讓知識交匯，邏輯閃光
——例談數(shù)學核心素養(yǎng)下的教學思考

浙江省義烏市實驗小學教育集團黎明湖校區(qū) 樓玉萍

除了考點，數(shù)學課堂上學生還應該學到什么？

數(shù)學的學習，歸根結(jié)底，是為了培養(yǎng)孩子用數(shù)學的思想分析問題，用數(shù)學的知識解決問題的能力。這種能力不僅僅是運算的速度，公式的記憶，考題的解答等，更應該是數(shù)學的思考方式，數(shù)學的邏輯能力，數(shù)學的審美情趣等。

我們從應試教育走向素質(zhì)教育，從教師主導到先學后教，教育理念的落腳點最終都是在每一次普通的課堂教學中。

一、縱橫交錯，喚醒學習生長點

數(shù)學知識的習得具有一定的規(guī)律，既要符合學生的心智水平，同時還要遵循數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程。而縱觀整個數(shù)學史的發(fā)展過程，每一次的完善補充，更新迭代都是建立在“因為需要，所以發(fā)展”的邏輯基礎(chǔ)之上，這也體現(xiàn)了數(shù)學作為一門“工具學科”的發(fā)展屬性。

回到數(shù)學課堂，如何體現(xiàn)數(shù)學學習的意義，筆者認為解決新問題是學習的出發(fā)點，回顧老問題是思考的落腳點，這兩點之間就是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的具體路徑。接下去筆者以北師大版五年級下冊《確定位置》為例，舉例說明如何喚醒學生學習的生長點。

《確定位置》的教學目標是要讓學生會用“觀測點、方向、距離”三要素來確定點的位置，在此之前關(guān)于確定位置，學生已經(jīng)掌握了用“數(shù)對”的方法。

從位置的表示形式上看，兩者之間似乎并無太多聯(lián)系，數(shù)對的基礎(chǔ)是“直角坐標系”，三要素的本質(zhì)是“極坐標系”。兩種方法往往給人一種“并列關(guān)系”的基本判斷，因此課堂上也就往往體現(xiàn)為另起爐灶，從頭再來。筆者認為，這樣的課堂是缺少數(shù)學味的，至少割裂了學生知識生長的紐帶，因為我們忽略了：

（1）為什么要學習兩種表示位置的方法？

（2）兩種表示方法之間的共同點是什么？

（3）兩種表示方法之間是“補充”還是“取代”？

1.橫向看，舊知是新知的基礎(chǔ)

基礎(chǔ)有兩層含義，一是知識本身，如：加法是減法的基礎(chǔ)，平方是開方的基礎(chǔ)；二是知識本質(zhì)。正如《確定位置》這節(jié)課，我們試想：如果確定位置的方法，教材先安排學習“三要素”，再安排學習“數(shù)對”，就知識技能目標的達成而言，是否可行？應該可以，至少難度不大。那教材的編排又有何用意呢？筆者認為，“確定位置”的數(shù)學本質(zhì)，是課程安排的主因，也是知識發(fā)展的主線，同樣是學生掌握這一章節(jié)內(nèi)容的知識生長點。

確定位置的本質(zhì)是兩條線的交點。不同的非本質(zhì)條件決定了采用不同的形式來確定位置。“數(shù)對”表示的是針對某個特定區(qū)域內(nèi)的絕對位置，更適合“觀察”；“三要素”表示的是針對某個已知點的相對位置，更適合“到達”。根據(jù)這樣的理解，我們就不難回答上述的三個問題。

“數(shù)對”的本質(zhì)是兩條直線的交點，“三要素”的本質(zhì)是射線和圓的交點，從學生的心智水平而言，顯然更容易理解前者。因此，當我們的教學著眼于數(shù)學本質(zhì)，學生的學習才能由淺入深，知識的習得才能自由地生長。

2.縱向看，新知是舊知的補充

新問題產(chǎn)生新知識，但新知識的產(chǎn)生也有其一定的適應范圍。以“確定位置”為例，如果問題是在根據(jù)電影票來確定觀眾的座位，顯然“數(shù)對”方法既簡潔又快速；如果問題是畫一個電影院的方位圖，那么“三要素”的方法就比較切合實際。

兩種方法不僅是相互補充，有時還是緊密聯(lián)系的。例如一艘在大海中失事的輪船，在向外界求救的時候，發(fā)出的信號是以經(jīng)緯度為刻畫工具的“數(shù)對”，當搜救船只趕來救援的時候，又根據(jù)彼此之間的“數(shù)對”，計算出航行的方向，距離。

因此我們在教學時，應該緊抓數(shù)學本質(zhì)的同時，結(jié)合不同的非本質(zhì)條件，全面分析知識間的相互聯(lián)系。

二、環(huán)環(huán)相扣，激發(fā)邏輯閃光點

數(shù)學的美以及偉大，是因為它嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)以及嚴密的知識體系。小學階段，尤其是低年級，在教材的編寫上，教師的教學中往往經(jīng)驗性的總結(jié)比較多，邏輯性的推理比較少。雖然是為了適應孩子的身心發(fā)展水平，但數(shù)學的美常常無法體現(xiàn)，數(shù)學文化的熏陶以及數(shù)學思維的鍛煉也就更微乎其微了。

筆者認為，在結(jié)合學生的學情基礎(chǔ)上，注重邏輯推理能力的鍛煉和啟發(fā)，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要方面。接下去，以《三角形的內(nèi)角和》一課舉例說明。

