全景式教育之?dāng)?shù)學(xué)歷史和文化課程的重建(上)

北京亦莊實驗小學(xué)(101102)

張宏偉 (特級教師)

一、綜述

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)的歷史，不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想方法的演變和發(fā)展過程，而且探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。它研究的對象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且涉及歷史、哲學(xué)、宗教等社會科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容。

數(shù)學(xué)文化從廣義上講，研究的內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言以及它們的形成和發(fā)展過程，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。

與小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史和文化，在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中具有獨(dú)特的、重要的課程價值。在當(dāng)前的信息化時代，我們可以輕而易舉地檢索、收集到很多數(shù)學(xué)歷史和文化相關(guān)的資料，但是這些現(xiàn)成的資料并不等于課程。目前，小學(xué)數(shù)學(xué)還沒有對數(shù)學(xué)歷史與文化進(jìn)行系統(tǒng)、科學(xué)的梳理，更沒有構(gòu)建成融合數(shù)學(xué)歷史和文化內(nèi)容的小學(xué)數(shù)學(xué)課程。

全景式數(shù)學(xué)教育認(rèn)為：“就像不能脫離中國的歷史和文化學(xué)習(xí)漢語一樣，也不可能脫離數(shù)學(xué)歷史和文化去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。如果把某一數(shù)學(xué)知識比喻成一棵樹的話，那么數(shù)學(xué)歷史和文化就是養(yǎng)育它的土壤、水、空氣與陽光?！比笆綌?shù)學(xué)教育一直致力于把數(shù)學(xué)知識還原到數(shù)學(xué)歷史和文化之中進(jìn)行學(xué)習(xí)與研究，著力構(gòu)建數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)歷史與文化和諧統(tǒng)一、全景、完整的數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué)。

那么，如何從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的角度，搜索、篩選出學(xué)生成長所必需而又可學(xué)、能學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容呢？如何將這些數(shù)學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)化編排、構(gòu)建成適合學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程？如何系統(tǒng)地引導(dǎo)和組織學(xué)生自主、完整地研究這些課程……多年來，我一直在思考這些問題，并帶領(lǐng)全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊在課程建設(shè)和教學(xué)中進(jìn)行系統(tǒng)的嘗試與實踐，積累了一定的實踐經(jīng)驗，此文便是我們的思考和實踐的總結(jié)。

二、緣起——從一節(jié)跨年級的公開課談起

2003年，我在山東濟(jì)寧喬羽學(xué)校任教，該校是九年一貫制學(xué)校。我在小學(xué)低年級、高年級和八年級都曾經(jīng)嘗試上同樣的一節(jié)數(shù)學(xué)課——“數(shù)學(xué)符號的秘密”，本節(jié)課有以下教學(xué)目標(biāo)：一是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到對一些符號，乃至對任何事物進(jìn)行追根溯源，都是深刻理解和認(rèn)識這些符號或事物的重要途徑；二是改變和增強(qiáng)學(xué)生的問題意識，讓學(xué)生認(rèn)識到日常生活中司空見慣的、通常認(rèn)為已經(jīng)沒有問題的地方往往隱藏著更深刻、更重要、更有價值的問題；三是引發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)歷史和文化的興趣，讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)歷史和文化的潤澤。當(dāng)然，同一課程，面對不同學(xué)段的學(xué)生，其教學(xué)目標(biāo)、難易程度以及教學(xué)容量等都是有所不同的。

課堂教學(xué)：

(課始呈現(xiàn)下面常用的數(shù)學(xué)符號)

