考慮非最小相位特性的高超聲速飛行器軌跡跟蹤控制

晁 濤, 王雨瀟, 王松艷, 楊 明

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

與傳統(tǒng)飛行器相比,高超聲速飛行器飛行速度高,突防能力強(qiáng),受到各軍事大國的普遍關(guān)注[1]。由于高超聲速飛行器極大的飛行速度和復(fù)雜的飛行環(huán)境,導(dǎo)致其動力學(xué)具有強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性、強(qiáng)不確定性等特點(diǎn)。此外由于吸氣式高超聲速飛行器的“飛推一體化”設(shè)計構(gòu)型,在縱向通道內(nèi)飛行器呈現(xiàn)非最小相位特性[2]。這些特點(diǎn)給它的控制律設(shè)計帶來很大困難。

目前有關(guān)吸氣式高超聲速飛行器的六自由度建模和控制研究成果極少,絕大多數(shù)的控制方法研究都是針對飛行器的縱向三自由度模型。一些如線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)等簡單的線性控制方法建立在線性化的飛行器模型基礎(chǔ)上[3-5]。動態(tài)逆和反步法等控制方法直接應(yīng)用在非線性模型上[6-10],但依賴于精確數(shù)學(xué)模型的方法會存在系統(tǒng)魯棒性問題,反步設(shè)計會產(chǎn)生“微分爆炸”問題[7]?？紤]到反步控制存在“復(fù)雜度爆炸”問題,文獻(xiàn)[7-8]將動態(tài)面控制引入到反步控制中,文獻(xiàn)[8]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)估計系統(tǒng)的不確定性,最后證明閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差是一致有界的。文獻(xiàn)[9]利用線性變參數(shù)模型(linear parameter-varying,LPV),設(shè)計自適應(yīng)控制律實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤。

而對于非最小相位系統(tǒng),系統(tǒng)的相對階數(shù)小于系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù),傳統(tǒng)的反步法設(shè)計會使系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定內(nèi)動態(tài),無法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定。輸出重定義方法通過定義一個新的系統(tǒng)輸出使其變?yōu)橐粋€最小相位系統(tǒng),從而使系統(tǒng)可以用常規(guī)控制方法解決[11]。但輸出重定義方法存在其特有的應(yīng)用難題,一方面是目前不存在通用的方法來尋找這樣一個新輸出;另一方面輸出重定義方法也會給系統(tǒng)帶來新輸入不確定性。

對于飛行器系統(tǒng),其非最小相位特性給控制系統(tǒng)設(shè)計帶來了不小的難題。文獻(xiàn)[12]分析了欠驅(qū)動再入飛行器的非最小相位特性,進(jìn)一步地,針對此飛行器姿控系統(tǒng)的非最小相位問題,將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一種正則形式,給出系統(tǒng)非最小相位特性的定量判據(jù)。文獻(xiàn)[13]在此基礎(chǔ)上,加入了一種二階滑?？刂品椒?成功地鎮(zhèn)定了系統(tǒng)的不穩(wěn)定內(nèi)動態(tài)。這也給一般的非最小相位問題提供了解決思路。

對于尾控式飛行器,升降舵的改變會同時對飛行器的升力和俯仰力矩產(chǎn)生影響。在反步法設(shè)計過程中,如果不忽略尾翼對升力的影響,系統(tǒng)存在二階的不穩(wěn)定內(nèi)動態(tài),系統(tǒng)的縱向通道存在非最小相位特性,這給控制律設(shè)計帶來了麻煩。在一些方法中,飛行器被人為加入鴨翼操縱面,利用鴨翼來抵消尾翼對升力產(chǎn)生的影響,系統(tǒng)因此轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚∠辔幌到y(tǒng)[14-15],從而完成控制器設(shè)計。然而,鴨翼已被證明會產(chǎn)生更嚴(yán)重的氣動熱問題,無法直接加入到飛行器的執(zhí)行機(jī)構(gòu)中。一些文獻(xiàn)在沒有鴨翼的情況下針對非最小相位動力學(xué)設(shè)計控制律[16-18]。文獻(xiàn)[16]在反步法的設(shè)計中忽略了尾翼對系統(tǒng)升力的影響,從而使系統(tǒng)相對階與系統(tǒng)階數(shù)相等,消除了內(nèi)動態(tài),最后通過積分反饋來消除由于忽略尾翼影響造成的跟蹤靜差。文獻(xiàn)[17]將高增益反饋與飽和低增益反饋相結(jié)合,迫使系統(tǒng)表現(xiàn)出二時間尺度特性。然后利用非線性系統(tǒng)的小增益定理,證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。文獻(xiàn)[18]通過輸出重定義方法來解決非最小相位問題。選取俯仰角偏差作為新的輸出,此時內(nèi)動態(tài)彈道傾角為穩(wěn)定的,系統(tǒng)是最小相位的。而這同時為系統(tǒng)帶來了輸入不確定性,文中加入積分控制來保證系統(tǒng)無靜差。通過利用非線性系統(tǒng)的小增益定理和自適應(yīng)控制,使得閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差是漸近穩(wěn)定的。

