基于H∞魯棒控制的電動叉車穩(wěn)定性研究

曹 勇， 肖本賢(1.合肥工業(yè)大學(xué) 工業(yè)與裝備技術(shù)研究院，合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，合肥 230009)

汽車在轉(zhuǎn)彎時，由于內(nèi)外輪轉(zhuǎn)彎半徑不一樣，內(nèi)外輪必須以不同的角速度旋轉(zhuǎn)，傳統(tǒng)車輛使用機械差速器實現(xiàn)這一功能[1]，而電動叉車作為工業(yè)搬運車輛的一種，廣泛地應(yīng)用在狹窄的車間、港口、車站等地方，相對于傳統(tǒng)的汽車來說，對轉(zhuǎn)向的要求更高.對于電動叉車來說，使用電子差速器來代替機械差速器，完成叉車的轉(zhuǎn)向任務(wù).

文獻[2]采用阿克曼轉(zhuǎn)角關(guān)系來約束左右車輪的轉(zhuǎn)速，說明了轉(zhuǎn)彎時轉(zhuǎn)彎半徑應(yīng)該滿足的幾何關(guān)系;文獻[3]采用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略，根據(jù)獲得的車速和轉(zhuǎn)向角對左右輪進行轉(zhuǎn)速控制，通過該方法提高了汽車的轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性;文獻[4]從垂直載荷的角度出發(fā)，以驅(qū)動輪附著率相等為目標，提出了基于垂直載荷的電子差速控制策略,并且在MATLAB下驗證了該算法的有效性;文獻[5]以無刷直流輪轂電機驅(qū)動后輪為研究對象，設(shè)計了一種魯棒控制器，通過試驗車驗證了該控制器的有效性;文獻[6]根據(jù)車輛縱向動力學(xué)模型,建立包括制動監(jiān)視器、滑移率調(diào)節(jié)器, 并在MATLAB/Simulink和Car Sim進行聯(lián)合仿真，仿真結(jié)果表明該方法有效地使滑移率確定在期望值,制動力矩輸出連續(xù),提高了電動汽混合制動的性能.電動叉車由于載貨質(zhì)量大，工況更復(fù)雜，外界干擾多，對于整車穩(wěn)定性要求更高[7].由于魯棒控制具有在一定的參數(shù)攝動下，維持系統(tǒng)某些性能的特性，這里對整車模型進行混合靈敏度H魯棒控制設(shè)計，設(shè)計了一種魯棒電子差速控制器，并在MATLAB/SIMULINK下進行了仿真驗證，仿真結(jié)果表明，叉車在工況下的行駛穩(wěn)定性得到了提高.

1 電動叉車七自由度整車模型

1.1 車體動力學(xué)模型

1.1.1 車輛坐標系

當叉車在平整的路面上保持靜止時，以叉車的質(zhì)心為坐標原點；X軸方向為叉車車頭方向；Y軸方向為駕駛員左側(cè)方向；Z軸方向是垂直于地面的方向，且方向向上，并通過質(zhì)心[8].

1.1.2 整車動力學(xué)方程

在建立的整車模型中，為了達到盡量簡便和突出研究重點的目的，忽略了叉車復(fù)雜的懸架系統(tǒng)，將叉車視為剛體，并且路面為正常行駛的路面.基于以上假設(shè)，建立了如圖1所示的整車7自由度動力學(xué)模型，其中包含橫向運動，縱向運動，繞Z軸運動以及4個車輪的旋轉(zhuǎn).由力學(xué)公式得到以下方程.

圖1 七自由度車輛動力學(xué)模型

縱向力平衡方程：

(1)

側(cè)向力平衡方程：

(2)

繞Z軸力矩平衡方程：

(3)

上述方程中：σ為前輪轉(zhuǎn)角；vx、vy分別為縱向、橫向車速；β為質(zhì)心側(cè)偏角；r為橫擺角速度；Fxi、Fyi、Fzi分別為輪胎縱向力、側(cè)向力、垂向力；m為整車質(zhì)量；Iz為整車繞Z軸的轉(zhuǎn)動慣量；a、b為前后軸到質(zhì)心的距離.

1.2 車輪模型

車輪模型包括車輪動力學(xué)模型、輪胎的垂直載荷模型以及側(cè)偏角計算模型.