《三角形的內(nèi)角和》教材大多安排了剪一剪、拼一拼、量一量的學習環(huán)節(jié)，通過動手操作，學生得到結(jié)論，三角形的內(nèi)角和為180°，然后練習鞏固。這樣的課堂，波瀾不驚，教師容易掌控，學生容易掌握，但老師課堂上那一句“測量是有誤差的，實際上就是180°”的總結(jié)，與其說是對學生動手操作的總結(jié)，不如說是對整個過程的輕視和否定。這樣的課堂，學生沒有成就感，過程沒有數(shù)學的思考，又何談核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

1.歸納推理下的數(shù)學思考

“拼一拼、量一量”本質(zhì)上是數(shù)學歸納法的粗淺應用。歸納推理是數(shù)學思維的重要組成部分，基本方法就是根據(jù)一類事物（三角形）部分對象（所測量三角形）具有某種特征（內(nèi)角和180°），推出所有事物都具有該特征。

在本堂課中，哪個環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學生的數(shù)學思考？測量，拼接顯然不是，結(jié)論的得出也因為老師的總結(jié)顯得學生的思考無足輕重……筆者認為，是部分對象的選擇決定了此次的歸納推理是否有效，這也是激發(fā)學生思考的關(guān)鍵所在。而在大部分的課堂中，教師往往直接出示三種三角形（直角、鈍角、銳角），讓學生操作，這樣的教學設(shè)計恰恰剝奪了學生感受歸納推理數(shù)學魅力，掌握歸納推理數(shù)學方法的機會。如果教師以一個“我們需要測量哪些三角形”作為主要問題，我想學生的數(shù)學思考會更加深刻。

2.演繹推理下的邏輯閃光

歸納推理作為一種合情推理，是本堂課得出結(jié)論的主要思考方式。但誤差的存在的確讓結(jié)論的公信力大打折扣。如何把“簡單、粗暴”的下結(jié)論方式，變得更富有數(shù)學味，必不可少的就是邏輯證明。

演繹推理的魅力一方面在于“從一到無窮”的知識生長，另一方面在于知識間的相互佐證，把數(shù)學構(gòu)建成一個嚴密的知識閉環(huán)，這也是感受數(shù)學文化，領(lǐng)悟數(shù)學思想的重要一方面。

演繹推理簡單說就是用“已知”推出“未知”。作為內(nèi)角和這一內(nèi)容的已知，從根本上講就是“長方形”的定義——四個角都是直角的四邊形叫長方形，也就是說長方形的內(nèi)角和是360°，并由此可以推理得到：

數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，很重要的一點就是學會數(shù)學地思考問題，其中很重要的特征就是思考的邏輯性。如果我們的課堂能多讓學生進行邏輯能力的鍛煉，不僅可以激發(fā)學習興趣，更能提升數(shù)學氣質(zhì)。

三、穿針引線，構(gòu)建知識脈絡

數(shù)學的發(fā)展遠沒有像信息技術(shù)的發(fā)展那樣來得日新月異，但數(shù)學作為一門基礎(chǔ)性的工具學科仍然在各個領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。這從一個側(cè)面也反映出數(shù)學知識的整個框架，內(nèi)容以及內(nèi)在邏輯都已十分的成熟完備。

作為小學的數(shù)學課堂，雖然無法感受整個數(shù)學內(nèi)涵的博大精深，但從小培養(yǎng)孩子建立脈絡化的學習思考習慣，也是核心素養(yǎng)教育的重要一環(huán)。接下去，筆者以《圖形的面積》單元復習課，舉例說明。

《圖形的面積》單元主要包括平行四邊形、三角形、梯形面積的推導過程和計算方法。轉(zhuǎn)化思想是本單元的主要思考方式，也是各面積公式之間的連接紐帶。

1.全面梳理構(gòu)建網(wǎng)絡

作為一線教師，對于這一單元的教學都有這樣一個感受，上新課的時候感覺挺好，一到單元練習，面積公式的出錯率就大幅度提高，尤其是三角形和梯形。究其原因，可能有兩個方面：一方面，學生更多是靠背公式來解決問題，這種方式，再經(jīng)過一段時間后，尤其各種圖形一混合，就容易混淆；另一方面，學生對公式的推導過程不理解，也就導致對“相對應的底和高”缺少直觀感受，增加了解題難度。

而構(gòu)建網(wǎng)絡的前提就是進行梳理，其中包括公式的推導過程，以及各圖形間的相互聯(lián)系。而構(gòu)建網(wǎng)絡的目的也正是解決前面提到的兩種錯題原因。一方面，通過各圖形間的相互轉(zhuǎn)化，加強對公式的理解，尤其是強化公式和圖形間的一一對應，做到在理解中應用；另一方面，通過網(wǎng)絡化可以歸納、體會“相對應的底和高”在每個圖形上的實際意義。

總而言之，理清知識脈絡有助于開闊學習視野，提高學習效果。

2.深入分析突顯本質(zhì)

本單元的學習主要通過圖形的轉(zhuǎn)化，推導各個圖形的面積計算公式。同時，在構(gòu)建知識網(wǎng)絡的過程中，我們也可以對各個面積公式進行分析比較，發(fā)現(xiàn)三個面積公式本質(zhì)上就是梯形面積公式，在不同圖形中的應用。從圖形到公式，再從公式到圖形，一正一反之間，突出了知識的本質(zhì)，提升了學生分析、解決問題的水平。

數(shù)學核心素養(yǎng)是一個很大的命題，寥寥數(shù)語也只能是淺嘗輒止。我想作為一個擁有較高數(shù)學核心素養(yǎng)的人，必定心中知識交匯成網(wǎng)，眼中邏輯閃光！