+ - ÷ : = ≈ <> % ∏ ( ) mg kg T mm cm m km m2∥1 2 3 4 5 6 7 8 9 0……

⌒ ± ∑ ≤ ≥ log ∈ ∞ ∝ ∪ ∩ ∽ ≌ ∴ ∵ sin cos tin ≠ △ ⊥ || ……

當(dāng)然，面對小學(xué)生和初中生，我呈現(xiàn)的符號是不一樣的。面對小學(xué)生，我只呈現(xiàn)第一段中的符號，面對初中生則全部呈現(xiàn)上述符號。但是，接下來的活動都是一樣的，即要求學(xué)生“挑選出你認(rèn)為已經(jīng)了解得非常清楚，感覺已經(jīng)沒有任何問題的符號”。無論是小學(xué)低年級學(xué)生、高年級學(xué)生，還是初中生，他們最先挑選出來的幾個符號竟然出奇的一致，都是1、2、3、4、5、6、7、8、9、0這十個阿拉伯?dāng)?shù)字，理由很簡單，因為父母從小就開始教他們識數(shù)了，而且有的學(xué)生還認(rèn)為自己已經(jīng)了解了阿拉伯?dāng)?shù)字的“前世今生”(始于印度，通過阿拉伯流傳到中國)。

于是，我激勵和點(diǎn)撥學(xué)生：“你認(rèn)為最沒有問題的事物，往往存在著更大、更難、更重要、更需要進(jìn)一步解決的問題?！薄霸诖蠹叶颊J(rèn)為沒有問題的地方發(fā)現(xiàn)問題，才是最牛的事情。”“在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字中，還有重大的問題你們沒有發(fā)現(xiàn)！”這時學(xué)生個個滿臉疑惑，因為他們不認(rèn)為這些數(shù)字有問題，反倒認(rèn)為“老師的腦袋出了問題”。我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：“人類為什么用2這樣一個字符表示兩個數(shù)量？用這個字符表示3個物體可以嗎？這是沒有理由的硬性規(guī)定，還是始于無意的約定俗成？這些數(shù)字之所以這樣寫，最初的構(gòu)造邏輯到底是什么……”這些問題，很多教師可能也沒有思考和追問過，但讓我倍感意外的是，很多學(xué)生竟紛紛表示自己知道數(shù)字的“前世今生”。如有學(xué)生說：“數(shù)字0的產(chǎn)生源于原始人的狩獵活動?！惫湃瞬蹲降将C物后都是把它們放在一個圈里，當(dāng)圈里有三只獵物時，就用數(shù)字3表示；當(dāng)圈里有兩只獵物時，就用數(shù)字2表示；當(dāng)圈里有一只獵物時，就用數(shù)字1表示；當(dāng)圈里一個獵物都沒有時，就只剩下一個空空的圈了，于是就畫一個這樣空空的圈，也就是0來表示?！睂W(xué)生的回答讓我想起了自己曾經(jīng)聽過的一節(jié)課——“0的認(rèn)識”，在這節(jié)課上，執(zhí)教教師所展示的0的由來與學(xué)生的解釋一模一樣，但數(shù)字1的構(gòu)造邏輯真的是這樣嗎？

我的聯(lián)想和反思：

關(guān)于0，成人也有以下三種觀點(diǎn)：(1)認(rèn)為0的寫法源于人們以前用空格的習(xí)慣，即空的地方用筆隨手一圈比較方便，于是就有了0的寫法；(2)與學(xué)生對0的解釋一樣，認(rèn)為應(yīng)用空無一物的獵物圈表示；(3)認(rèn)為就是一個符號而已，追問這個問題沒有意義。

其實，阿拉伯?dāng)?shù)字的構(gòu)造邏輯如下。

緊接著，我又對數(shù)學(xué)的其他符號、概念、法則、規(guī)律等進(jìn)行同樣的調(diào)查和訪問。如：“km、dm、cm、mm、m2、m3的構(gòu)造邏輯是什么？”“一天為什么要規(guī)定為24小時？”“為什么三角形不叫三邊形，四邊形不叫四角形，而長方形為什么叫長方形，正方形為什么叫正方形？”“為什么先乘除后加減？”……通過調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)了一個讓人擔(dān)憂的現(xiàn)象：很多學(xué)生甚至很多數(shù)學(xué)教師，并不了解我們生活中時時使用的數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)概念的由來，不了解它的真正歷史和其蘊(yùn)含的文化。如“長方形為什么叫長方形，正方形為什么叫正方形”的問題，我們班共有30位學(xué)生，卻有22位學(xué)生都在單元猜想中提出想了解長方形和正方形名字由來的要求。我上網(wǎng)沒有查找到答案，于是咨詢了很多教師和數(shù)學(xué)教授，他們竟然也不能說出長方形和正方形名字的由來，更有甚者，他們所“明白”的竟然是沒有求證過的、想當(dāng)然的臆想或來自于以訛傳訛的“數(shù)學(xué)野史”。

