數(shù)感實驗引發(fā)的思考

安徽合肥師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 張嘉文

從廣義上講，我們生活在一個被數(shù)字包圍的世界，從童年到成年，從家中到街上，無論是學習還是工作，數(shù)字和數(shù)量已經(jīng)成為我們生活的一部分。在我們的計劃或者決定中都會有數(shù)字的身影，因此為了計劃更有效或者決定更正確，我們通常需要進行一番數(shù)字計算。能夠在各種情況下定量地思考，能夠使用數(shù)學進行有效的表示，并理解這些情形中數(shù)學概念中的邏輯規(guī)則，這是我們在做計算時需要掌握的能力，而這些能力通常與數(shù)感有關(guān)。

一、數(shù)感

數(shù)感是一個易于理解但是難以定義的概念，這里給出關(guān)于數(shù)感的一些認識。

數(shù)感可以看作是對數(shù)字和運算的一種理解，它幫助個體進行信息處理和應用適當?shù)慕鉀Q策略，并進行有根據(jù)的反饋和交流。同樣，數(shù)感是理解問題情境中涉及的數(shù)學關(guān)系的能力，這種理解需要靈活，因為相同的策略不適用于所有的情況。

數(shù)感是一種認知能力，它允許個體與環(huán)境提供的各種資源成功地交互，以便能夠產(chǎn)生適當?shù)慕鉀Q方案來處理涉及數(shù)學使用的日?；顒?。它可以被看作是數(shù)字在用途、意義和關(guān)系的等方面的一種良好直覺，這種直覺能夠幫助個體以有效而靈活的方式處理涉及數(shù)字和數(shù)量的情況。

二、數(shù)感實驗

與任何其他數(shù)學知識或能力一樣，數(shù)感源于每天在最不同的社會情境中進行的活動，例如在家里、在學?；蛘呤墙值郎虾凸ぷ鲌鏊?。從社會經(jīng)濟層面上看，相比低收入家庭，中產(chǎn)階級家庭的父母與子女更頻繁地參與數(shù)學活動。來自低收入家庭的孩子們在入學前的數(shù)感發(fā)展通常有限，并且在上學之前只擁有有限的數(shù)學知識。研究表明，來自不同社會階層的孩子在日常生活中有不同的數(shù)學經(jīng)驗，產(chǎn)生不同類型的數(shù)學知識（不一定更好或更壞），因此考察不同社會階層的兒童在理解數(shù)字和運算能力方面的差異是必要的。這里將介紹研究人員對巴西二年級兒童（7～8歲）數(shù)感能力考察，分析兒童對于數(shù)字的一般用法的認識。

實驗是一項訪談研究，包含三個關(guān)鍵的問題：（1）數(shù)字是什么？（2）算術(shù)是什么？（3）我們?yōu)槭裁匆獪y量？這個三個問題的設(shè)置是結(jié)合了巴西國家課程建議中小學數(shù)學知識的三個方面——數(shù)字、運算和測量。

受訪的孩子共計40名，20名來自低收入家庭，20名來自中等收入家庭。每個孩子的回答都被記錄下來，并根據(jù)孩子的回答將每個問題的回答分成4類，分別為校內(nèi)用途、校外用途、智力用途和職業(yè)用途，每一類的分類標準如表1。分類的過程由2名進行相互獨立的判斷，對意見不統(tǒng)一的案例，將有第三個獨立的判斷者進行分類，最終的判別將至少有2名判斷者的同意。

表1 實驗中的問答分類標準

分類結(jié)果見表2，經(jīng)過曼-惠特尼U檢驗可以看出，認為數(shù)字的校外用途的中產(chǎn)家庭的孩子明顯多于低收入家庭的孩子（U=8，P=0.0290），而在數(shù)字的職業(yè)用途方面則是低收入家庭的孩子較多（U=106，P=0.0078）。