針對帶有非最小相位特性的吸氣式高超聲速飛行器控制問題,借鑒飛行器姿控系統(tǒng)非最小相位問題中所應(yīng)用的轉(zhuǎn)換正則形式方法,設(shè)計了一種飛行器縱向輸出跟蹤控制方法。對于不具有非最小相位特性的速度子系統(tǒng),運(yùn)用動態(tài)逆控制技術(shù)設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器;針對具有非最小相位特性的高度子系統(tǒng),首先選擇合理的局部微分同胚,將縱向俯仰通道模型轉(zhuǎn)換為正則形式,得到內(nèi)動態(tài)。通過對內(nèi)動態(tài)進(jìn)行穩(wěn)定性分析并給出系統(tǒng)非最小相位特性的判據(jù)。最后基于Lyapunov方程和最小范數(shù)控制策略設(shè)計了縱向通道控制器,控制器有效地抑制了系統(tǒng)內(nèi)動態(tài),達(dá)到了良好的控制效果。

1 模型描述

一般的吸氣式高超聲速飛行器縱向模型描述[19]為

(1)

系統(tǒng)擁有4個狀態(tài)[V,γ,θ,Q]T和2個控制量[Φ,δe]T。模型參數(shù)及適用范圍來源于文獻(xiàn)[20],推力T、阻力D、升力L、俯仰力矩M擬合如式(2)所示,且各變量的含義及模型適用范圍如表1所示。

(2)

2 非最小相位特性判定

2.1 系統(tǒng)非最小相位特性分析

針對高度子系統(tǒng)

(3)

(4)

(5)

對于高度子系統(tǒng),系統(tǒng)輸出為彈道傾角γ,控制量為升降舵δe。從式(3)不難得到,系統(tǒng)相對階為1,小于系統(tǒng)階數(shù)3,所以系統(tǒng)存在二階內(nèi)動態(tài)。

通過對系統(tǒng)的零動態(tài)仿真分析,二階零動態(tài)均呈發(fā)散趨勢,在不穩(wěn)定零動態(tài)的影響下,系統(tǒng)的外部輸出也會迅速超出可行范圍,系統(tǒng)具有非最小相位特性。

2.2 系統(tǒng)非最小相位特性判據(jù)

針對高度子系統(tǒng),存在一個局部微分同胚，即

Φ(x):x→(ζ,η)

(6)

將式(3)～式(5)轉(zhuǎn)化為正則形式。轉(zhuǎn)化后的正則形式可表示為

(7)

其中,外動態(tài)

(8)

內(nèi)動態(tài)

(9)

定理1若飛行器系統(tǒng)(1)參數(shù)滿足條件

(10)

則此飛行器的高度子系統(tǒng)具有非最小相位特性。

(11)

(12)

式中

(13)

(14)

對內(nèi)動態(tài)η2求取二階導(dǎo)數(shù),得到

(15)

若系統(tǒng)滿足式(10),則

(16)