1.2.1 車輪動力學(xué)模型

對叉車行駛時的狀態(tài)進行受力分析，主要是輪胎與地面的作用力，該作用力直接提供叉車前進的動力.其次是空氣阻力對車的影響.4個車輪的力矩平衡方程如下：

(4)

其中，i=左前輪fl、右前輪fr、左后輪rl、右后輪rr.

1.2.2 車輪的垂直載荷

叉車在正常運行情況下，叉車輪胎所承受的垂直載荷在運行期間會不斷變化，比如在轉(zhuǎn)向的時候，內(nèi)側(cè)輪胎所受垂直載荷會變小，而外側(cè)剛好相反.其垂直載荷的計算如下.

各輪胎垂向載荷公式：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：l=a+b為前后軸距；hg為質(zhì)心到地面的距離；tw1為前軸輪距；tw2為后軸輪距.

1.2.3 車輪的側(cè)偏角

車輪側(cè)偏角指的是車輪的行駛方向與車輪旋轉(zhuǎn)平面之間的夾角，各輪胎側(cè)偏角公式如下.

(9)

(10)

(11)

(12)

1.2.4 滑移率的計算

各車輪輪心在車輪坐標系下的縱向速度：

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：vt_fl、vt_fr、vt_rl、vt_rr為輪胎坐標系下的輪胎縱向速度.

各車輪滑移率的計算：

(17)

(18)

(19)

(20)

1.3 電機方程

電機電樞回路電壓平衡方程為

(21)

轉(zhuǎn)矩平衡方程：

(22)

其中:

Ed=Ce·n;

(23)

Te=Cm·Id.

(24)

2 H魯棒控制器設(shè)計

γ=min‖P(s)‖.

(25)

圖2 廣義反饋系統(tǒng)

在實際控制系統(tǒng)中，外界干擾和叉車本身的不確定性都會影響系統(tǒng)穩(wěn)定性.對這兩者同時進行控制稱為H控制的混合靈敏度問題.為了提高系統(tǒng)的性能，要用混合靈敏度來設(shè)計控制器，系統(tǒng)框圖如下.

圖3 混合靈敏度設(shè)計系統(tǒng)

圖中：r、e、n、d和y分別表示參考輸入、跟蹤誤差、測量噪聲、干擾輸入和系統(tǒng)輸出；W1、W2，W3分別為系統(tǒng)的為性能權(quán)、控制器輸出約束權(quán)和魯棒權(quán)[10].

設(shè)從r到e，u，y，的傳遞函數(shù)分別為

U=(1+GK)-1,

(26)

V=K(1+GK)-1,

(27)

Q=GK(1+GK)-1,

(28)

式中：U是靈敏度函數(shù)，而Q是補靈敏度函數(shù).現(xiàn)在我們要選擇加權(quán)函數(shù)W1，W2，W3使之滿足：

(29)

加權(quán)函數(shù)的選擇

加權(quán)函數(shù)的選擇至關(guān)重要，它的效果好壞會對系統(tǒng)最終的性能有著嚴重的影響.某種程度上說，對U,V,Q的選擇是設(shè)計過程中最核心、最關(guān)鍵的一環(huán)，且需要滿足以下關(guān)系[11].

1)靈敏度函數(shù)U是閉環(huán)系統(tǒng)對干擾抑制的度量，由式(28)得

(30)

2)若加性攝動Δa和乘性攝動Δm滿足：

(31)

(32)

3)在低頻區(qū)有：

U=(1+GK)-1≈(GK)-1,

(33)

V=KU≈G-1.

(34)

4)在高頻區(qū)有：

U=(1+GK)-1≈I,

(35)

V=KU≈K,

(36)

Q=GKU≈GK.

(37)

以上的幾個條件中，4)是最簡便的.因此，文中以關(guān)系4)為標準來決定加權(quán)函數(shù)，并用其中的結(jié)果對其它指標進行檢驗.

電子差速系統(tǒng)加權(quán)函數(shù)的選擇

電子差速系統(tǒng)的特性決定了W1具有積分特性或者高增益低通特性，一般取W1(s)=1/(s+1)；W2由系統(tǒng)參數(shù)的攝動范圍決定，對控制器的輸出有很強的制約.在設(shè)計系統(tǒng)中，我們在一定范圍內(nèi)選取不同的W2值從而限制控制信號的幅值.為了保持系統(tǒng)階次的穩(wěn)定，通常取W2為一常數(shù)k2.具體數(shù)值應(yīng)能滿足系統(tǒng)的頻寬要求，取W2=0.000 05；隨后，W3的選取也至關(guān)重要.W3一般具有高通性質(zhì)，取W3(s)=k3s/(s/ω3+1).W3也影響系統(tǒng)頻寬，系統(tǒng)頻寬與ω3的取值成正比，與k3的取值成反比.為了滿足系統(tǒng)的頻寬要求，我們?nèi)3(s)=s/(s+1 000).將表1中的參數(shù)帶入叉車的模型中，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù). 對被控系統(tǒng)的標稱模型進行加權(quán)，求解H魯棒控制器并進行降階，得到的控制器模型為

