檢測單相電壓暫降的直接導(dǎo)數(shù)算法

蔣海瑋，李東輝

（大連交通大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，大連116028）

1 引言

根據(jù)電氣與電子工程師協(xié)會(huì)(IEEE)標(biāo)準(zhǔn)IEEE Std.1159-1995的定義，電壓暫降是指供電電壓方均根值下降至額定值90%～10%的事件，其典型持續(xù)時(shí)間為工頻0.5～30周波[1-2]。在各種常見的暫態(tài)電能質(zhì)量問題中，電壓暫降的發(fā)生頻率最高,其對可調(diào)速驅(qū)動(dòng)裝置、自動(dòng)化生產(chǎn)線、可編程邏輯控制器、交流接觸器以及計(jì)算機(jī)系統(tǒng)等敏感設(shè)備均可產(chǎn)生巨大危害，嚴(yán)重影響了人們的生產(chǎn)與生活[3-5]。為了實(shí)現(xiàn)電壓暫降的實(shí)時(shí)補(bǔ)償以及為暫降事后的統(tǒng)計(jì)與分析工作提供依據(jù)，必須解決額定電壓暫降特征值實(shí)時(shí)檢測的問題。

針對暫降特征值的實(shí)時(shí)檢測，坐標(biāo)變換法以其良好的動(dòng)態(tài)性能和較高的檢測精度受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的坐標(biāo)變換法將單相電壓延時(shí)60°構(gòu)造虛擬三相系統(tǒng)，再將abc坐標(biāo)下的電壓變換至dq坐標(biāo)，最后用低通濾波法提取dq分量中的直流成分從而計(jì)算暫降幅值及相位跳變[2，6]。在此基礎(chǔ)上，一些學(xué)者考慮到構(gòu)造三相系統(tǒng)的過程運(yùn)算量大，將單相電壓求導(dǎo)或延時(shí)90°構(gòu)造兩相靜止坐標(biāo)下的電壓，用αβ-dq變換代替了abc-dq變換以獲取dq分量[7-9]。然而，坐標(biāo)變換法必然涉及額外電壓相量的構(gòu)造，所需參量較多。另外，各文獻(xiàn)對伴有長時(shí)間頻率偏移情況下的相位跳變檢測的研究較少，導(dǎo)致坐標(biāo)變換法只能檢測±90°范圍內(nèi)的相位跳變。

鑒于上述電壓暫降檢測方法存在的不足，設(shè)計(jì)了一種檢測電壓暫降的直接導(dǎo)數(shù)算法，并將其應(yīng)用于實(shí)測電壓暫降的檢測。結(jié)果表明，該算法運(yùn)算量小，可以滿足檢測裝置對實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性的要求，同時(shí)擴(kuò)展了頻率偏移情況下較長時(shí)間電壓暫降相位跳變的檢測范圍。

2 αβ變換法檢測電壓暫降特征值

αβ變換法是基于坐標(biāo)變換的電壓暫降特征值檢測的典型方法。設(shè)暫降過程中的理想單相電壓為u(t)，先將u(t)投影至αβ兩靜止坐標(biāo)系下，可得到投影值為：

兩式中，uβ可視為當(dāng)前電壓的瞬時(shí)值。對于uα的構(gòu)造有兩種方法：一種是延時(shí)1/4周期的構(gòu)造法，即將所測得的電壓延時(shí)1/4周期以獲得uα；另一種方法如式(3)所示，即通過求導(dǎo)的方法來構(gòu)造uα。

再對uα和uβ進(jìn)行兩相靜止兩相旋轉(zhuǎn)變換，可得到dq軸下的電壓ud和uq，具體變換過程如下：

變換矩陣C2s/2r的構(gòu)造需要與暫降前電網(wǎng)電壓同相位的正弦信號(hào)sin(ωt+φ)和與之對應(yīng)的余弦信號(hào)cos(ωt+φ)，它們需由鎖相環(huán)和一個(gè)正、余弦信號(hào)發(fā)生電路產(chǎn)生。

接著通過低通濾波器得到dq軸電壓的直流分量Ud0和Uq0，最終可求得暫降的基波電壓幅值和相位跳變?yōu)椋?/p>

3 直接導(dǎo)數(shù)算法檢測電壓暫降特征值

考慮到坐標(biāo)變換法所需的額外電壓信號(hào)較多，且檢測超過±90°的相位跳變時(shí)會(huì)出現(xiàn)問題，為此設(shè)計(jì)了用于單相電壓暫降檢測的直接導(dǎo)數(shù)算法。

