基于Gamma隨機(jī)過程的水工鋼閘門時變可靠度方法

徐衛(wèi)敏,盧鵬程,范興朗

XU Weimin，LU Pengcheng，F(xiàn)AN Xinglang

(1.浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江 杭州 311231；2.浙江科技學(xué)院,浙江 杭州 310023；3.浙江工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院,浙江 杭州 310014)

結(jié)構(gòu)在服役過程中,由于受荷載作用、材料內(nèi)部作用和環(huán)境作用等因素影響,往往會引起其結(jié)構(gòu)抗力和剛度的退化,從而帶來正常服役可靠度的降低[1]。對于水工鋼閘門結(jié)構(gòu)而言,影響其抗力和剛度的最重要因素是鋼板的銹蝕[2-3]。因此,為了預(yù)測現(xiàn)役鋼閘門結(jié)構(gòu)在未來使用期內(nèi)的壽命,必須了解鋼板的銹蝕規(guī)律,從而掌握其抗力和剛度隨時間的變化規(guī)律。

引起鋼板銹蝕的因素眾多,主要有周圍環(huán)境含有的腐蝕性物質(zhì)(空氣中的SO2含量等)、水中的酸堿性物質(zhì)和腐蝕微生物等。另外,當(dāng)鋼閘門所處不同地理位置時,受當(dāng)?shù)仫L(fēng)速、溫度、泥沙以及水流流速等因素影響,其腐蝕程度也是不同的。文獻(xiàn)[4]對收集國內(nèi)水工鋼閘門銹蝕檢測的數(shù)據(jù),確定了現(xiàn)役鋼閘門銹蝕速率的概率分布模型。研究結(jié)果表明我國水工鋼閘門銹蝕速率的均值和變異系數(shù)分別為0.034mm/a和0.43。文獻(xiàn)[5]對部分工程實測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明,銹蝕速率均值的變化范圍為0.015～0.07mm/a,變異系數(shù)的變化范圍為0.37～0.88。

在對已有鋼閘門結(jié)構(gòu)進(jìn)行評估和維修規(guī)劃時,考慮服役過程中承載力的退化規(guī)律是非常重要的。目前國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對此進(jìn)行了研究，Mlakar和Bryant[6]分析了平面鋼閘門均勻腐蝕引起構(gòu)件厚度減小時的可靠度。Patev等[7]在考慮腐蝕損傷對鋼材屈服強(qiáng)度影響的基礎(chǔ)上,分別采用了時變可靠性分析方法和危險函數(shù)方法分析了鋼閘門的時變可靠度。周建方等[5]在總結(jié)閘門構(gòu)件銹蝕規(guī)律的基礎(chǔ)上對衰減函數(shù)為確定性函數(shù)和隨機(jī)變量的情況鋼閘門結(jié)構(gòu)的時變可靠度進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明,當(dāng)衰減函數(shù)為確定性函數(shù)時,其計算結(jié)果偏于不安全。李典慶和常曉林的綜述文章[7]對這方面的研究做了較為全面的總結(jié)。

從以上研究結(jié)果可以看出,盡管已有研究通過衰減函數(shù)考慮了鋼板銹蝕對鋼閘門承載力退化的影響,但是該函數(shù)并未考慮結(jié)構(gòu)在演化過程中的時變隨機(jī)性。實際上,鋼板銹蝕的過程是一個隨機(jī)累積的過程,相應(yīng)的抗力衰減函數(shù)應(yīng)該通過隨機(jī)過程進(jìn)行模擬。基于此,本文根據(jù)鋼板銹蝕過程的基本特點(diǎn),通過Gamma隨機(jī)過程對銹蝕過程進(jìn)行模擬,提出了一個基于退化的時變可靠度分析方法。

1　鋼板銹蝕過程模擬及參數(shù)估計

實際工程中,影響水工鋼閘門鋼板銹蝕的因素眾多,主要有銹蝕時間、銹蝕速度等,且這些因素大多具有不確定性。在數(shù)據(jù)較易獲得的情況下,可以將各個因素處理為隨機(jī)變量,并通過所得到的數(shù)據(jù)獲得這些隨機(jī)變量的分布類型和統(tǒng)計參數(shù),然后采用Monte-Carlo的方法確定鋼板銹蝕量的統(tǒng)計參數(shù)。對于大多數(shù)工程,獲取這些數(shù)據(jù)難度較大,本文采用Gamma隨機(jī)過程模擬鋼板銹蝕深度。

Gamma隨機(jī)過程是一種考慮獨(dú)立、非負(fù)退化增量的隨機(jī)過程,適合模擬具有微小增量的累積漸變過程,如疲勞、徐變和銹蝕等[9]。該過程可通過形狀參數(shù)和尺度參數(shù)進(jìn)行描述。

假定{d(t),t≥0}為一個隨機(jī)Gamma過程,其概率密度函數(shù)可以表達(dá)為：

(1)

式(1)中:Gamma隨機(jī)過程具有如下性質(zhì)[10]：

1)d(0)=0；

2)對于任意的τ>t≥0,增量d(τ)-d(t)服從Gamma分布,即:

d(τ)-d(t)～Ga[α(τ)-α(t),λ].

