基于RBF網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)學(xué)習(xí)法的機械手終端滑?？刂?/h1>

2018-06-29 02:51:38劉昕明呂東東

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關(guān)鍵詞：模型

劉昕明，呂東東

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電氣工程與控制工程學(xué)院，葫蘆島125105）

滑模變結(jié)構(gòu)控制以其對系統(tǒng)參數(shù)變化和外部擾動的魯棒性而著稱，線性滑?？刂疲↙SMC）是系統(tǒng)到達滑模面后，跟蹤誤差漸進收斂至零[1]，并且可以通過選擇滑動模態(tài)參數(shù)來調(diào)整漸進收斂的速度，但是無論如何調(diào)整，狀態(tài)跟蹤誤差都不能在有限時間內(nèi)收斂至零。為了解決無限時間收斂問題，采用終端滑模控制，通過在線性滑模面中引入非線性函數(shù)項和適當設(shè)計控制器，使得跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，并且相對于線性滑?？刂启敯粜愿鼜姟Ｓ捎赥SMC自身也存在缺點會出現(xiàn)奇異問題[2-3]，為了避免奇異問題的出現(xiàn)，對終端滑模面進行了改進[4]。由于要設(shè)計的控制器依賴于機械手的精確數(shù)學(xué)模型，而機械手的某些項是不能確定的，可以采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去逼近不確定項。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種非線性模型，具有收斂速度快、全局逼近能力強等優(yōu)點，對于復(fù)雜不確定問題具有自適應(yīng)能力和自學(xué)習(xí)能力，可以應(yīng)用于非線性和不確定系統(tǒng)的控制器設(shè)計中[5]。為了簡化自適應(yīng)算法，增強實時控制的要求，用單個參數(shù)取代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。把RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和終端滑模算法結(jié)合起來控制兩關(guān)節(jié)的機械手，并用Lyapunov定理證明穩(wěn)定性，然后用Matlab/Simulink仿真實驗。

1 機械手動力學(xué)模型

一個串行N關(guān)節(jié)機器人機械手的動力學(xué)模型可以用拉格朗日形式表示為[6]

式中：q∈Rn是關(guān)節(jié)角位移量；∈Rn是關(guān)節(jié)速度矢量；τ∈Rn是施加的扭矩輸入向量；M（q）∈Rn×n是非奇異的正定慣性力矩陣；C（q，）∈Rn是離心力和哥氏力項；G（q）∈Rn是重力力矩矢量；B=diag｛B1，B2，…，Bn｝是代表機器手的粘性摩擦系數(shù)的對角矩陣。

1.1 機械手的混合動力學(xué)模型

為了應(yīng)用適當?shù)目刂扑惴ǎ瑱C器手動力學(xué)模型應(yīng)該轉(zhuǎn)換為每個關(guān)節(jié)點相對應(yīng)執(zhí)行器的等效動力學(xué)模型[7-8]。機械臂的每個關(guān)節(jié)是由直流伺服電機驅(qū)動的，在電機軸上機械手驅(qū)動器動力學(xué)數(shù)學(xué)模型可以描述為

式中：τm∈Rn是電機提供的轉(zhuǎn)矩矢量；qm∈Rn是電機軸的角位移；τ1∈Rn表示在電機軸上的負載轉(zhuǎn)矩矢量；Jm=diag｛Jm1，Jm2，…，Jmn｝是電機軸上的轉(zhuǎn)動慣量對角矩陣；Bm=diag｛Bm1，Bm2，…，Bmn｝是電機軸的粘性摩擦系數(shù)的對角矩陣。

由于每個關(guān)節(jié)是由一個直流伺服電機通過諧波傳動系統(tǒng)驅(qū)動，我們可以得到式中：N=diag｛n1，n2，…，nn｝是一個齒輪比的對角矩陣。