首先建立暫降前和暫降過程中理想相電壓函數(shù)模型，如式(7)和(8)所示：

式中，A0為系統(tǒng)額定相電壓幅值（為已知量），A1為暫降過程中相電壓幅值，φ為電壓初相角，Δφ為相位跳變。

3.1 電壓暫降幅值計(jì)算

對(8)式求導(dǎo)可得：

理想情況下，由式(8)、(9)便很容易得出暫降基波電壓幅值為：

假定電壓暫降幅值為k,根據(jù)定義可得最終的暫降幅值表達(dá)式：

在實(shí)際應(yīng)用中,的計(jì)算只需要u1中相鄰的兩個(gè)采樣數(shù)據(jù)，即u1對應(yīng)tk時(shí)為utk，則對應(yīng)tk-1時(shí)為ut(k-1)，此時(shí)任意時(shí)刻電壓的導(dǎo)數(shù)為：

式中fs為采樣頻率，常用的采樣頻率為6.4kHz、12.8kHz和25.6kHz等，遠(yuǎn)大于工頻50Hz的兩倍，故計(jì)算的導(dǎo)數(shù)值精度很高。另外，我國規(guī)定380V低壓配電系統(tǒng)電壓總諧波畸變率不應(yīng)超過5%，隨著電壓等級(jí)的升高，各級(jí)高壓配電系統(tǒng)電壓總諧波畸變率還會(huì)逐漸降低[2]。因此，由于電網(wǎng)諧波電壓幅值數(shù)量級(jí)相對基波較小，當(dāng)式(8)中含有諧波電壓時(shí)，諧波對基波暫降幅值的檢測結(jié)果所帶來的影響可以忽略，通過低通濾波提取式(11)中的直流分量即為暫降幅值。

3.2 電壓暫降相位跳變計(jì)算

如式(6)所示，針對相位跳變的檢測，人們往往習(xí)慣于通過坐標(biāo)變換等數(shù)學(xué)手段構(gòu)造出僅以相位跳變 Δφ 為變量的三角函數(shù)值 sin(Δφ)或 tan(Δφ)，再對其做反三角函數(shù)運(yùn)算，從而求得相位跳變值[6-11]。然而由于反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)只能計(jì)算出±90°范圍內(nèi)的相位跳變值，故無法檢測在較長時(shí)間電壓暫降過程中因系統(tǒng)頻率偏移而導(dǎo)致的絕對值超過90°的瞬時(shí)相位跳變[7]。為此，本文將相位跳變的檢測范圍擴(kuò)展至±180°（相位跳變絕對值超過90°的情形參見下文4.2中的討論），并提出基于暫降過程中電壓 u1的實(shí)時(shí)相位(ωt+φ+Δφ)與暫降前電壓 u0延續(xù)波的實(shí)時(shí)相位(ωt+φ)作差來求取相位跳變?chǔ)う盏姆椒?。其中，暫降前電壓延續(xù)波可由相應(yīng)處理器的內(nèi)存對暫降前電壓一周期的瞬時(shí)數(shù)據(jù)周期延拓來生成，也可由鎖相環(huán)產(chǎn)生（暫降前電壓與暫降前電壓延續(xù)波在后文中統(tǒng)稱為暫降前電壓）。

假定 θ0=(ωt+φ)、θ1=(ωt+φ+Δφ)。將 u0和 u1及其導(dǎo)數(shù)化為幅值為1的形式，從而確定電壓實(shí)時(shí)相位的正、余弦值：

已知相位角的正、余弦值，即可確定該相位角所在的象限，從而可將相位表示為隨時(shí)間的推移在-180°～+180°范圍內(nèi)周期變化的函數(shù)，以 θ1為例：

同理，將上式中的角標(biāo)1替為0，即可獲得θ0的表達(dá)式。至此，u0和u1的實(shí)時(shí)相位便確定了。為了獲得相位跳變?chǔ)う?，將?7)和式(9)中的x0和x1視為兩個(gè)同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)方程，其所對應(yīng)的單位旋轉(zhuǎn)矢量如圖1所示，旋轉(zhuǎn)矢量在x軸正方向的投影即為x0和的瞬時(shí)值。其中，暫降電壓視為由暫降前電壓轉(zhuǎn)過小于180°的那個(gè)角度而產(chǎn)生，這個(gè)角度值即為相位跳變的絕對值若暫降電壓由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生（如圖1中則 Δφ 為正值；若由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生（如圖1中，則 Δφ為負(fù)值。