(2)

3)d(t)是一個獨(dú)立增量過程,即對于任意t12),各增量d(t2)-d(t1),…,d(tn)-d(tn-1)相互獨(dú)立。

根據(jù)Gamma過程的性質(zhì),銹蝕量d(t)的平均值和方差可以表示為：

(3)

(4)

(5)

鋼板銹蝕量可以通過改變Gamma過程形狀參數(shù)α(t)來表征其隨時間的變化規(guī)律。一般來說,α(t)可以表達(dá)成關(guān)于時間t的冪函數(shù)形式[1]：

α(t)=ctb.

(6)

對于特定的退化過程,通?？梢愿鶕?jù)相應(yīng)的工程知識來確定相應(yīng)的退化過程曲線形狀參數(shù)。文獻(xiàn)[11]列出了幾種常見的退化過程參數(shù)b的值。本文取b為1.0。

對鋼閘門結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度評估時,當(dāng)鋼板銹蝕量數(shù)據(jù)足夠時,形狀函數(shù)α(t)中的參數(shù)c和Gamma過程的尺度參數(shù)λ可以采用最大似然估計法或者矩估計法進(jìn)行確定[12]。但是對于大多數(shù)水工鋼閘門而言,由于對結(jié)構(gòu)某個區(qū)域連續(xù)監(jiān)測或者歷時較短的檢測較難進(jìn)行,本文主要通過已有銹蝕率的統(tǒng)計參數(shù)對進(jìn)行參數(shù)c和λ進(jìn)行反向標(biāo)定得到。事先假定參數(shù)λ為某個固定值,根據(jù)式(3)并結(jié)合參數(shù)λ即可確定參數(shù)c。

確定參數(shù)后,銹蝕累積量可用下列順序采樣方法進(jìn)行模擬[13]：

1)t=0,d0=0；將總時間T等分為n個子區(qū)間；

2)當(dāng)t=ti時,產(chǎn)生服從Gamma分布函數(shù)Ga(α(ti)-α(ti-1),λ)的隨機(jī)數(shù)Δdi,該隨機(jī)數(shù)即為時段ti-ti-1內(nèi)產(chǎn)生的銹蝕增量。ti時刻銹蝕累計量

di=di-1+Δdi;

3)重復(fù)過程2)直到達(dá)到總時間T為止。

2　時變可靠度計算方法

服役過程中由于各種環(huán)境因素會導(dǎo)致抗力退化,因此結(jié)構(gòu)抗力R(t)是一個隨時間遞減的隨機(jī)過程。目前國內(nèi)外研究者通常將抗力R(t)表示為如下形式[14-15]：

R(t)=R0φ(t).

(7)

式(7)中：R0為初始時刻的抗力隨機(jī)變量；φ(t)為抗力退化因子,當(dāng)不考慮維修過程時,它是從1開始單調(diào)遞減的。根據(jù)處理方式不同,φ(t)可以表示為確定函數(shù)和隨機(jī)過程兩種形式。

對于水工鋼閘門結(jié)構(gòu),在初始厚度相同的情況下,φ(t)可以寫成[5]：

(8)

式(8)中:D0表示鋼板初始厚度。當(dāng)構(gòu)件各部分鋼板厚度不同時,表達(dá)式相對較復(fù)雜。

結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可以表示為:

Z=R(t)-S(t).

(9)

其中,R(t)和S(t)分別表示為結(jié)構(gòu)的抗力與荷載效應(yīng),它們都是隨機(jī)過程。根據(jù)可靠度的定義,在服役期間[0,T]內(nèi),結(jié)構(gòu)失效的概率可以表示為

pf=1-Pr{R(t)>S(t)|?t∈[0,T]}.