我們的師生為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？問題出在哪里？我認(rèn)為，是我們的課程資源、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過程都存在相應(yīng)的不足與問題。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)歷史和文化課程、教學(xué)現(xiàn)狀與課程研發(fā)價值

(一)小學(xué)數(shù)學(xué)歷史和文化課程、教學(xué)現(xiàn)狀

第一，現(xiàn)行的很多數(shù)學(xué)教材都以知識窗的方式，碎片化、背景式地給學(xué)生呈現(xiàn)一些數(shù)學(xué)歷史和文化，編輯的內(nèi)容也相對隨意，既少又零散，對學(xué)生文化滋養(yǎng)的厚度、廣度不夠，有的甚至缺失。

第二，數(shù)學(xué)歷史和文化的編排與學(xué)習(xí)目標(biāo)存在不明確、不完整、不重視的現(xiàn)象。教材對數(shù)學(xué)歷史和文化的編排與學(xué)習(xí)目標(biāo)主要局限于知識的了解，既沒有安排相應(yīng)的常規(guī)課時，又不納入教學(xué)質(zhì)量評價范圍，屬于“正餐”之外偶爾添加的一點(diǎn)“零食”。

第三，數(shù)學(xué)歷史和文化教學(xué)到何種程度完全依賴于教師與學(xué)生的自覺。雖然有些教師能自覺搜集、整理數(shù)學(xué)歷史和文化，并將部分內(nèi)容轉(zhuǎn)化為課程，但往往不系統(tǒng)、不完整，有的可能根本不是歷史和文化的源本狀態(tài)，甚至出現(xiàn)知識性的錯誤。

第四，注重縱向的數(shù)學(xué)發(fā)展過程，較少編排橫向的數(shù)學(xué)歷史和文化的介紹與對比。

第五，數(shù)學(xué)歷史和文化的課程價值沒有得到充分的重視與開發(fā)。

第六，存在脫離數(shù)學(xué)歷史和文化教學(xué)數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)象，不能對數(shù)學(xué)概念、名詞追根溯源，導(dǎo)致很多數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)生雖知其然，卻不知其所以然。

(二)重新審視構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)歷史和文化課程的意義與價值

除了拓展學(xué)生的知識視野外，數(shù)學(xué)歷史和文化還有以下幾個方面更為重要的課程價值。

第一，進(jìn)一步認(rèn)識和理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值，明確數(shù)學(xué)內(nèi)部和數(shù)學(xué)外部之間的聯(lián)系。“數(shù)學(xué)源于生活，用于生活”，所以學(xué)生要了解其產(chǎn)生、發(fā)展和形成的過程，必然需要了解每一階段引發(fā)數(shù)學(xué)變化的內(nèi)因和外因，這樣可使學(xué)生從中感悟知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，明晰數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及社會現(xiàn)象之間的聯(lián)系，進(jìn)一步體會到數(shù)學(xué)的價值。

第二，引導(dǎo)學(xué)生以發(fā)展、變化、辯證的眼光看數(shù)學(xué)。學(xué)生長期進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)歷史和文化的學(xué)習(xí)，了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程中各個階段不同的形態(tài)，逐步形成以變化、生長、思辨的眼光看待數(shù)學(xué)的意識和能力，甚至感悟到“現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識也很可能不是固定的”，促使學(xué)生不斷深入探究數(shù)學(xué)。

第三，預(yù)見、理解和悅納數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的障礙。數(shù)學(xué)歷史和文化的學(xué)習(xí)，讓師生均能在知識逐漸進(jìn)階、升級、簡化、優(yōu)化的過程中，預(yù)見、理解、悅納出現(xiàn)的障礙，客觀、辯證地認(rèn)識自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并能從源頭找到自己出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙的原因和突破學(xué)習(xí)障礙的方法，認(rèn)識到這些障礙的突破是人類探索數(shù)學(xué)必然經(jīng)歷的過程。

