CT系統(tǒng)參數(shù)標定及成像研究

李佳鑫 溫佳穎 馮萬里

摘要：本文通過分析CT系統(tǒng)工作原理及附件中各個參數(shù)的研究，在合理假設條件下，對數(shù)據(jù)進行處理，運用數(shù)學軟件Matlab中的radon和iradon等函數(shù)建立數(shù)學模型，在此過程中，我們運用了中心切片定理、傅里葉函數(shù)、直接濾波投影法、濾波反投影圖像重建等方法對CT系統(tǒng)參數(shù)標定及成像進行分析和求解。

針對問題一，有題目要求和研究分析可知，此題我們要根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)重建原始圖像，通過直接濾波投影法以及對特殊位置的分析進行相應的數(shù)學計算和位置匹配，可以得到旋轉(zhuǎn)中心的位置。同樣，觀察水平或垂直特殊位置的數(shù)據(jù)可以得到180次旋轉(zhuǎn)的方向。

針對問題二，此介質(zhì)形狀是未知的，根據(jù)濾波反射投影法，中心切片定理等使用MATLAB中的iradon函數(shù)對附件3進行圖像重建，得到灰度圖像，可以確定該介質(zhì)的幾何形狀，再經(jīng)旋轉(zhuǎn)計算，即可得到未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置圖像。轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)后的圖像矩陣，即可得到圖3對應位置的吸收率。

關鍵詞：直接濾波投影法；CT圖像重建法；radon函數(shù)

一、問題重述

（1）根據(jù)掃描系統(tǒng)所得數(shù)值，建立模型，以得到CT系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心，探測器單元之間的距離和CT系統(tǒng)使用的X射線的180個方向，對參數(shù)標定。

（2）利用上述CT系統(tǒng)得到的某未知介質(zhì)的接收信息。利用（1）中得到的標定參數(shù)，確定未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信息。并且，具體寫出圖3所給的10個位置處的吸收率。

二、模型假設

假設1 假設忽略像素、載物臺偏角、觀測器俯仰角和數(shù)據(jù)不確定元素對測量誤差的影響。

假設2考慮到此處光子的波動不明顯，忽略光的衍射現(xiàn)象，以光的直線傳播進行處理。

三、問題分析

題目要求根據(jù)所提供的各點對射線的吸收率分析，確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置、探測器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個方向。附件一對應圖像2，附件二對應模板接收的信息。此時只需利用附件二數(shù)據(jù)，建立坐標系，通過直接濾波投影法，將這512個等距單元的探測器在180個方向的所得數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖像。再分析圖像即可解答問題一。

四、模型的建立與求解

4.1問題一的模型建立與求解

4.1.1模型準備

（1）符號說明

X1 橢圓長軸與x射線方向平行的旋轉(zhuǎn)次數(shù) X2 橢圓長軸與x射線方向垂直的旋轉(zhuǎn)次數(shù)

Ea模板示意圖中橢圓的長軸長度 H1 附件二中第X2列非零值的個數(shù) θ X射線每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)

4.1.2模型的建立

（1）旋轉(zhuǎn)中心確定

首先我們利用直接濾波投影法得到模板圖像，確定了圖像的平面直角坐標系，以橢圓中心為坐標原點

附件二數(shù)據(jù)導入MATLAB中，用imagesc函數(shù)畫出以旋轉(zhuǎn)次數(shù)為橫坐標，以衰減量為縱坐標的圖像如圖5-3，觀察二者的關系。經(jīng)過max函數(shù)等，很容易得出，旋轉(zhuǎn)過程中有兩個特殊位置——X1、X2。

橫坐標為X1的一列顯然對應的是沿x軸正方向入射的射線，橫坐標為x2的一列顯然對應的是沿y軸正方向入射的射線。

根據(jù)這兩個特殊位置，可以算出旋轉(zhuǎn)中心。在x1對應的線上，可從圖中知中心在第25 單元上，與5-2對應的位置既是CT系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心，在5-6中坐標為（-9.2734，5.5363）。

（2）探測器單元之間的距離

探測器單元之間的距離可以根據(jù)Ea與H1的比值得出。已知小球直徑為8mm，對應到圖5-3中是29個單元，橢圓長軸80mm對應到圖5-3是289個單元。由此可得探測 單元之間的距離為 0.2768 mm。

4.2問題二的模型建立與求解

4.2.1模型準備

（1）中心切片定理

密度函數(shù)f（x，y）在某一方向上的投影函數(shù)gθ（R）的一維傅里葉變換函數(shù)gθ（ρ）是原密度函數(shù)f（x，y）的二維傅里葉變換函數(shù)F（ρ，θ）在（ρ，θ）平面上沿同一方向且過原點的直線上的值。

我們在不同的角度下取得足夠多的投影函數(shù)數(shù)據(jù)，并作他們的傅里葉變換，變換后的數(shù)據(jù)就將充滿（u，v）平面，將其做第一次傅里葉反變換，就得到了原始衰減函數(shù)f（x，y）.

（2）符號說明

P 原始數(shù)據(jù)矩陣（附件3） I 對P圖像重建后的矩陣

J 將I縮放為256*256大小的矩陣 A 10處位置的坐標矩陣

4.2.2模型建立與求解

將附件3導入MATLAB中，得到原始數(shù)據(jù)矩陣P，使用iradon函數(shù)對P進行圖像重建，同時將圖像旋轉(zhuǎn)θ，得到對P圖像重建后的矩陣I。將I縮放為256*256大小的矩陣J，用imagesc函數(shù)畫出J的圖像，該圖像即為介質(zhì)在方形托盤中的位置。將附件4導入MATLAB中，得到10處位置的坐標矩陣A，將A的每個元素乘以256/100，得到對應J中的坐標矩陣，找出該矩陣中的坐標在矩陣J中對應的值，就得到了10處位置的吸收率。

五、模型的優(yōu)缺點分析

優(yōu)點：模型的計算大量采用Matlab、Excel等數(shù)學與統(tǒng)計軟件，可信度較高；

缺點：由于像素造成的機械誤差較大，像素精度不高。

參考文獻：

[1]姜啟源.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2]韓中庚.數(shù)學建模方法及其應用[M].北京：高等教育出版社，2009

[3]濾波反投影法重建CT圖像實驗指導書

[4]濾波反投影圖像重建算法研究 張順利，李衛(wèi)斌，唐高峰

[5]基于投影原始數(shù)據(jù)的CT旋轉(zhuǎn)中心精確確定方法 孟凡勇，李忠傳，楊民等