(10)

一般情況下,式(10)很難通過解析方式求解得到。因此,本文采用Monte-Carlo方法進(jìn)行模擬求解。具體模擬過程如下：

1)給定鋼板初始厚度d0、鋼板銹蝕速率統(tǒng)計特征和服役時間T,確定Gamma過程統(tǒng)計參數(shù)；

2)根據(jù)抗力變量分布類型生成承載力初始值R0的一個樣本值r0；

3)將服役時間T劃為n個等子區(qū)間[t0,t1],[t1,t2],…，[tn-1,tn],根據(jù)Gamma過程分別計算t1，t2，…，tn時刻對應(yīng)的銹蝕量d(ti),其中ti=iT/n,i=1,2,3,…,n；

4)根據(jù)荷載分布類型生成服役期T內(nèi)n個荷載樣本值si,i=1,2,3,…,n；

5)分別計算服役期內(nèi)ti時刻對應(yīng)的承載力r(ti)=r0φ(ti),其中ti=iT/n。如果對于i=1,2,3,…,n均有r(ti)≥si成立,則此次模擬結(jié)構(gòu)安全；否則,結(jié)構(gòu)失效；

重復(fù)步驟2)～5)直到滿足模擬精度。若最終模擬次數(shù)為N,失效次數(shù)為M,則結(jié)構(gòu)可靠度可近似采用nf=M/N表示。

3　數(shù)值算例及討論

計算某水工鋼閘門結(jié)構(gòu)某構(gòu)件在服役期T= 50 a內(nèi)的結(jié)構(gòu)可靠度。其承載力極限狀態(tài)方程為：

Z=R-SW-SQ=0.

(11)

其中,R=φ(t)R0,R0為承載力初始值；SW和SQ分別為靜水壓力和其他活荷載對應(yīng)的荷載效應(yīng)。、SW和SQ的設(shè)計值存在如下關(guān)系：

R0K=1.5(SWK+SQK).

(12)

為后續(xù)計算方便,假定SWK=1.0,SQK/SWK=0.1,R0、SW和SQ的分布類型和統(tǒng)計參數(shù)分別見表1。

表1　隨機(jī)變量統(tǒng)計參數(shù)和分布類型

計算中,事先假定參數(shù)λ為0.5,參數(shù)c通過銹蝕率計算得到。計算中考慮了三種不同銹蝕率(0.03mm/a、0.05mm/a和0.07mm/a),及三種不同的鋼板初始厚度(20mm、25mm和30mm)和不同的衰減函數(shù)形式確定函數(shù)形式和Gamma隨機(jī)過程。

圖1表示三種不同銹蝕速率時鋼閘門時變可靠度變化情況。從圖1可以看出,當(dāng)銹蝕速率為0.07mm/a時,經(jīng)過50年服役期,可靠度從3.92降低為1.73。銹蝕速率越大,可靠度降低越多,且隨著服役年限增大可靠度降低越多。

圖1　不同銹蝕率條件時變可靠度變化情況

圖2表示為三種不同初始板厚時鋼閘門時變可靠度變化情況。從圖2可以看出,當(dāng)鋼板初始厚度為25mm時,經(jīng)過50年服役期,可靠度從3.92降低為2.06。當(dāng)鋼板初始厚度從20mm變化到30mm時,在T為50年時,可靠度變化0.45,變化幅度較銹蝕速率緩慢。

圖2　不同初始厚度條件時變可靠度變化情況

圖3　不同衰減函數(shù)條件時變可靠度變化情況

圖3比較了采用確定性衰減函數(shù)和Gamma退化過程時鋼閘門時變可靠度的變化情況。從圖3可以看出,在服役壽命早期,采用兩種形式對可靠度計算結(jié)果影響不大；當(dāng)服役壽命超過30年后,兩者差別逐漸加大,且采用確定性衰減函數(shù)計算時計算結(jié)果偏于不安全,這是與文獻(xiàn)[5]的結(jié)論相一致的。

4　結(jié)　語

鑒于目前正在運(yùn)行的鋼閘門有許多已經(jīng)達(dá)到或超過了規(guī)范規(guī)定的折舊使用年限,故對在役鋼閘門進(jìn)行剩余壽命預(yù)測并進(jìn)行加固維修勢在必行。如何考慮由于鋼板銹蝕引起鋼閘門結(jié)構(gòu)抗力退化進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)可靠度降低是剩余壽命預(yù)測中的關(guān)鍵問題。本文根據(jù)鋼閘門鋼板銹蝕微小累積性和隨機(jī)性的特點(diǎn),采用Gamma隨機(jī)過程對鋼板銹蝕量進(jìn)行了模擬,進(jìn)而得到衰減函數(shù)的隨機(jī)過程表達(dá)式,采用Monte-Carlo法對鋼閘門結(jié)構(gòu)時變可靠度進(jìn)行了計算。研究結(jié)果表明：

1)相比于目前使用的衰減函數(shù)確定性函數(shù)和隨機(jī)變量模型,本文將之?dāng)U展至隨機(jī)過程模型。計算結(jié)果表明,采用確定性函數(shù)形式進(jìn)行時變可靠度計算結(jié)果偏于不安全。

2)減小初始板厚度和增大銹蝕速率均可引起可靠度降低,且隨著服役年限增大可靠度降低越多。相比于初始板厚度,銹蝕速率對時變可靠度的影響更大。