第四，對數(shù)學(xué)歷史和文化的了解、學(xué)習(xí)與研究，是實現(xiàn)跨學(xué)科整合的一個極其重要的路徑。

第五，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷史和文化能開闊學(xué)生的眼界與視野，豐富學(xué)生的知識儲備，促進(jìn)學(xué)生成長為完整發(fā)展的人。學(xué)生在數(shù)學(xué)歷史和文化的研究中無疑能得到更多的文化浸潤，更有利于他們立體和完整地認(rèn)識數(shù)學(xué)、認(rèn)識歷史、認(rèn)識萬物、認(rèn)識自己所處的世界，繼而促進(jìn)學(xué)生完整地認(rèn)識自己，成長為完整發(fā)展的人。

第六，找到更適合學(xué)生當(dāng)下學(xué)習(xí)水平的學(xué)習(xí)路徑和方式。人類研究數(shù)學(xué)的進(jìn)階程度與人腦的進(jìn)化、人類對自然和社會的整體認(rèn)識水平是相匹配的，在這個不斷進(jìn)階的數(shù)學(xué)研究歷史中，總會存在“這樣一個階段”：那個階段的人研究數(shù)學(xué)的心智水平，與當(dāng)下正在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的小學(xué)生的心智水平相匹配。那么，這個階段人類研究數(shù)學(xué)的路徑和方式，也就很可能是學(xué)生學(xué)習(xí)當(dāng)下數(shù)學(xué)內(nèi)容最合適的路徑和方式。

第七，改變和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)更深刻的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感。數(shù)學(xué)歷史和文化中有很多內(nèi)容是直接記載表現(xiàn)數(shù)學(xué)與眾不同的形式美、簡潔美、奇異美、理性美，很多內(nèi)容超出學(xué)生的生活常識，富有獨(dú)特的思維挑戰(zhàn)性，能滿足學(xué)生的好奇心。同時，很多數(shù)學(xué)歷史和文化的內(nèi)容浸入藝術(shù)、體育等學(xué)科之中，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)在這些學(xué)科上的價值，促使學(xué)生更喜歡上數(shù)學(xué)、熱愛上數(shù)學(xué)。另外，數(shù)學(xué)歷史和文化的內(nèi)容還涉及社會、生活、人物、歷史史實等領(lǐng)域的各個方面，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)生動活潑的一面，使學(xué)生多維度地看待數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，豐富和完善自己的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感。

第八，數(shù)學(xué)歷史和文化課程對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有極其重要的價值。完整、簡約的數(shù)學(xué)文化史本身就是數(shù)學(xué)思考的過程、數(shù)學(xué)研究的過程、數(shù)學(xué)問題解決和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、學(xué)會數(shù)學(xué)創(chuàng)新有著極其重要的促進(jìn)作用。

第九，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神。數(shù)學(xué)歷史和文化完整地呈現(xiàn)了人類認(rèn)識從具體到抽象、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從煩瑣到簡約、從模糊到精確、從感性到理性的發(fā)展過程，使學(xué)生深刻地認(rèn)識和感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣向與追求——客觀、精確、理性的精神內(nèi)核，并逐漸形成自己做人、做事的態(tài)度。

于是，我開始陪著學(xué)生一起去研究和追溯數(shù)學(xué)符號的來源、相關(guān)文化的淵源，開始對不知道的數(shù)學(xué)概念的歷史和文化進(jìn)行糾正、完善。在和學(xué)生一起不斷探究中，我的教育教學(xué)思想也逐漸明晰，產(chǎn)生了放大知識研究過程的構(gòu)想，開始系統(tǒng)地梳理與編輯相應(yīng)的數(shù)學(xué)歷史和文化內(nèi)容，并設(shè)計相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，確立了“歷史文化課程的全景建設(shè)”的基本主張。它旨在讓學(xué)生經(jīng)歷更多數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和研究過程的同時，嘗試把每個知識點(diǎn)進(jìn)行還原，穿越古今，跨越領(lǐng)域，追根溯源，相對完整地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、衍化和發(fā)展的過程。同時，我嘗試構(gòu)建完整而又簡約的全景式數(shù)學(xué)歷史和文化課程，讓學(xué)生全面、完整地了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識的文化背景，多維度地認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、刻畫數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解更立體、更豐富、更深刻，從而獲得更為充分的情感體驗，積淀更為厚重的文化底蘊(yùn)與人文精神。