直流電動機的轉(zhuǎn)矩是與電樞電流成比例的。所以，我們可以得到：

式中：Kτ=diag｛Kτ1，Kτ2，…，Kτn｝是一個轉(zhuǎn)矩常數(shù)的對角矩陣；u∈Rn是電動機電樞電流矢量。

式（1）～式（5）機械手的動態(tài)模型可以寫成：

式中：

一般情況下，機械手系統(tǒng)的動力學(xué)具有以下三個特性：

特性1 慣性矩陣MH（q）是對稱正定矩陣，存在正數(shù) m1，m2滿足

特性 2 矩陣 CH（q，）和慣性矩陣 MH（q）的導(dǎo) 數(shù)滿足屬于正實數(shù)）；

1.2 控制目標

機械手的控制目標是設(shè)計一個穩(wěn)定的新型控制器，使換到機械手輸出軌跡q快速準確地跟蹤給定期望軌跡qd，即保證跟蹤誤差e在有限時間內(nèi)收斂到零。qd是給定的二階連續(xù)可導(dǎo)的期望軌跡，定義跟蹤誤差e=qd-q。

2 改進終端滑模面的設(shè)計

式中：；p=p1/p2，p1和 p2是正奇數(shù)滿足p2＞p1，Λ是正定對角參數(shù)矩陣。

在式（7）中S的第i個元素可以寫成如下形式：

當終端滑模中Si=0，表明：

從式（9）中知，ei=0 是系統(tǒng)（7）的終端吸引子，然后對跟蹤誤差ei到達零的時間tei為

是可導(dǎo)的，我們得到由于含有負分數(shù)冪 p-1，如果0，ei=0時，可能會引起奇異問題。

在終端滑模面上時（S=0），根據(jù)式（9）則有：

如果 p＞1/2，中就會沒有負分數(shù)冪。 但是，在Si≠0和ei=0的情況下仍然存在奇異性問題?？梢圆捎瞄g接的方法避免奇異性問題[10]，通過切換終端滑模面和線性滑模面來避免奇異問題，但是由于簡單的轉(zhuǎn)換并不能完全消除奇異，提出了改進的終端滑模面。 我們首先改進為

式中

式中：是一個正常數(shù)；Λii是一個正常數(shù)。

改進的滑模面如圖1所示，表示為

式中：λ（e）= [λ1（e1），λ2（e2），…，λn（en） ]T。

圖1 改進的終端滑模面Fig.1 Improved terminal sliding surface

通過選擇p＞1/2，終端滑?？刂疲⊿i=0）的奇異問題是可以避免的。在Si≠0情況下，當ei進入到|ei|≤esi區(qū)域時，從終端滑動面切換到一般滑動面上。因此，在Si≠0且ei=0的情況下，奇異性問題也可以被克服。

3 新型控制器的設(shè)計

3.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的TSMC控制器設(shè)計

由和式（8），閉環(huán)動力學(xué)公式可以寫成：

式中機器手非線性函數(shù)為

如果機器手的非線性函數(shù)f是已知的，那么控制器可以定義為

式中：K是一個正定對角常數(shù)矩陣；r=r1/r2，其中r1和r2是正奇數(shù)滿足

在式 （17）中控制輸入u包含一個非線性PD項，就是把式（17）代入式（8）中，我們可以得到如下的閉環(huán)系統(tǒng)：

用Lyapunov理論證明閉環(huán)系統(tǒng)（18）的穩(wěn)定性。問題是如果f的參數(shù)和結(jié)構(gòu)是未知的，那么基于模型的控制器是不可用的。因此，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù) f。

假設(shè)存在一個不變的理想權(quán)重矩陣w，由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù)的性質(zhì)可知f可以寫成：

式中：為輸入向量；ε是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模誤差；h（x）為常用的高斯函數(shù)。

上述控制器中RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù)f中的未知參數(shù)，實現(xiàn)了無需模型信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制，但是該算法不利于實時控制。那么，我們對該算法進行適當改進，采用單個參數(shù)φ，不需要基于數(shù)學(xué)模型信息，可代替RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)值W，以此來實現(xiàn)基于單參數(shù)估計的自適應(yīng)控制[11]。

取為第 i個關(guān)節(jié)點的估計權(quán)值，并且令=wi-，取單個參數(shù) φ，令，φ 為正常數(shù)，為 φ 的估計值，

定義根據(jù)GL算子[12]，我們定義：

式中的?表示矩陣相乘。

把式（19）可以改寫成

那么控制輸入u就設(shè)計為

把改進的控制輸入（21）代入式（6）中得：

3.2 新型控制器穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)：

式中，γ＞0。

于是：

由于：

又由于：

式中：n為機械手關(guān)節(jié)的個數(shù)。

于是由式（24）～式（28）計算，可以推導(dǎo)出式（29）為

設(shè)計自適應(yīng)律為

則：

為了保證（t）≤0，只需要保證≤STKSr。經(jīng)過理論推導(dǎo)可以證明控制器的穩(wěn)定性。

4 實驗結(jié)果對比

為了說明驗證所設(shè)計控制算法的優(yōu)點，把RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的終端滑?？刂坪蚏BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與線性滑模結(jié)合的算法進行比較，然后通過Matlab/Simulink進行盾構(gòu)機換刀機械手模型建模仿并進行仿真驗證，取機械手的模型參數(shù)：

