基本信息列于表2中.實(shí)驗(yàn)過程中采用的增量方式為按照數(shù)據(jù)集中默認(rèn)對(duì)象順序由零開始進(jìn)行增量,至數(shù)據(jù)集中所有對(duì)象完成為止.

由于本實(shí)驗(yàn)主要考察坍縮運(yùn)算對(duì)于運(yùn)算速度的提升,因此以坍縮前后概念計(jì)算時(shí)間為評(píng)價(jià)指標(biāo).在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí),考慮到算法的運(yùn)行時(shí)間將會(huì)受到系統(tǒng)中其它進(jìn)程的影響,為了減小實(shí)驗(yàn)的偶然誤差,提高計(jì)算時(shí)間記錄的準(zhǔn)確性,每種算法分別對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行了10次測(cè)試,最后對(duì)這10次記錄的時(shí)間監(jiān)視數(shù)據(jù)求取平均值,作為最終的算法運(yùn)行時(shí)間.

表2 實(shí)驗(yàn)中使用的二值形式背景的基本信息Table 2 Information of binary context in experiments

表3 DFFCS算法坍縮前后時(shí)間對(duì)比Table 3 Comparison before and after collapse to DFFCS intime consuming

表4 BDAT算法坍縮前后時(shí)間對(duì)比Table 4 Comparison before and after collapse to BDAT in time consuming

綜合表3和表4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,可以看到經(jīng)過坍縮運(yùn)算后的大多數(shù)增量式概念計(jì)算速度得到了有效提升.但對(duì)于串行計(jì)算而言,形式背景“Living Beings and Water”的運(yùn)算時(shí)間反而有所增加.其原因在于該形式背景較小,坍縮運(yùn)算的帶來的計(jì)算量減小不足以抵消坍縮運(yùn)算本身的時(shí)間消耗.但隨著形式背景復(fù)雜度的增加,坍縮運(yùn)算帶來了明顯的速度提升.因此,坍縮運(yùn)算適用于中等規(guī)模以上的形式背景增量式分析.

通過對(duì)比表3和表4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)并行運(yùn)算的速度提升低于串行運(yùn)算.其主要原因在于本實(shí)驗(yàn)的增量方式為逐個(gè)加入.對(duì)于串行計(jì)算而言,坍縮后的串行表示方式仍維持較大規(guī)模,而并行運(yùn)算經(jīng)過分解后變?yōu)樾∫?guī)模形式背景.通過分析已知:小規(guī)模形式背景下坍縮運(yùn)算對(duì)速度提升不如大規(guī)模形式背景明顯.因此,并行運(yùn)算的速度提升要低于串行運(yùn)算.

5 結(jié) 論

本文在屬性拓?fù)浠A(chǔ)上,提出了拓?fù)涮s的增量式形式背景表示方法.該表示方法可以直觀的對(duì)新增對(duì)象進(jìn)行聚焦表示,從而降低表示和后期計(jì)算的復(fù)雜度.實(shí)驗(yàn)表明,經(jīng)過坍縮運(yùn)算后的增量式概念計(jì)算,對(duì)于中等規(guī)模以上形式背景具有明顯的速度提升.如何利用拓?fù)涮s算法設(shè)計(jì)一體化的增量式概念搜索算法,是下一步值得研究的方向.

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