四、課程檢索和編輯的三個維度

數(shù)學(xué)歷史和文化課程的全景建設(shè)，首先研究的是課程內(nèi)容的搜索、確定和編輯，主要從縱、橫、越三個維度進(jìn)行建設(shè)。

(一)縱

數(shù)學(xué)歷史和文化課程的全景建設(shè)中的縱，是指數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)和鼓勵師生對每一個數(shù)學(xué)符號與每一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)都刨根問底、追根溯源，嘗試從它的歷史源頭開始研究，了解其產(chǎn)生、形成、發(fā)展的縱向變遷的全部過程。

案例：“全課程”數(shù)學(xué)讀本第一冊(數(shù)學(xué)的認(rèn)識課程)

2013年，我主編“全課程”數(shù)學(xué)讀本第一冊(2014～2015年度第一學(xué)期使用)，在編寫“認(rèn)識1～5”的內(nèi)容時，設(shè)計了以下兩個活動：一是在新學(xué)習(xí)階段，先讓學(xué)生用數(shù)手指的方式對同樣數(shù)量的不同物體進(jìn)行計數(shù)，再擺棋子，然后過渡到自創(chuàng)符號表示數(shù)，最后抽象出數(shù)；二是進(jìn)行識數(shù)活動“讓我來”(如下)。

學(xué)生完成上述兩個活動，其實就相當(dāng)于簡約地經(jīng)歷了人類計數(shù)衍化、發(fā)展的歷史過程，了解了數(shù)字基于使用、方便、簡潔的需要創(chuàng)造的動因、方法和過程：身體計數(shù)→以石計數(shù)→結(jié)繩計數(shù)→刻痕畫圈代替→各種符號計數(shù)。然后我出示下圖，讓學(xué)生觀察和思考：“每個國家(地區(qū))都各自用不同的符號來表示數(shù)字1，為什么唯有阿拉伯?dāng)?shù)字的1成為全世界通用的數(shù)字？”通過問題，讓學(xué)生認(rèn)識和理解人類對符號的進(jìn)一步精簡，并最終約定使用一種統(tǒng)一性的符號(阿拉伯?dāng)?shù)字)。接著，我讓學(xué)生觀看阿拉伯?dāng)?shù)字由來的視頻，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步了解阿拉伯?dāng)?shù)字的構(gòu)造邏輯，感悟其內(nèi)在本質(zhì)，體驗人類的思維、創(chuàng)造之美。最后，在學(xué)習(xí)0～10后，我又安排了以下兩個活動：一是閱讀課外繪本，了解完整的數(shù)數(shù)過程；二是和戲劇進(jìn)行整合，讓學(xué)生排演《數(shù)的產(chǎn)生》大型戲劇。這樣就使學(xué)生對人類抽象、創(chuàng)造、改進(jìn)10個數(shù)字的過程有了一個全景、完整的了解，激活和發(fā)展了學(xué)生的思維。

這樣的經(jīng)歷多了，學(xué)生自然會慢慢感悟到每個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)都能從不同的角度，用不同的方式進(jìn)行刻畫、建模和表達(dá)，使學(xué)生的理解更為充分、深刻。更重要的是，學(xué)生還能從中積累發(fā)現(xiàn)、思考和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的間接經(jīng)驗及策略，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值。

(二)橫

數(shù)學(xué)歷史和文化課程的全景建設(shè)中的橫，指了解和研究某個數(shù)學(xué)知識在同一時期、不同地域的情況。通過對不同地域數(shù)學(xué)的創(chuàng)造進(jìn)行對比，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，獲得不同地區(qū)數(shù)學(xué)歷史和文化的潤澤。