則方程(15)存在正根,內(nèi)動態(tài)η不穩(wěn)定,系統(tǒng)具有非最小相位特性。

證畢

上述定理為飛行器模型的非最小相位特性分析提供了關(guān)于氣動參數(shù)的定量判據(jù)。

從實(shí)際飛行器氣動特性的物理意義上來講,氣動舵在產(chǎn)生升力的同時,會產(chǎn)生俯仰力矩,從而會改變飛行器的攻角,這部分攻角所產(chǎn)生的升力與氣動舵產(chǎn)生的升力方向相反。而式(10)成立,代表后者由于攻角產(chǎn)生的升力要大于氣動舵本身產(chǎn)生的升力。在一般的飛行器中,縱向通道采用尾翼控制,高度子系統(tǒng)基本都會具有非最小相位特性。

3 控制器設(shè)計

3.1 速度子系統(tǒng)

對于速度子系統(tǒng)

(17)

(18)

式中

(21)

設(shè)計動態(tài)逆控制器

?1]

(22)

得到

(23)

根據(jù)式(23)可以看出,所設(shè)計動態(tài)逆控制器可以保證系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)速度通道的漸近跟蹤。

3.2 高度子系統(tǒng)

(24)

首先設(shè)計動態(tài)逆控制器,令

(25)

得到

(26)

式中,u為虛擬控制量。

將式(26)代入正則形式的系統(tǒng)方程(7),系統(tǒng)可以寫為

(27)

式中

z=[ζη1η2]T

(28)

(29)

B=[1 0 0]T

(30)

Γ=[0Γ1Γ2]T

(31)

為了實(shí)現(xiàn)對z的線性反饋、鎮(zhèn)定內(nèi)動態(tài),令

u=u′-Kz

(32)

選取合適的增益矩陣K=[k1k2k3],使得A′=A-BK為Hurwitz矩陣。

此時系統(tǒng)方程變?yōu)?/p>

(33)

對任意給定的對稱正定矩陣Q,存在P使得Lyapunov方程成立，即

A′P+PA′=-Q

(34)

選取Lyapunov函數(shù)

V=zTPz

(35)

對V求導(dǎo)得到

(36)

基于最小范數(shù)控制策略,有

(37)

則偽控制量

(38)

根據(jù)式(25)、式(38)可得原系統(tǒng)的彈道傾角輸出跟蹤控制器為

(39)

從控制器設(shè)計過程來看,在動態(tài)逆控制器的基礎(chǔ)上加入了z的反饋項,成功地解決了單一動態(tài)逆控制器會使內(nèi)動態(tài)發(fā)散的問題。

值得一提的是,在其他一些解決飛行器非最小相位問題的方法中,角度積分項反饋經(jīng)常會被加入到控制器中,解決由于忽略模型項造成的穩(wěn)態(tài)誤差等問題。而本文所提出方法的內(nèi)動態(tài)η2經(jīng)計算得到的單位是rad×s2,是關(guān)于角度二次型的積分項,與其他方法得到了相似的結(jié)果。所以,角度積分項反饋在處理非最小相位問題的方法中起到的作用還值得深入研究。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證算法的有效性,給出了一組巡航狀態(tài)下的吸氣式高超聲速飛行器仿真示例?？紤]吸氣式高超聲速飛行器縱向模型,表2給出了模型參數(shù)適用范圍內(nèi)的一組飛行器的初始條件。

表2 飛行器初始條件

首先驗(yàn)證高超聲速飛行器高度子系統(tǒng)是否具有非最小相位特性,即

(40)

根據(jù)計算結(jié)果可以判斷此高超聲速飛行器的高度控制子系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。

設(shè)置飛行器縱向跟蹤指令為

Vc=8 860 ft/s

(41)

γc=0

(42)

首先采用常用的思路,忽略模型中升降舵對升力的影響,使模型變?yōu)樽钚∠辔幌到y(tǒng),這樣可以采用標(biāo)準(zhǔn)的反步法來設(shè)計控制器。燃油節(jié)流率和升降舵可以分別實(shí)現(xiàn)對速度V和彈道傾角γ的控制,仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 反步法跟蹤誤差Fig.1 Tracking errors of back-stepping method

從圖1可以看出,飛行器在25 s左右達(dá)到穩(wěn)定跟蹤,由于在彈道傾角方程中忽略了舵偏角對其的影響,其中彈道傾角γ存在穩(wěn)態(tài)誤差,約為0.01 rad。