圖1 電壓暫降旋轉(zhuǎn)矢量模型

⑴ 若旋轉(zhuǎn)至的過程中未穿越±180°相位分界線，此時(shí)存在-180°≤θ1-θ0≤180°，則相位跳變?chǔ)う? θ1-θ0（如圖 1所示）。

⑵ 若旋轉(zhuǎn)至的過程中逆時(shí)針穿越±180°相位分界線，此時(shí)存在θ1-θ0＜-180°，相位跳變?chǔ)う?（如圖 2所示）。

⑶若旋轉(zhuǎn)至的過程中順時(shí)針穿越±180°相位分界線，此時(shí)存在 θ1-θ0＞180°，相位跳變?chǔ)う?（圖2中與的位置互換時(shí)）。

圖2 0逆時(shí)針穿越±180°相位分界線

綜上可將相位跳變表示為：

當(dāng)電壓中含有諧波時(shí)，對于式(17)而言，由于反三角函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式中不包含平方項(xiàng)，故諧波不會(huì)對相位跳變的檢測帶來額外的直流分量，通過低通濾波提取Δφ中的直流分量即為相位跳變值。

4 理想暫降波形仿真驗(yàn)證

利用MATLAB仿真工具，編寫M腳本文件生成10kV配電網(wǎng)在額定狀態(tài)下發(fā)生單相電壓暫降的波形。暫降幅值k=0.5，持續(xù)時(shí)間為6個(gè)周波（0.12s），相位跳變 Δφ=30°,暫降的發(fā)生與終止都是瞬時(shí)的。由此得到電壓暫降瞬時(shí)波形如圖3所示。

圖3 電壓暫降瞬時(shí)波形圖

從圖3可以看出，電壓在0.04s發(fā)生了暫降，0.16s時(shí)暫降終止。設(shè)定采樣頻率為6.4kHz（0s處的數(shù)據(jù)為第一個(gè)采樣數(shù)據(jù)，每周期采樣128個(gè)數(shù)據(jù)，下文的檢測也均采用這一采樣頻率），采用3種方法分別檢測10個(gè)周期的電壓瞬時(shí)波形，所得的檢測結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 延時(shí)90°的dq變換法

圖5 求導(dǎo)的dq變換法

圖6 直接導(dǎo)數(shù)算法

結(jié)果表明，三種方法均可獲得精確的暫降特征值。但從檢測的實(shí)時(shí)性上來看，延時(shí)90°的dq變換法存在著1/4周期的延時(shí)，而對于求導(dǎo)的dq變換法和直接導(dǎo)數(shù)算法而言，兩者的檢測僅延時(shí)了一個(gè)采樣周期。其中，直接導(dǎo)數(shù)算法無需坐標(biāo)變換，尤其對于暫降幅值的檢測，運(yùn)算量遠(yuǎn)小于求導(dǎo)的dq變換法，暫不考慮因波形不連續(xù)而造成的暫降起始與終止時(shí)刻的過沖現(xiàn)象，直接導(dǎo)數(shù)算法檢測電壓暫降的整體效果最佳。

5 實(shí)測暫降波形算法應(yīng)用

5.1 伴有諧波的電壓暫降檢測

以某地區(qū)10kV配電網(wǎng)于2014年9月5日發(fā)生的一次伴有諧波干擾的單相電壓暫降為例，采用本文的直接導(dǎo)數(shù)算法并復(fù)合低通濾波對該次電壓暫降進(jìn)行檢測。仿真中LPF選擇3階、截止頻率為100Hz的Butterworth濾波器。

如圖7(a)所示，該系統(tǒng)的某一相在0.12s～0.38s之間發(fā)生了具有約25°相位跳變、48%的暫降，且由于暫降過程中伴有幅值不等的各次諧波和間諧波，暫降波形發(fā)生了一定程度的畸變。從圖7(b)～(e)的檢測結(jié)果可以看出，低通濾波可以較好的屏蔽諧波對暫降檢測的干擾，濾波后的檢測結(jié)果依然滿足精度要求。由于Butterworth濾波器在準(zhǔn)確性和快速性之間存在一定矛盾，在二、三次諧波電壓的含有率很高時(shí)，可以采用小波分析對原始信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理[7]，再利用形態(tài)濾波法或級(jí)聯(lián)型濾波器與本文的直接導(dǎo)數(shù)算法復(fù)合[12-13],從而提高檢測的實(shí)時(shí)性。

