多設(shè)備租賃條件下基于服務(wù)質(zhì)量評(píng)估的預(yù)防性維修策略優(yōu)化

張?jiān)普?，曾建潮，張曉紅，薛頌東

(1.太原科技大學(xué) 工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所,山西 太原 030024;2.中北大學(xué) 大數(shù)據(jù)與視覺計(jì)算研究所，山西 太原 030051)

0 引言

建筑施工機(jī)械設(shè)備日漸復(fù)雜導(dǎo)致購置費(fèi)用高昂，對(duì)維護(hù)專業(yè)化水平提出了更高的要求，施工單位轉(zhuǎn)而尋求設(shè)備承租，由租賃商負(fù)責(zé)設(shè)備的維修維護(hù)。維修方式分為故障后維修和預(yù)防性維修兩類[1]。故障后維修多為小修，即將故障設(shè)備恢復(fù)到工作狀態(tài)而不改變故障率。若小修時(shí)間超過租賃商與施工單位(客戶)的協(xié)議約定，則應(yīng)按照所超時(shí)間收取租賃商罰金，以彌補(bǔ)客戶停工期間造成的損失。因此，租賃商采用開銷較小的預(yù)防維修降低故障率，以避免故障引起的高昂費(fèi)用。頻繁預(yù)防維修雖可有效減少故障次數(shù)，但會(huì)導(dǎo)致總的維修費(fèi)用過高，故需權(quán)衡故障與維修成本，給出最優(yōu)預(yù)防維修策略。已有的租賃設(shè)備預(yù)防維修優(yōu)化研究多針對(duì)單設(shè)備系統(tǒng)，研究其周期性[2-6]和順序性[1,7]維修策略、完美維修和非完美維修[8-10]效果，其中多以役齡的回退[4-5,10-15]和故障率的回退[1,7,16]進(jìn)行維修效果建模。相應(yīng)地，以租賃商維修開銷最小[1-5,7-11,16]或利潤最大[6,12-14]為目標(biāo)的預(yù)防維修優(yōu)化研究，同樣多針對(duì)單設(shè)備系統(tǒng)展開，較少關(guān)注多設(shè)備維修問題。現(xiàn)有的多設(shè)備租賃維修優(yōu)化研究被視為單設(shè)備租賃維修優(yōu)化的簡單疊加，即將客戶數(shù)量看作與維修服務(wù)質(zhì)量無關(guān)的常量，多設(shè)備租賃維修僅是單設(shè)備租賃維修乘以該常量。多設(shè)備租賃維修需要考慮如何提供滿意的服務(wù)來吸引更多的客戶，從而租出更多設(shè)備，即客戶數(shù)量應(yīng)為受維修服務(wù)影響的變量。對(duì)于最小化開銷的單設(shè)備租賃預(yù)防維修，Yeh等[1]、Pongpech等[2]、Zhou等[5]、李林等[7]、Jaturonnatee等[8]、金琳等[11]分別建立了各自的維修開銷模型，這些模型中總開銷的構(gòu)成涉及預(yù)防性維修費(fèi)用、故障后維修費(fèi)用、故障后維修超時(shí)罰金和故障次數(shù)罰金；Yeh等[3-4,9-10]認(rèn)為，總開銷由預(yù)防性維修費(fèi)用、故障后維修費(fèi)用和維修超時(shí)罰金構(gòu)成，但未考慮故障次數(shù)罰金；Zhou等[16]的維修開銷則考慮了預(yù)防性維修費(fèi)用、故障后維修費(fèi)用和故障次數(shù)罰金，未考慮維修超時(shí)罰金，但考慮了設(shè)備更新費(fèi)用。在最大化租賃利潤的單設(shè)備預(yù)防維修方面，Chang等[6]提出的利潤模型同時(shí)考慮了收入和支出，其中收入包括租金和租賃結(jié)束后設(shè)備的剩余價(jià)值，開銷則包括設(shè)備購置費(fèi)、預(yù)防性維修開銷、故障后維修開銷和維修超時(shí)罰金等；楊愛峰等[12]認(rèn)為，預(yù)防性維修可以回退設(shè)備役齡、提高設(shè)備剩余價(jià)值、增大利潤；Yeh等[13]認(rèn)為一個(gè)租賃周期結(jié)束后，租賃商為了吸引顧客而給予租金折扣，使單位周期租金越來越少，故需優(yōu)化租賃周期數(shù)。可見，現(xiàn)有的租賃設(shè)備預(yù)防維修模型均未考慮預(yù)防維修服務(wù)質(zhì)量和客戶數(shù)量的關(guān)系。實(shí)際上，在租金和設(shè)備性能確定的前提下，通過為客戶提供良好的維修服務(wù)能夠吸引更多客戶，增大其租賃意愿，最大化租賃商利潤。因此，本文假設(shè)租金和設(shè)備性能確定，研究租賃商利潤與客戶數(shù)量的關(guān)系以及相關(guān)的預(yù)防性維修策略。