數(shù)學(xué)語言是人類語言的重要組成部分。同理，數(shù)學(xué)中的名詞、符號(概念)和固定的語句(命題等)也是數(shù)學(xué)文化意識的結(jié)晶，是人類對數(shù)學(xué)本質(zhì)的感知、抽象和概括。而且，數(shù)學(xué)名詞、符號和固定語句蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識本身，是研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它們的內(nèi)涵和外延又決定了這個概念(命題)構(gòu)造的方式、構(gòu)造的單位(字)和構(gòu)造的邏輯本身。另外，同樣的數(shù)學(xué)名詞、符號和固定語句，東西方使用了不同的字和詞，按照不同的邏輯去構(gòu)造，這其中也必然凝聚著東西方各自的不同文化。

不止于此，由于東西方字、詞的寫法蘊(yùn)含著不同的構(gòu)造邏輯與文化背景，所以我在教學(xué)中有計劃、系統(tǒng)地針對不同的內(nèi)容呈現(xiàn)不同地域(國家)、不同民族(人種)創(chuàng)造的不同表達(dá)數(shù)量的方式——不同符號(數(shù)字、圖形等)，先讓學(xué)生猜測這樣構(gòu)造的想法，再加深學(xué)生對概念理解、認(rèn)識和背后文化的感悟。因此，對東西方表達(dá)數(shù)學(xué)概念的詞匯的由來追根溯源和對比，是了解東西方不同數(shù)學(xué)文化不可或缺的方法和路徑。

1.圖形與幾何課程案例——概念構(gòu)造和界定的橫向?qū)Ρ?/p>

第二個環(huán)節(jié)，我和學(xué)生一起猜測中國定義“周長”的邏輯。先猜測“周”的含義，學(xué)生的回答為“周圍、一周、四周”；再猜測“長”的含義，學(xué)生立即猜到“長度”，這樣組合起來的“周長”就是指“周圍一周的長度”。這樣教學(xué)，通過對東西方兩個詞匯構(gòu)造邏輯的探尋和追溯，實現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生對“周長”這個概念的初步理解和認(rèn)識。

第三個環(huán)節(jié)，我引導(dǎo)學(xué)生把英文單詞perimeter表達(dá)的意思和中文“周長”表達(dá)的意思進(jìn)行對比，學(xué)生立刻認(rèn)識到環(huán)繞周圍測量的米數(shù)就是周圍一周的長度，感悟到東西方雖然語言和地域不同，但是對事物的數(shù)學(xué)認(rèn)識竟然是那么出奇的一致。我接著出示“數(shù)學(xué)是人類共同的語言”，學(xué)生馬上從心底認(rèn)同這一說法。

這個課程的設(shè)計，讓學(xué)生從東西方不同的文化中全景地看待和理解“周長”這個數(shù)學(xué)概念，深化了學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的認(rèn)識。

2.數(shù)與代數(shù)課程案例

如“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一課的教學(xué)，我與學(xué)生一起完成分?jǐn)?shù)寫法和讀法的橫向?qū)Ρ扰c研究。

活動(1)：學(xué)生通過上網(wǎng)、查資料、咨詢等途徑進(jìn)行自主研究。

活動(2)：共同交流分?jǐn)?shù)寫法之“橫”。

我把學(xué)生調(diào)查到的各國不同的分?jǐn)?shù)寫法進(jìn)行甄別、篩選和匯總，并通過多媒體呈現(xiàn)出來，然后引導(dǎo)學(xué)生猜測古代各地使用這種方式表示分?jǐn)?shù)的想法。這樣教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行初步的猜測、理解和感悟，同時也是對不同地域文化認(rèn)識的點(diǎn)滴積累。