圖7 畸變的電壓暫降實(shí)測波形及檢測結(jié)果

5.2 伴有頻率偏移的電壓暫降檢測

目前對于相位跳變產(chǎn)生原因的解釋主要基于電壓暫降分壓模型，由于故障發(fā)生前后系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，母線電壓相量的幅角也會(huì)隨之改變，此時(shí)的相位跳變?chǔ)う湛梢暈閮勺杩菇堑牟钪礫2，14]，因此 Δφ 的范圍介于-90°～+90°之間。然而，相位跳變的范圍并不一定僅局限在±90°內(nèi)[15]，如當(dāng)相位跳變初始值接近-90°且有大容量（有功）負(fù)荷突增時(shí)，系統(tǒng)有功功率的不平衡所引起的頻率負(fù)偏移會(huì)使相位跳變值變得更小。

實(shí)測數(shù)據(jù)表明，負(fù)荷突增后，在系統(tǒng)的頻率進(jìn)入振蕩狀態(tài)之前，通常存在一個(gè)線性的衰減區(qū)間[16]，而在機(jī)組旋轉(zhuǎn)備用容量較小時(shí)，該區(qū)間長度往往會(huì)超過電壓暫降的常見持續(xù)時(shí)間。設(shè)系統(tǒng)頻率平均變化率為kf，伴有頻率偏移的暫降電壓函數(shù)可表示為：

由此可得因頻率偏移而引起的相位偏移量為：

采用MATLAB編寫程序，生成10kV配電網(wǎng)在額定狀態(tài)下發(fā)生伴有頻率偏移的單相電壓暫降波。程序設(shè)定暫降起始時(shí)刻為0.25s，持續(xù)時(shí)間為1s，kf=-0.1Hz/s，φ=0°，Δφ=-80°。由式(19)可知，相位跳變值在0.25s時(shí)刻應(yīng)由0°突變至-80°。由式 (20)可知，從0.25s開始，相位跳變應(yīng)以二次函數(shù)形式單調(diào)減小，至1.25s暫降終止時(shí)，受頻率偏移而引起的相位偏移量 Δωt為-18°，即相位跳變應(yīng)為-98°。

采用三種方法對相位跳變進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果如圖8所示。結(jié)果表明，正如第2.2節(jié)所述，反正切函數(shù)只能計(jì)算±90°范圍內(nèi)的相位跳變，故兩種dq變換法在相位跳變遞減至-90°時(shí)（約1s處）突變至了+90°，之后的檢測結(jié)果也一直比真實(shí)值大180°，可見后期的檢測結(jié)果是錯(cuò)誤的。而直接導(dǎo)數(shù)算法已在原理上將相位跳變的檢測范圍擴(kuò)展至了±180°，可以真實(shí)地反映相位跳變的遞減過程。另外，從程序返回的檢測結(jié)果來看，直接導(dǎo)數(shù)算法在暫降結(jié)束時(shí)檢測到的相位跳變值為-98.0225°，可見其檢測精度很高。因此，直接導(dǎo)數(shù)算法在檢測伴有頻率偏移的電壓暫降時(shí)，效果優(yōu)于其他三種方法。

圖8 伴有頻率偏移的電壓暫降相位跳變檢測結(jié)果比較

6 結(jié)束語

基于正弦量與其微分量的關(guān)系及旋轉(zhuǎn)矢量分析法，設(shè)計(jì)了檢測單相電壓暫降特征值的直接導(dǎo)數(shù)算法。將該法與現(xiàn)有dq變換法對比，表明直接導(dǎo)數(shù)算法在原理上無需坐標(biāo)變換，減少了檢測裝置額外電壓信號(hào)的輸入數(shù)目。在實(shí)用中還可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)諧波總畸變率低于國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的限值時(shí)，復(fù)合低通濾波直接導(dǎo)數(shù)算法的檢測結(jié)果仍可滿足精度要求，此時(shí)檢測的延時(shí)主要由數(shù)字濾波器本身特性造成。另外，對于相位跳變的檢測，由于此法在原理上可以檢測一周期范圍內(nèi)的相位跳變，因此該算法比坐標(biāo)變換法更適用于伴有頻率偏移的電壓暫降的檢測。

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