客戶數(shù)量與客戶滿意度關(guān)系密切，客戶滿意度是優(yōu)化維修策略的重要因素[17]。客戶滿意度認(rèn)知涉及主客觀因素，本質(zhì)上源于預(yù)防維修服務(wù)質(zhì)量。格魯羅斯[18]認(rèn)為，服務(wù)質(zhì)量是客戶感知的質(zhì)量，取決于客戶期望的服務(wù)質(zhì)量和實(shí)際接收的服務(wù)質(zhì)量之間的差距?？蛻魧?shí)際接收的服務(wù)質(zhì)量稱為客觀服務(wù)績效，客戶期望的服務(wù)質(zhì)量稱為主觀期望。當(dāng)客觀服務(wù)績效高于或等于主觀期望時(shí)，客戶感知的服務(wù)質(zhì)量良好；反之，當(dāng)客戶的主觀期望過高時(shí)，即便客觀服務(wù)績效良好，客戶可能仍不滿意服務(wù)質(zhì)量。

鑒于施工單位對(duì)承租設(shè)備的可靠度非常重視，本文從施工機(jī)械的可靠度角度評(píng)價(jià)維修服務(wù)質(zhì)量，借鑒朱海華[19]采用平均無故障時(shí)間表征設(shè)備可靠度的做法，用平均無故障時(shí)間表征維修服務(wù)績效，并將維修服務(wù)質(zhì)量評(píng)估方法和客戶數(shù)量預(yù)測(cè)模型引入Yeh等[1]的預(yù)防性維修策略。在評(píng)估得到量化的服務(wù)質(zhì)量后，預(yù)測(cè)有意愿承租設(shè)備的客戶數(shù)量，進(jìn)而得到租賃商利潤期望。最后，以租賃商利潤期望最大化為目標(biāo)，使用一維取整一維實(shí)數(shù)的微粒群算法優(yōu)化預(yù)防維修策略。

1 系統(tǒng)假設(shè)

假設(shè)租賃設(shè)備的故障過程是非齊次泊松過程，沒有進(jìn)行預(yù)防維護(hù)時(shí)，故障率h(t)隨著時(shí)間單調(diào)遞增且h(0)=0；本文以故障率服從威布爾分布為例[1-2,8]，則故障過程符合非齊次泊松過程；租賃期內(nèi)預(yù)防維修和故障后維修服務(wù)產(chǎn)生的費(fèi)用均由租賃商承擔(dān)；若發(fā)生故障則進(jìn)行小修，費(fèi)用固定，修復(fù)前后的設(shè)備故障率相同；順序預(yù)防維修的修復(fù)效果以故障率回退表示，預(yù)防性維修費(fèi)用與修復(fù)效果成正比。故障次數(shù)和小修超時(shí)均產(chǎn)生罰金。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步有如下假設(shè)：

(1)租賃過程 假設(shè)租賃商有足夠多的設(shè)備可供出租，每臺(tái)設(shè)備在某時(shí)段內(nèi)僅可供一個(gè)客戶租賃，每個(gè)客戶只租賃一次，每次只租賃一臺(tái)設(shè)備，設(shè)備租期相同，則認(rèn)為租賃的設(shè)備數(shù)等于客戶數(shù)。于是，租賃收入可表示為：總租金=單位時(shí)間租金×租期×租賃設(shè)備數(shù)。

