基于總體最小二乘的雙曲線法在沉降預(yù)測中的應(yīng)用研究

摘 要：在沉降預(yù)測中，雙曲線法是最常用的擬合方法之一，本文在常規(guī)最小二乘的擬合方法基礎(chǔ)上，同時考慮自變量與因變量的誤差，利用總體最小二乘的奇異值分解法對實(shí)測沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，表明：基于總體最小二乘的雙曲線法擬合效果更理想。

關(guān)鍵詞：沉降預(yù)測；雙曲線法；最小二乘；總體最小二乘

無砟軌道具有建成后調(diào)整量小的特點(diǎn)，這就要求線下工程沉降穩(wěn)定以后才能開始無砟軌道的鋪設(shè)工作。因此在高速鐵路建設(shè)中必須對線下構(gòu)筑物進(jìn)行沉降變形觀測。通過沉降變形觀測獲得沉降數(shù)據(jù)，并預(yù)測其工后沉降，在滿足設(shè)計要求后才能開始無砟軌道的鋪設(shè)工作。

目前關(guān)于沉降預(yù)測的方法很多，最常用的有指數(shù)曲線法[1]、雙曲線法、Asaoka法等；其中，雙曲線法在對軟粘土壓縮[2]、大變形固結(jié)與沉降分析[3]以及豎井地基沉降分析[4]中得到了很好的應(yīng)用。有不少學(xué)者對傳統(tǒng)雙曲線法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一些新的雙曲線形式，如泊松比雙曲線法（宰金眠等，2001）、修正雙曲線法（馮文凱等，2001）、復(fù)合雙曲線法（邵光輝，2001）等。上述的改進(jìn)雙曲線模型雖然能夠在一定的程度上提高沉降預(yù)測的精度，但是各個模型的適用性都比較模糊，且都沒有考慮雙曲線模型本身的結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)模型在求解參數(shù)時都采用最小二乘法，沒有顧及系數(shù)矩陣的誤差，只考慮如何處理觀測向量中的誤差，然而在測量過程中，受到觀測條件、人的因素等多方面的影響，觀測向量和系數(shù)矩陣中都可能存在誤差，如何同時處理觀測向量和系數(shù)矩陣存在的誤差，則需要采用總體最小二乘。

1 雙曲線法

雙曲線法是一種純經(jīng)驗(yàn)的曲線配合方法，是根據(jù)實(shí)測沉降曲線的形態(tài)近似的一條曲線，并沒有嚴(yán)格的理論依據(jù)。該預(yù)測方法適合對恒載期的沉降進(jìn)行預(yù)測。采用雙曲線來配合后，通過曲線外延來推得未知時刻的沉降變形量，其基本公式為：

以上是雙曲線法擬合的通常做法，這種做法只考慮了觀測值y的誤差，假定觀測值x無誤差，而實(shí)際情況中，由于觀測條件等因素的影響，觀測值x即（t-t0）不可避免的存在誤差。

2 總體最小二乘

為了同時考慮自變量、因變量都存在誤差的情況，1901年P(guān)earson提出了總體最小二乘的基本思想，其函數(shù)模型為：

3 實(shí)例分析

以上分別介紹了基于最小二乘和總體最小二乘的雙曲線擬合方法，現(xiàn)利用某項(xiàng)目沉降實(shí)測數(shù)據(jù)分別采用兩種方法進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如下圖：

當(dāng)前擬合數(shù)據(jù)截止日期為2016年11月27日，現(xiàn)利用兩種擬合方法預(yù)測成果分別與2016年12月11日至2017年2月5日的5期實(shí)測成果對比，結(jié)果如下表：

從上表可看出：基于總體最小二乘的雙曲線法預(yù)測的沉降量比基于最小二乘預(yù)測的結(jié)果更接近實(shí)測沉降量。

4 結(jié)語

基于最小二乘的常規(guī)雙曲線法在擬合時，只考慮因變量誤差，未考慮自變量的誤差，擬合結(jié)果只能保證一個方向與實(shí)際模型最為接近；而基于總體最小二乘的雙曲線法，同時顧及了自變量與因變量的誤差，使擬合結(jié)果總體效果最佳。

參考文獻(xiàn)

[1] 王偉，宰金珉，盧廷浩.軟土工后沉降雙曲線模型與指數(shù)曲線模型分析[J].江蘇大學(xué)學(xué)報·自然科學(xué)版，2008，29（2）：173-176.

[2] 魏汝龍.從實(shí)測沉降過程推算固結(jié)系數(shù)[J].巖土工程學(xué)報，1993，15（2）：12—19.

[3] Tan T S，Inoue T，Lee S L.Hyperbolic Method for Consolidation Analysis[J].Geotechnical Engineering，1991，117（11）：1723—1737

[4] Tan S A.Validation of Hyperbolic Method for Settlement in Clays with Vertical Drains[J].Soils and Foundations，1995，35（1）：101一113.

[5]魯鐵定.總體最小二乘平差理論及其在測繪數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[D] .武漢： 武漢大學(xué)，2010.

作者簡介

汪晶（1987—），男，武漢大學(xué)大測繪工程專業(yè)，工程師，研究方向：精密工程測量與變形監(jiān)測。