活動(3)：交流和研究分?jǐn)?shù)讀法之“橫”。

以分?jǐn)?shù)3/4為例，中文讀“四分之三”，日本讀“四分の三”，英文讀“3 over 4 ”。通過對比，學(xué)生立刻就能意識到日本對分?jǐn)?shù)的讀法源自中國。接下來，我引導(dǎo)學(xué)生對比、猜想、搜索中英文對分?jǐn)?shù)讀法的含義和內(nèi)在的邏輯。中文對分?jǐn)?shù)3/4的讀法為“四分之三”，其語句由“四分”“之”和“三”這三部分構(gòu)成，我讓學(xué)生感悟其構(gòu)造邏輯的過程如下：①先猜測“四分”的含義——分(平均)成4份。②再猜測“之”的含義，學(xué)生的理解為“其中”“的”“拿”等。在學(xué)生充分猜想的基礎(chǔ)，我現(xiàn)場上網(wǎng)用漢典查找“之”的含義，使學(xué)生了解到“之”是會意字：之，出也，象艸過屮，枝莖益大，有所之。因此，這里的“之”是從“四份”中衍生出來的，取“出來”之意。③猜測“三”的含義，就是其中的3份。④最后，讓學(xué)生綜合起來猜測“四分之三”的意思，幾乎所有的學(xué)生都能明白是“平均分成4份后取出其中3份”的意思。

學(xué)生課后和家長一起調(diào)查，回到課上與同學(xué)交流和分享，又弄明白了英文對分?jǐn)?shù)讀法的構(gòu)造邏輯和含義。分?jǐn)?shù)3/4，英文讀法為“3 over 4 ”，也是由三部分構(gòu)成，其中over的含義有兩種：一是“在……上面”；二是數(shù)學(xué)中的“除以”。因此，分?jǐn)?shù)3/4，英文讀法的構(gòu)造邏輯是兩種會意的統(tǒng)一：一是3寫在4的上面；二是表示3除以4。這是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的源頭和動因，即在整數(shù)除法中，兩個數(shù)相除，有時不能得到整數(shù)商，為了使除法運(yùn)算可以進(jìn)行，需要引進(jìn)一種新的數(shù)——分?jǐn)?shù)。

中英文對分?jǐn)?shù)的讀法分別從“實際度量與均分”和“計算封閉的需要”兩個角度解釋了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的根源，并互為補(bǔ)充，促進(jìn)了學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，完善了學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。如果長期堅持追溯數(shù)學(xué)詞匯、符號、固定語句由來的研究，學(xué)生不僅會從一個新的視角和渠道加深對數(shù)學(xué)知識本身的理解，還會從東西方的概念構(gòu)造邏輯中感悟到構(gòu)造概念、創(chuàng)造概念的一般方式和方法，感受到東西方文化的不同和統(tǒng)一，豐富了學(xué)生的文化積淀。

(三)越

這里的越，是指發(fā)現(xiàn)和建設(shè)超越課本數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容(包括與課本數(shù)學(xué)知識相關(guān)的社會文化背景，以及與其有關(guān)的歷史故事和數(shù)學(xué)家的故事等)，及人文精神、思想意識和思維方式等。

1.發(fā)現(xiàn)和建設(shè)超越課本數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容

在數(shù)學(xué)課程建設(shè)和教學(xué)中，我會適時、適量地引入一些超越課本的數(shù)學(xué)知識，甚至超越數(shù)學(xué)本身的歷史和文化內(nèi)容。如教學(xué)圓錐的內(nèi)容時，我把學(xué)生帶到沙道上，研究自然形成的圓錐形沙堆的母線與地面的夾角，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有自然形成的圓錐形沙堆、土球的共同規(guī)律——母線與地面的夾角為51度左右。然后我讓學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)漫畫中關(guān)于埃及金字塔的介紹，感受古代埃及人的智慧和文明。