(2)客戶期望 為了評(píng)估維修服務(wù)質(zhì)量，引入服務(wù)績效這一客觀評(píng)價(jià)，與客戶的主觀期望之差作為服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)指標(biāo)。不難發(fā)現(xiàn)，若客戶的主觀期望很高，即使租賃商提供了較好的服務(wù)績效，客戶仍然認(rèn)為服務(wù)質(zhì)量差；若客戶的主觀期望較低，租賃商即便提供的服務(wù)績效適中，客戶也會(huì)認(rèn)為服務(wù)質(zhì)量好。假設(shè)客戶期望用隨機(jī)變量Fs表示，其服從正態(tài)分布N(μs,σs)。

(3)客戶租賃意愿 假設(shè)僅考慮維修服務(wù)質(zhì)量對(duì)客戶租賃意愿的影響?？蛻舾兄木S修服務(wù)質(zhì)量高于閾值Sf時(shí)，對(duì)維修服務(wù)表示滿意且愿意租賃設(shè)備，否則不愿意租賃。

(4)客戶租期 假設(shè)所有客戶租期相同，不考慮租期變化的情況。

2 模型建立

2.1 基本維修策略

為了降低故障次數(shù)，租賃商在租賃期內(nèi)進(jìn)行n次預(yù)防維修，第i次預(yù)防維修的時(shí)刻為ti，設(shè)備故障率回退固定量δ≥0，且0

Cpm(δ)=a+bδ,a>0,b>0。

(1)

式中：a為預(yù)防維修固定開銷，bδ為可變開銷。

相比于租賃期，小修和預(yù)防維修所需的時(shí)間很短。因此，研究設(shè)備故障率變化時(shí)，二者所需的時(shí)間可忽略不計(jì)。而小修超過規(guī)定值τ時(shí)，會(huì)對(duì)客戶施工過程產(chǎn)生影響，需對(duì)超時(shí)部分收取罰金。

不進(jìn)行預(yù)防維修時(shí)，小修不改變故障率h(t)，故障過程是非齊次泊松過程，[0,t]內(nèi)的故障次數(shù)

(2)

在第i次預(yù)防維修后，設(shè)備的故障率變?yōu)閔(ti)-iδ≥0,i=1,2,…,n，如圖1[1]所示。

因此，基本維修策略下租賃期內(nèi)的故障次數(shù)[1]

(3)

租賃期內(nèi)的維修開銷包括小修開銷、預(yù)防維修開銷和罰金[1]：

2.2 維修服務(wù)質(zhì)量評(píng)估

前文述及維修服務(wù)質(zhì)量是客觀服務(wù)績效和客戶主觀期望的差值?？陀^服務(wù)績效可用服務(wù)可靠性度量，朱海華[19]采用平均無故障時(shí)間(mean time to failure, MTTF)作為可靠性的衡量指標(biāo)。租期內(nèi)的平均無故障時(shí)間為租期與故障次數(shù)之商：

(5)

(6)

前面已假設(shè)客戶對(duì)維修服務(wù)的主觀期望Fs服從正態(tài)分布N(μs,σs)，其中μs表示客戶群體的期望均值，σs表示標(biāo)準(zhǔn)差，則服務(wù)質(zhì)量可表示為

Qr=Ls-Fs。

(7)

因?yàn)長s是需要優(yōu)化的確定量，F(xiàn)s是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，所以維修服務(wù)質(zhì)量Qr是服從正態(tài)分布N(μr,σr)的隨機(jī)變量，且數(shù)值特征間存在以下關(guān)系：

(8)

2.3 客戶數(shù)量

設(shè)客戶對(duì)維修服務(wù)質(zhì)量的滿意閾值為Sf，客戶不滿意租賃商的維修服務(wù)時(shí)，無意愿租賃設(shè)備。因此有意愿租賃設(shè)備的客戶比例