為了更好地顯示動態(tài)的跟蹤效果，取p=［p1，p2，p3，p4，p5］=［2.9，0.76，0.87，3.04，0.87］。 兩個關(guān)節(jié)輸入的期望軌跡分別是 qd1=0.05sint，qd2=0.07sint。

4.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的LSMC控制器

LSMC控制采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這種控制方案應(yīng)用很廣泛，控制律為

式中：

RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重更新律為控制參數(shù)為 K=diag［30，30］，Λ＝diag［5，5］，Γ＝20，σ＝0.006。 選取模型的初始狀態(tài)值為［0.09，0，-0.09，0］，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

4.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的TSMC控制器

TSMC控制采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)，控制參數(shù)為 K=diag［50，50］，Λ=diag［20，20］，σ＝0.003，diag ［1，1］，選取模型的初始狀態(tài)值為［0.5，0，0.5，0］，仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖2 RBFNN的LSMC機械手關(guān)節(jié)位置跟蹤Fig.2 RBFNN LSMC manipulator joint position tracking

圖3 RBFNN的LSMC機械手關(guān)節(jié)速度跟蹤Fig.3 RBFNN LSMC manipulator joint velocity tracking

圖4 RBFNN的LSMC機械手關(guān)節(jié)‖f（x）‖與逼近對比曲線Fig.4 RBFNN LSMC manipulator joint and approximation comparison curve

圖5 RBFNN最小參數(shù)TSMC機械手關(guān)節(jié)位置跟蹤Fig.5 RBFNN minimum parameter TSMC manipulator joint position tracking

圖6 RBFNN最小參數(shù)TSMC機械手關(guān)節(jié)速度跟蹤Fig.6RBFNN minimum parameter TSMC manipulator joint velocity tracking

圖7 RBFNN最小參數(shù)TSMC機械手關(guān)節(jié)‖f（x）‖與逼近對比曲線Fig.7 RBFNN minimum parameter TSMC manipulator joint and approximation comparison curve

兩種控制器分別對兩關(guān)節(jié)機械手控制的仿真結(jié)果從圖中可以很明顯地看出，從圖2和圖5對比和圖3和圖6對比得到，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的TSMC控制器的機械手各關(guān)節(jié)的位置跟蹤和速度跟蹤性能方面均不到1 s就跟蹤上期望值了，而采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的LSMC控制器的機械手各關(guān)節(jié)的跟蹤性能都遠遠超過1 s。在逼近性能方面，比較圖4和圖7，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的LSMC控制器的機械手也沒有采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)的TSMC控制器的機械手的逼近速度快?？梢宰C明本文所設(shè)計的控制器在各關(guān)節(jié)位置跟蹤、速度跟蹤及其逼近未知參數(shù)性能方面均優(yōu)于前者。

5 結(jié)語

本文提出的基于RBF網(wǎng)絡(luò)最小參數(shù)學(xué)習(xí)法的機械手終端滑?？刂品椒ǎ灰蕾囉跈C械手的精確數(shù)學(xué)模型，當機械手的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能確定或者未知時，仍然能保證機械手系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能。采用改進的終端滑模面，既避免了一般線性滑模面，不能再有限時間收斂的問題，又避免了終端滑模的奇異問題；用一個單一的參數(shù)來代替神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，簡化了自適應(yīng)算法，設(shè)計了性能優(yōu)化的控制器；用Lyapunov理論證明了該算法的穩(wěn)定性，并且用仿真的方法驗證了算法的正確性、有效性和優(yōu)良性。在本文的基礎(chǔ)上，我們今后在以下方面進一步研究：我們會進一步的優(yōu)化算法，并應(yīng)用到機械手實體上，不斷地提高該算法控制機械手實體的精度、速度和準確性。

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