下面采用文中所設(shè)計控制器來進(jìn)行仿真。根據(jù)上文控制器設(shè)計原則選取控制器參數(shù),令式(32)中增益向量為

K=[15,-1,1]T

(43)

仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 跟蹤誤差Fig.2 Tracking errors

可以看出,采用文中提出的基于模型正則形式的狀態(tài)反饋控制時,系統(tǒng)最終彈道傾角的穩(wěn)態(tài)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采用傳統(tǒng)反步法控制時的穩(wěn)態(tài)彈道傾角誤差。

圖3 姿態(tài)角響應(yīng)曲線Fig.3 Pitch response curve of attitude angle

圖4 舵偏角和油門變化曲線Fig.4 Variation curve of rudder angle and throttle

圖5 內(nèi)動態(tài)變化曲線Fig.5 Variation curve of internal dynamics

飛行器在25 s左右達(dá)到穩(wěn)定跟蹤,跟蹤效果良好,誤差和收斂速度均在可接受范圍內(nèi)。圖3～圖5中狀態(tài)在12 s左右的拐點(diǎn)為燃油節(jié)流率由飽和狀態(tài)轉(zhuǎn)為非飽和狀態(tài)所致。圖3為飛行器俯仰角和攻角的變化曲線,各狀態(tài)在最初短暫的振蕩后趨于平穩(wěn),并且整個過程都處在可行約束范圍內(nèi)。圖4為舵偏角與燃油節(jié)流率的變化曲線,舵偏角最終穩(wěn)定在0.16 rad左右,由于加速指令在前12 s處于飽和狀態(tài),燃油節(jié)流率在25 s以后穩(wěn)定在0.3左右。圖5為高度子系統(tǒng)二階內(nèi)動態(tài)的變化曲線,從圖中可以看出,系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài)得到了有效的鎮(zhèn)定,在25 s左右都收斂到一個穩(wěn)定值。

仿真結(jié)果證明，所設(shè)計控制器可以在保證系統(tǒng)外部狀態(tài)跟蹤效果的同時,有效地鎮(zhèn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定內(nèi)動態(tài),解決了高超聲速飛行器高度子系統(tǒng)的非最小相位問題。

需要強(qiáng)調(diào)的是,文中所設(shè)計控制器重點(diǎn)在于提出一種新方法來解決高超聲速飛行器的高度子系統(tǒng)的非最小相位問題,鎮(zhèn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定內(nèi)動態(tài),暫時并未考慮系統(tǒng)魯棒性、收斂性能等問題。文中模型正則變換后,只結(jié)合簡單控制方法來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定,后期會在此研究基礎(chǔ)上加入非線性干擾觀測器,或結(jié)合一些魯棒性強(qiáng)的控制方法來解決系統(tǒng)的魯棒性問題,所設(shè)計控制器會適應(yīng)更大范圍、更強(qiáng)干擾的飛行條件。

5 結(jié) 論

針對一類具有非最小相位特性的吸氣式高超聲速飛行器提出了一個判定非線性系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)的判據(jù),并針對非最小相位系統(tǒng)的縱向軌跡跟蹤控制問題,給出了一種跟蹤控制方法,成功地鎮(zhèn)定了系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài)。

方法的意義在于提出基于模型正則變換后的狀態(tài)反饋方法來解決高超聲速飛行器的高度子系統(tǒng)的非最小相位問題。方法給出了吸氣式高超聲速飛行器系統(tǒng)非最小相位特性與系統(tǒng)氣動參數(shù)之間的定量判據(jù);通過轉(zhuǎn)換縱向俯仰通道模型轉(zhuǎn)換為正則形式,實(shí)現(xiàn)了內(nèi)動態(tài)的鎮(zhèn)定,同時避免反步法的微分爆炸問題,控制器設(shè)計過程較為簡單。所提出控制方法依賴于精確模型的推導(dǎo),會產(chǎn)生系統(tǒng)魯棒性問題。魯棒控制方法與本文提出方法的結(jié)合應(yīng)用是接下來的研究方向。

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