(9)

設(shè)潛在客戶規(guī)模為α，則有意愿租賃設(shè)備的客戶數(shù)量為

2.4 租賃利潤

本文將Chang提出的單設(shè)備利潤模型及其費(fèi)用組成[11]擴(kuò)展到多設(shè)備，分別計(jì)算多設(shè)備的租金收益、剩余價(jià)值、維修開銷和設(shè)備購置費(fèi)，以便計(jì)算總利潤。

(1)租金 租賃商的租金收益

P=L×W×αr。

(11)

式中：W為單位租金，αr為客戶數(shù)量。

(2)租賃結(jié)束設(shè)備的剩余價(jià)值 將Chang等[11]提出的單設(shè)備剩余價(jià)值乘以客戶數(shù)量αr，得到多設(shè)備的剩余價(jià)值

(12)

(3)維修開銷和設(shè)備購置費(fèi) 將式(4)所示的單設(shè)備維修開銷模型乘以客戶數(shù)量αr即得到多設(shè)備維修開銷：

nCpm(δ)}×αr。

(13)

此外，設(shè)備購置費(fèi)V與租期長短和維修策略均無關(guān)，設(shè)其為常數(shù)。

2.5 利潤模型

租賃商的收入為

租賃商的支出為

(15)

收支相抵，可得租賃商的利潤

(16)

3 模型求解

3.1 確定預(yù)防維修時(shí)刻的確定

將式(3)代入式(16)，得到

E[TP]=E[TR]-E[TC]=Pr×αr

(17)

式中Pr表示租賃商從一個(gè)客戶所得的利潤，

(18)

欲確定利潤最大化對(duì)應(yīng)的最佳預(yù)防維修時(shí)刻ti，需將利潤E[TP]對(duì)ti求導(dǎo)：

(19)

對(duì)Pr求導(dǎo)，得

(20)

將租賃設(shè)備的客戶數(shù)量(式10)對(duì)αr求導(dǎo)得

(21)

(22)

(23)

g2(x)具有性質(zhì)-ɡ2(μr-x)=ɡ2(μr+x);再將式(21)中被積分部分定義為

推薦理由:國內(nèi)第一本育兒早教音頻書，跟兒科專家輕松掌握育兒新知識(shí)、新理念，學(xué)習(xí)國內(nèi)外先進(jìn)育兒經(jīng)驗(yàn)。一本有態(tài)度、有溫度、有深度的育兒書，專家一線經(jīng)驗(yàn)分享，教你輕松搞定寶寶養(yǎng)育中的10大問題，針對(duì)寶寶喂養(yǎng)護(hù)理，疾病預(yù)防，智商、情商及運(yùn)動(dòng)發(fā)育。

(24)

ɡ3(x)具有性質(zhì)-ɡ3(μr-x)=ɡ3(μr+x),且當(dāng)x>μr時(shí)ɡ3(x)>0,當(dāng)x<μr時(shí)ɡ3(x)<0,當(dāng)x=μr時(shí)ɡ3(x)=0。 因此，以μr為中心在區(qū)域(μr-B,μr+B)對(duì)ɡ3(x)進(jìn)行積分，可得

(25)

根據(jù)物理意義，服務(wù)質(zhì)量均值μr不可能逼近+∞，客戶滿意閾值Sf也不可能逼近-∞，因此

|μr-Sf|?|+∞-μr|=+∞;

(26)

(27)

h(ti)-iδ≥0(i=1,…,n)

(28)

時(shí)，越早進(jìn)行預(yù)防維修，越能盡早消除潛在故障，從而提高設(shè)備的可靠性。換言之，優(yōu)質(zhì)的預(yù)防維修服務(wù)能夠吸引更多客戶,從而增加設(shè)備出租數(shù)量。

對(duì)利潤E[TP]求導(dǎo)：

(29)

3.2 預(yù)防維修次數(shù)和修復(fù)程度的優(yōu)化

j=1,2。

(30)

