幾何直觀在二年級(jí)除法意義教學(xué)中的應(yīng)用研究

浙江省義烏市大陳鎮(zhèn)云溪小學(xué) 虞園園

幾何直觀，既是一個(gè)過程又是一個(gè)結(jié)果，具有動(dòng)態(tài)性、模型性。教學(xué)中我們要利用幾何直觀，引領(lǐng)學(xué)生從抽象走向直觀再走向抽象，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力。

在教學(xué)中我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在主動(dòng)嘗試中感受利用幾何直觀幫助抽象意義理解的價(jià)值，不斷積累幾何直觀的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)除法意義的深度理解和靈活應(yīng)用。

一、幾何直觀在除法意義教學(xué)中的兩種形式

筆者認(rèn)為，幾何直觀在二年級(jí)除法意義的教學(xué)中具體表現(xiàn)為如下二種表現(xiàn)形式：

一是實(shí)物直觀。二年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主，借助實(shí)際存在物（實(shí)物或直觀圖）進(jìn)行簡捷、形象的思考和判斷。如右圖，在將“12個(gè)蘋果平均分成3堆”的操作活動(dòng)中，借助蘋果或?qū)W具這樣的實(shí)際存在物進(jìn)行平均分的活動(dòng)，幫助學(xué)生理解平均分的含義、過程和方法，并為除法意義的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。所以，無論是實(shí)物（圖）還是借助學(xué)具圖經(jīng)歷操作演示，都是把復(fù)雜、抽象的平均分問題變得直觀、簡單，易于學(xué)生理解。

又如右圖，利用直觀圖，為學(xué)生想商提供形象上的支撐，并讓學(xué)生體會(huì)乘除法算式之間的聯(lián)系，最終幫助理解用乘法口訣求商的道理，初步形成算法。所以，這樣的實(shí)物圖能激發(fā)學(xué)生的直觀稟賦，讓學(xué)生獲得直接的感知，并且讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”的一一對(duì)應(yīng)中，獲得更深刻的理解。

二是簡約符號(hào)模型直觀。對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生，在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)行一定程度的抽象，建立圖式表象。如右圖，已經(jīng)從具體的直觀圖過渡為較抽象的點(diǎn)子圖?？梢宰寣W(xué)生在圖上圈一圈、畫一畫來加強(qiáng)對(duì)平均分的認(rèn)識(shí)。還可以讓學(xué)生說說小圓點(diǎn)代表什么？這幅圖又表示什么，為學(xué)生用畫圖的方式來分析數(shù)量關(guān)系作好準(zhǔn)備。

另外，在解決問題中，可以利用線段圖將具體問題和運(yùn)算的意義聯(lián)系起來，使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡單化。如“打一個(gè)這樣的結(jié)需要2分鐘，10分鐘可以打幾個(gè)結(jié)？”在線段圖中學(xué)生就很容易理解：本題就是求10里面有幾個(gè)2，用除法計(jì)算。

幾何直觀在二年級(jí)除法意義的教學(xué)中應(yīng)用相當(dāng)廣泛。對(duì)于二年級(jí)學(xué)生來說，幾何直觀簡明、形象地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)和問題的實(shí)質(zhì)，為他們創(chuàng)造了一個(gè)自己主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，有助于數(shù)學(xué)的理解和思維能力、解決實(shí)際問題能力的提高。所以，幾何直觀的有效培養(yǎng)對(duì)于他們來說是相當(dāng)必要的。

二、除法意義的理解引入幾何直觀

課標(biāo)中特別強(qiáng)調(diào)：重視從學(xué)生的已有知識(shí)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)。可見，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的理解實(shí)質(zhì)上也是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與所學(xué)新內(nèi)容相互作用的結(jié)果。這就要求我們重新關(guān)注到計(jì)算教學(xué)的原點(diǎn)，從乘、除法的意義著手借助幾何直觀來提高理解的深度和寬度。

1.“回潮”知識(shí)原點(diǎn)，“叩問”乘除關(guān)系

以右圖為例，

讓學(xué)生在三次動(dòng)手?jǐn)[一擺、動(dòng)口說一說的過程中理解：乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上形成的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。加法的結(jié)構(gòu)是幾部分合起來求整體。而乘法的結(jié)構(gòu)是要求同樣的幾部分合起來求總，這個(gè)求“總”就是幾個(gè)幾的和（如圖①）。

圖①

圖②

圖③

除法可以從乘法結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)，它就是把“總”平均“分”，要求分得的結(jié)果每個(gè)部分一樣多，于是就有了除法的兩種不同情況（如圖②、③）。

乘法是合的過程，除法是分的過程。借助實(shí)物演示，能幫助學(xué)生初步感知乘除法的關(guān)系，為學(xué)生建立合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提供機(jī)會(huì)與條件，提高學(xué)生對(duì)除法意義認(rèn)知的層次，引領(lǐng)學(xué)生思維向縱深發(fā)展。

所以，在除法意義的教學(xué)中，我們要重視培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)和運(yùn)用能力——當(dāng)遇到抽象理性的問題時(shí)，能主動(dòng)地退到適合的直觀層面上去推動(dòng)思維的開展。

2.“感悟”乘除互逆，“明晰”乘除算法

仍以右圖為例，請(qǐng)學(xué)生寫出乘除法算式，討論算式中的3、4、12在圖中分別表示什么？由具體數(shù)所表示的意義和它們?cè)诔顺ㄋ闶街械奈恢?，溝通乘除法之間的關(guān)系，理解算理，形成算法。進(jìn)一步把這3個(gè)數(shù)放到乘除法的結(jié)構(gòu)圖中去感悟，利用直觀模型，讓學(xué)生感受三個(gè)“□”中的數(shù)在乘除法算式中的位置，理解乘法中的積就相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，乘法中的乘數(shù)就相當(dāng)于除法中的除數(shù)和商。通過數(shù)與圖的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生體會(huì)乘除法之間的互逆關(guān)系，并在“表格”形式的訓(xùn)練中，使學(xué)生對(duì)乘法算式中三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系以及除法算式中三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系有更深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)溝通乘除法之間的關(guān)系。以5÷？=5為例，可以想乘法算式5×1=5，也可以想除法算式5÷5=1等。

回歸乘除法的知識(shí)實(shí)質(zhì)，借助幾何直觀，我們既要看到乘除法的不同，更要看到它們相同的地方，在對(duì)比中提升對(duì)乘除法概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，溝通乘除法的聯(lián)系。因此，在教學(xué)中，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用幾何直觀來幫助概念的理解，并學(xué)會(huì)利用幾何直觀溝通知識(shí)的本質(zhì)，比較知識(shí)組織學(xué)生交流、比較直觀圖的異同，最終在數(shù)學(xué)理解方面實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛越。

總之，對(duì)于許多數(shù)學(xué)問題，必須在直觀的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與思考。因此，在我們的教學(xué)中，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況與教學(xué)內(nèi)容，靈活地引入幾何直觀，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立嘗試、交流共享、碰撞完善的過程，并從中獲得直觀的、深刻的數(shù)學(xué)理解。但是，幾何直觀并不是必備過程與目的，適合學(xué)生學(xué)習(xí)的方法就是最好的方法。