(38)

表1 電動叉車參數(shù)

3 仿真驗證

為了驗證所設(shè)計控制器的控制效果，在MATLAB2016b平臺下進行了仿真驗證，將叉車加速到 12 km/h，在8 s時減小轉(zhuǎn)矩輸入，在10 s時,給方向盤施加一個 40°角的階躍輸入，在電子差速控制器的作用下，對叉車的行駛狀態(tài)進行仿真分析.仿真結(jié)果結(jié)果如圖4～9所示.

在沒有電子差速控制器的情況下，叉車兩側(cè)的輪子輸出轉(zhuǎn)矩相等，在仿真過程中，兩側(cè)車輪滑移率的仿真結(jié)果如圖4所示.由圖4可知，在轉(zhuǎn)彎的過程中，叉車兩側(cè)的滑移率差別很大，說明叉車在轉(zhuǎn)彎的時候沒有差速控制來分配各個輪子的轉(zhuǎn)矩，各個輪子都以相同的轉(zhuǎn)矩行進，由于內(nèi)外輪行駛路徑的區(qū)別，導(dǎo)致產(chǎn)生的滑移率不同，外輪明顯大于后輪.此時，外輪不僅有磨損，還有可能發(fā)生滑轉(zhuǎn)，導(dǎo)致叉車行駛不穩(wěn)定，甚至出現(xiàn)側(cè)翻等嚴重后果.

圖4 等轉(zhuǎn)矩分配時車輪滑移率

圖5 等轉(zhuǎn)矩分配時輸出轉(zhuǎn)矩

加入魯棒控制器之后再進行仿真，得到車輪行駛時的滑移率和轉(zhuǎn)矩變化，如圖6和圖7所示.由圖6可知，加了所設(shè)計的魯棒控制器后，車輪的滑移率穩(wěn)定在0.2左右，在該范圍內(nèi)，叉車行駛比較穩(wěn)定，并且前后車輪的偏差接近為0，這對車輛的穩(wěn)定性至關(guān)重要，由圖7可知，在前10 s叉車直線加速行駛過程中，兩后輪輸出的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩相同；在 10 s 時，叉車開始轉(zhuǎn)彎，與此同時，電子差速器對驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)矩進行合理分配，在12 s后車輪的轉(zhuǎn)矩趨于穩(wěn)定.從仿真結(jié)果來看，電子差速控制器對于協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)矩，調(diào)節(jié)叉車轉(zhuǎn)彎時的穩(wěn)定性有很好的效果.

圖6 加入魯棒控制器后的車輪滑移率

在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)仿真得到側(cè)向速度與橫擺角速度的結(jié)果，如圖8和圖9所示.從仿真結(jié)果圖來看，叉車在直線行駛的時候，側(cè)向速度和橫擺角速度均保持為零；進入轉(zhuǎn)彎過程中，側(cè)向速度與橫擺角速度發(fā)生突變，且在魯棒控制下，兩者的實際效果更好，經(jīng)過調(diào)節(jié)迅速達到穩(wěn)定的狀態(tài)；與此同時，左右輪的滑移率的差值一直很小，車輪不會發(fā)生明顯的滑移.說明叉車轉(zhuǎn)彎時,能達到預(yù)期的穩(wěn)定性，電子差速控制器在轉(zhuǎn)向過程中起到了重要作用.

圖7 魯棒控制下的車輪轉(zhuǎn)矩

圖8 橫擺角速度仿真結(jié)果

圖9 側(cè)向加速度仿真結(jié)果

4 結(jié) 論

為了提高電動叉車的行駛穩(wěn)定性，建立了叉車7自由度整車模型，提出了基于H魯棒控制的電子差速器，仿真結(jié)果表明，魯棒控制器能合理分配轉(zhuǎn)彎時的車輪轉(zhuǎn)矩，使得車輪的滑移率保持一致，從而有效地提高了叉車轉(zhuǎn)向時的穩(wěn)定性.

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