4 案例分析

為驗(yàn)證本文所研究模型的優(yōu)越性，將Yeh的未考慮維修服務(wù)質(zhì)量的研究[1]與本文考慮維修服務(wù)質(zhì)量的研究進(jìn)行比較分析，其中Yeh的模型記作mode1，本文模型記作mode2，在此基礎(chǔ)上將本文模型進(jìn)行工程應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證來表明其實(shí)用性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)內(nèi)mode1和mode2的租金、租期和凈殘值等參數(shù)均相同。

4.1 數(shù)值案例

假設(shè)租賃設(shè)備故障率服從威布爾分布h(t)=λβ(λt)β-1，λ=0.5，β=1.5；小修時(shí)間Tm服從威布爾分布(2,0.5)；潛在客戶總數(shù)α=1 000；客戶的主觀期望Fs服從正態(tài)分布N(μs,σs)，μs=0.83，0.85，0.87，σs=0.2；客戶滿意閾值Sf=0.02；租賃期L=3，單位租金W=700，設(shè)備購置費(fèi)V=1 000，設(shè)備凈殘值Vd=20，設(shè)備壽命td=20，小修平均開銷Cr=300，故障次數(shù)的單位懲罰開銷CΛ=100，小修時(shí)間超過規(guī)定值τ=2后的單位時(shí)間懲罰開銷Cτ=200，預(yù)防維修開銷Cpm(δ)=a+bδ=100+50δ。分別使用mode1和mode2進(jìn)行計(jì)算并比較，結(jié)果如表1所示。

表1 不同主觀期望均值μf下mode1和mode2的預(yù)防維修策略

由表1可見，由于mode1不考慮維修服務(wù)質(zhì)量對(duì)客戶數(shù)量和利潤的影響，改變客戶主觀期望的均值μs時(shí)，預(yù)防維修次數(shù)n、修復(fù)效果δ、預(yù)防維修時(shí)刻ti和服務(wù)績效Ls等均保持不變。當(dāng)主觀期望均值μs從0.83依次增大到0.85和0.87時(shí)，租賃商的服務(wù)績效不變，mode1的服務(wù)質(zhì)量Qr均值μr相應(yīng)地從0.028 1下降到0.008 1和-0.011 9(如圖2)，因此客戶數(shù)量從657依次降到275和55(如圖3)；相應(yīng)地，利潤從973 220依次降到407 360和81 472(如圖4)。

在本文策略mode2中，當(dāng)客戶主觀期望上升時(shí)，租賃商會(huì)相應(yīng)地提高維修服務(wù)績效，保持較高的服務(wù)質(zhì)量，以吸引較多的客戶，從而提升租賃利潤。因此，當(dāng)客戶的主觀期望均值μs從0.83依次提高到0.85和0.87時(shí)，租賃商的服務(wù)績效Ls相應(yīng)增大，取值從0.8917, 0.9123上升為0.9264，以滿足客戶不斷上升的期望，使服務(wù)質(zhì)量均值μr高于mode1的μr,如圖2所示。高水平的服務(wù)質(zhì)量可以吸引更多客戶，因此客戶數(shù)量遠(yuǎn)高于mode1的客戶數(shù)量，如圖3所示?？蛻魯?shù)量多意味著租賃利潤大，故而mode2的利潤亦遠(yuǎn)高于mode1的利潤，如圖4所示。

由以上實(shí)驗(yàn)可知，mode1按照單設(shè)備租賃維護(hù)的方式來管理多設(shè)備，在客戶主觀期望變化時(shí)保持既定的維修績效不變，造成客戶顯著流失。而mode2隨客戶期望的提高相應(yīng)提高服務(wù)績效，使客戶數(shù)量基本保持穩(wěn)定，租賃利潤遠(yuǎn)大于mode1。但是應(yīng)該注意到，由于mode2隨著客戶主觀期望μs的提高而提高預(yù)防維修績效，其單個(gè)設(shè)備的維修開銷上升，如圖5所示，可見在最小化維修開銷方面mode1更優(yōu)。為了提高服務(wù)質(zhì)量以吸引更多客戶，mode2不得不增加預(yù)防維修次數(shù)和維修開銷，故而需要較多的能耗與資源，如何在提高服務(wù)質(zhì)量和節(jié)能減排之間得到平衡，是下一步研究要解決的問題。