表2 實驗的結(jié)果分類匯總

對于低收入家庭兒童，校內(nèi)用途比其他用途更頻繁（弗里德曼測試：X＝15.529，P＝0.001），而對于中產(chǎn)家庭兒童，校內(nèi)使用和校外使用大致相同并且比其他使用更頻繁（弗里德曼測試：X＝11.571，P＝0.003）。重要的是要提到，與職業(yè)活動有關(guān)的職業(yè)用途在中產(chǎn)階級兒童中很少被觀察到（只有5%）。

將這些用途與數(shù)字、算術(shù)和測量3個方面的數(shù)學知識相聯(lián)系可以得到以下幾點認識：（1）在學校中，數(shù)字多用于進行算術(shù)運算，而在校外使用時，數(shù)字多于計數(shù)情況有關(guān)；（2）算術(shù)運算本事上還是應用于學校用途，找到數(shù)學問題的答案；（3）測量活動大多與校外用途相關(guān)。

總體來說，兩組孩子都傾向于把數(shù)字和運算應用于學校相關(guān)的用法，而把測量活動用于校外的用法。

三、思考與建議

對于實驗結(jié)果，研究人員認為在這項研究中，孩子們可能認為計數(shù)活動是學校情境活動。這是因為在巴西，面向小學的數(shù)學教科書往往傾向于算術(shù)運算的解決方案。另一方面，測量活動不經(jīng)常在學校提出，所以他們不與學校的使用有關(guān)。相反，需要測量的情況通常在家庭中出現(xiàn)，孩子們經(jīng)常要測量物體的長度（例如，衣柜的高度）或它們之間的距離（例如，衣柜和床之間），而算術(shù)運算主要是在做作業(yè)的時候進行的。

以上實驗給我們一個強烈的信號，那就是來自不同社會階層的孩子在入學之前會擁有不同的數(shù)學知識，數(shù)感的發(fā)展也不盡相同。通過對上述實驗的分析，結(jié)合我國小學數(shù)學教學的實際情況，可以得出以下幾點思考：

小學教師應充分認清孩子數(shù)感發(fā)展不均衡這一現(xiàn)實條件。不同社會背景的兒童在日常生活中對數(shù)字的認識和意義存在相似和不同，這是入學前孩子數(shù)感發(fā)展不均衡的現(xiàn)實條件，教師應對此進行充分的認識。觀察孩子在學校內(nèi)外的數(shù)學活動，尤其是相關(guān)家庭背景，對孩子的原始數(shù)感有個清晰的定位，這樣才能有利于后續(xù)教學的針對性。

小學教師應制定更加靈活的教學方案來培養(yǎng)孩子的數(shù)感。孩子數(shù)感的發(fā)展是多方面作用的結(jié)果，作為數(shù)感發(fā)展的重要一環(huán)，學校教學應該承擔更多的責任，教師在教學方案上應該更加靈活，既要考慮到孩子數(shù)感發(fā)展的不均衡，也要注重教學效果。

小學教師應注重于家庭的聯(lián)動，在生活中培養(yǎng)孩子的數(shù)感。孩子的成長需要多方面的努力，只有各個環(huán)節(jié)同向運作才能使孩子健康成長。同樣，孩子的數(shù)感發(fā)展也需要家庭和學校的共同合作，教師應該和家庭進行更多的溝通和指導，在日常生活中增加孩子參與數(shù)學活動的機會。

[1]馬云鵬，史炳星.認識數(shù)感與發(fā)展數(shù)感[J].數(shù)學教育學報，2002（02）：46-49.

[2]鄭毓信.“數(shù)感”“符號感”與其他——《課程標準》大家談[J].數(shù)學教育學報，2002（03）：30-32.

[3]鄭毓信.《數(shù)學課程標準（2011）》的“另類解讀”[J].數(shù)學教育學報，2013，22（01）：1-7.

[4]Spinillo A G.Number Sense in Elementary School Children：The Uses and Meanings Given to Numbers in Different Investigative Situations[C]//Invited Lectures from the 13th International Congress on Mathematical Education. Springer， Cham，2018：639-650.