2.發(fā)現(xiàn)和建設(shè)超越數(shù)學(xué)知識本身的人文精神、思想意識和思維方式等

課程案例：長方形和正方形

長方形和正方形中“正與方”的屬性，以及作圖和測量的工具“矩”，關(guān)系著人成長所必需的品格和傳統(tǒng)的道德文化。三年級學(xué)生是規(guī)則意識深度建立的重要階段，正是基于這種思考，思想品德和社會課專門設(shè)置了養(yǎng)成課程。如人教版思想品德和社會教材專門設(shè)計《我和規(guī)則交朋友》(含自己制定規(guī)則)這個學(xué)習(xí)單元，幫助三年級學(xué)生建立規(guī)則意識，這不僅僅是思想品德和社會課教學(xué)的任務(wù)，而且是所有學(xué)科教師都要自覺實現(xiàn)的重要的公共教育目標(biāo)。為此，我特意和身兼班主任、語文學(xué)科教學(xué)的教師設(shè)計了一節(jié)超越數(shù)學(xué)本身的“圖形中的文化課”。課也是從萬物有形開啟，從象形字開始。課上我先讓學(xué)生展示自己搜索和研究的成果，如與矩、方形有關(guān)的成語、名言、典故等，然后出示奧巴馬最喜歡的、掛在白宮里的唯一的一幅名畫，與學(xué)生一起討論奧巴馬珍視這幅畫的原因，引導(dǎo)學(xué)生和日常行為規(guī)范進(jìn)行聯(lián)系，對學(xué)生進(jìn)行文化滲透和品格培養(yǎng)。

又如，教學(xué)質(zhì)量單位時，引導(dǎo)學(xué)生了解桿秤上蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)、天文知識和中國古代的人文精神；教學(xué)長度單位時，引導(dǎo)學(xué)生了解與長度單位有關(guān)的國內(nèi)外文學(xué)、歷史、哲學(xué)等知識。

課程案例：用“2×5-9”編題

二年級上學(xué)期，學(xué)習(xí)乘減法之后，我讓學(xué)生聯(lián)系實際生活，用“2×5-9”編題。生1：“有2輛汽車，每輛車上坐5個人，撞死了9個人，還剩下幾個人？”我評價道：“符合要求，但是同學(xué)們對這樣的題有什么感覺？”學(xué)生都皺著眉頭說：“太可怕了，太悲慘了。”“對！我們要想一些美好的事情?！鄙?馬上舉手說：“2輛汽車，每輛車上坐5個新娘子，被新郎領(lǐng)走了9個，還剩下幾個新娘子？”學(xué)生聽后哈哈大笑?！跋矐c的婚禮是挺美好的。大家能不能說說發(fā)生在我們自己身邊的事？”生3：“我爸爸昨天買了2盒桃子，每盒5個，我送給對門的老爺爺9個，我留下了幾個？”“你懂得尊敬老人、關(guān)愛老人，非常好！這件事是真的嗎，孩子？”他羞愧地回答道：“不是。”“我建議大家講一些真實的事情?！鄙?：“我畫了一幅畫，每行畫5個三角形，畫了2行，被我劃掉9個，還剩下幾個？”他的編題贏得了大家的掌聲。最后，我讓學(xué)生課后再到生活中去尋找用“2 ×5-9”來解決的真實問題和事情。

學(xué)生的回答從知識訓(xùn)練的角度看是沒問題的，但細(xì)心的數(shù)學(xué)教師會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在編題中存在說謊和涉及暴力等不良現(xiàn)象。如果我們教師能在關(guān)注知識傳授的同時，使學(xué)生形成向善、尚美的品格，特別是求真的心，不是更好嗎？所以，我利用這樣一個小小的契機(jī)進(jìn)行引導(dǎo)，最終讓學(xué)生的思維和情感趨向真善，對學(xué)生進(jìn)行了超越學(xué)科的人文精神和情懷的文化滋養(yǎng)。

這里需要特別注意的是，歷史和文化課程素材的收集需要長期堅持：第一，堅持和學(xué)生一起探究，且以學(xué)生自己搜集、研究的素材為主。只有這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)和研究才會真正發(fā)生，學(xué)生自主學(xué)習(xí)和研究的能力才會逐步得到培養(yǎng)與提升。第二，堅持和其他學(xué)科教師及家長協(xié)同進(jìn)行。第三，堅持引導(dǎo)學(xué)生對搜集的資料進(jìn)行縱、橫的分類和整理，嘗試?yán)迩迤渲械倪壿嬯P(guān)系。第四，堅持根據(jù)學(xué)生當(dāng)下學(xué)習(xí)和生活的實際情況合理安排，防止加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)，耽誤正式課時的學(xué)習(xí)。(未完，待續(xù))