4.2 工程實(shí)例

以工程吊車出租應(yīng)用為例，采用文獻(xiàn)[11]給出的工程實(shí)例數(shù)據(jù)，吊車故障率服從威布爾分布，h(t)=λβ(λt)β-1，其中λ=0.025，β=3，租賃期L=300，小修平均開銷Cr=500，故障次數(shù)的單位懲罰開銷CΛ=300，小修時(shí)間超過規(guī)定值τ=2后的單位時(shí)間懲罰開銷Cτ=100。預(yù)防維修開銷Cpm=1 000，為使文獻(xiàn)[11]的參數(shù)定義與本文假設(shè)一致，定義a=1 000，b=0，則Cpm(δ)=a+bδ=1 000+0δ=1 000。為引用服務(wù)質(zhì)量建模，需補(bǔ)充如下數(shù)據(jù)：故障后維修時(shí)間Tm服從威布爾分布(2,0.5)，潛在客戶總數(shù)α=1 000，客戶的主觀期望Fs服從正態(tài)分布N(μs,σs)，μs=0.9，0.92，0.94，σs=0.02，客戶滿意閾值Sf=0.01，單位租金W=1 000，設(shè)備購置費(fèi)V=10 000，設(shè)備凈殘值Vd=200，設(shè)備壽命td=400。

按mode2進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表2所示，表中僅列出第10，20，30，40，50，60，70次的預(yù)防維修時(shí)刻。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，mode2通過提升服務(wù)質(zhì)量增加了客戶數(shù)量，進(jìn)而增大了租賃商的利潤。當(dāng)主觀期望均值μs從0.9依次提高到0.92和0.94時(shí)，租賃商的服務(wù)績效Ls相應(yīng)地從0.951提高到0.963 4和0.972 7，以滿足客戶不斷提高的期望，前后的服務(wù)質(zhì)量均值μr分別為0.051，0.043 4和0.032 7。服務(wù)質(zhì)量較高可以吸引較多的客戶，因此平均客戶數(shù)量較大，分別為980，952和872，利潤則保持在較好的水平，分別為2.378×108，2.209 2×108和1.879 7×108。這些結(jié)果說明，本文策略mode2具有實(shí)用性。

表2 不同主觀期望均值μf下mode2的預(yù)防維修策略

5 結(jié)束語

在建筑施工機(jī)械設(shè)備的租賃過程中，租賃商所提供的維修服務(wù)的好壞決定了客戶是否愿意租賃設(shè)備，進(jìn)而決定了租賃商的收入和利潤。因此，本文在考慮客戶期望和維修績效的基礎(chǔ)上，提出維修服務(wù)質(zhì)量評(píng)估方法和客戶數(shù)量預(yù)測(cè)模型，將其引入順序預(yù)防維修策略并進(jìn)行優(yōu)化，旨在最大化租賃商的利潤。使用MATLAB軟件對(duì)一維取整一維實(shí)數(shù)的微粒群算法進(jìn)行求解，數(shù)值仿真結(jié)果表明,本文策略較現(xiàn)有策略能夠顯著提高租賃商的利潤。

為了提高維修服務(wù)質(zhì)量以吸引更多客戶，增加了單設(shè)備預(yù)防維修次數(shù)和維修開銷，從而增大了能耗和資源需求，如何在提高維修服務(wù)質(zhì)量的同時(shí)兼顧節(jié)能減排，是下一步要研究的問題。此外，由于現(xiàn)實(shí)中客戶租期長短不一，而本文假設(shè)客戶租期相同，故租期不同時(shí)的租賃利潤最大化問題也是下一步要研究的主要問題之一。同時(shí)，本文僅考慮維修服務(wù)質(zhì)量對(duì)客戶數(shù)量的影響，未來研究還需要綜合考慮租賃價(jià)格、設(shè)備性能、品牌口碑等因素對(duì)客戶數(shù)量的影響。

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