Vasicek模型下可違約債券的現(xiàn)值推導(dǎo)

秦絲絲

(河南工學(xué)院管理工程系，河南 新鄉(xiāng) 453003)

20世紀(jì)90年代以來，商業(yè)銀行開始了金融創(chuàng)新，經(jīng)濟(jì)和金融的全球化需要金融改革。利率和匯率市場化已經(jīng)得到認(rèn)可，隨之而來的是金融衍生品的大量涌現(xiàn)。信用衍生品是金融衍生市場的一大發(fā)展，其基本功能是轉(zhuǎn)移信用風(fēng)險(xiǎn)。這些工具允許銀行或其他機(jī)構(gòu)暴露于信用風(fēng)險(xiǎn)，并將風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給其他投資者。信用衍生品有多種形式和規(guī)模，可根據(jù)其參考實(shí)體(公司或國家)的數(shù)量，將其歸類為單名和多名信用衍生品。信用違約互換(CDS)作為信用衍生品的主流產(chǎn)品，在金融市場中扮演著規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的角色。信用違約互換最初是Jp摩根(Jp Morgan)在1994年發(fā)明的，通常用來管理企業(yè)因持有債務(wù)而產(chǎn)生的違約風(fēng)險(xiǎn)。CDS是雙方之間的信用衍生品合約，保護(hù)買方(通常是銀行)定期向保護(hù)賣方(通常是AIG等保險(xiǎn)公司)付款，而作為回報(bào)，當(dāng)信用事件發(fā)生時(shí)，前者將獲得償付。這種支付被定義為CDS價(jià)差，即按季度或每年支付欠款，并被用來衡量市場參與者對違約風(fēng)險(xiǎn)的感知，償付是指定公司債券面值與市場價(jià)值之間的差額。

CDS作為風(fēng)險(xiǎn)管理的一個(gè)新興工具，在計(jì)算中很難做出一個(gè)合理的定價(jià)，尤其是理論方法的選擇，雖然相關(guān)的定價(jià)模型有了快速發(fā)展，但是它們是否能正確模擬信用違約互換的價(jià)格仍然需要大量的證據(jù)來證明。近年來，CDS市場相對狹窄，信息披露有限，制約了CDS定價(jià)模式的形成。本文致力于利用簡化的Vasicek模型探討隨機(jī)波動對可違約債券價(jià)格的影響。

Vasicek模型的特征有在于：方程式是線性設(shè)置；可以明確的得到解的值；短期利率呈高斯分布；同時(shí)一些利率相關(guān)因子的表達(dá)和分布可以容易的得到。但是，這個(gè)模型也有缺陷，例如正向的違約概率可能伴隨負(fù)向的利率。本文從一個(gè)模型的基本假設(shè)入手：

(1)在風(fēng)險(xiǎn)中立世界，利率服從Vasicek模型：

dr=(a-br)dt+θdwr

(1)

(2)

(3)

(4)wr、wλ、wv是布朗運(yùn)動且相互獨(dú)立。

(5)國庫券回收T=RB， 這里R 代表回收率，B代表無違約零息債券的價(jià)值，B(r, t)應(yīng)該滿足。

(4)

假定零息債券的表達(dá)式為：

B(r,t)=exp(A(t,T)-D(t,T)r)

(5)

其中：

(6)

在這個(gè)假設(shè)的前提下，可以得到違約債券的定價(jià)公式：

=0

V(r,λ,v,T)=1

(7)

令W(λ,v,t)作為企業(yè)的存活概率，那么債券價(jià)格可以被表示為：

V(λ,r,v,t)=W(λ,v,t)B(r,t)+(1-W(λ,v,t))RB(r,t)

(8)

這里W滿足：

W(λ,v,T)=1

(9)

假設(shè)以上公式的解為：W(λ,v,t)=exp(X(t,T)-Y(t,T)λ-Z(t,T)v)

(10)

使用CIR模型中出現(xiàn)過的類似方法，基于邊界條件X(T,T)=0、Y(T,T)=0、Z(T,T)=0，可以得到對應(yīng)的值：

(11)

(6)如果選擇市場價(jià)值的恢復(fù)M=RV，那么可違約債券的定價(jià)公式變?yōu)椋?/p>

V(r,λ,v,T)=1

(12)

債券價(jià)值的解：V(λ,r,v,t)=exp(F(t,T)-G(t,T)λ-H(t,T)r-J(t,T)v)

其中：

江西服裝學(xué)院是經(jīng)國家教育部批準(zhǔn)設(shè)立的全日制普通本科高校，學(xué)院現(xiàn)有各類在校生13000余人。學(xué)生數(shù)量不斷增加，但學(xué)生公寓管理仍舊采用原始紙質(zhì)和人工整理方式，導(dǎo)致學(xué)生公寓管理質(zhì)量得不到更好地改善[2]。

(13)

這部分主要討論了簡化模型下的可違約債券價(jià)格，提供了一種伴隨隨機(jī)波動的違約強(qiáng)度模型，并且構(gòu)建了無套利條件下債券價(jià)格，同時(shí)得到了在限定條件下的債券價(jià)格的現(xiàn)值的解。這里的債券價(jià)格決定于利率、違約強(qiáng)度和波動，利率服從Vasicek模型同時(shí)也適用于均值回歸的特征。包含隨機(jī)波動的違約強(qiáng)度已經(jīng)被證明實(shí)用性更強(qiáng)。但是Duffie、Singleton和其他經(jīng)濟(jì)學(xué)家的研究發(fā)現(xiàn)信用價(jià)差的期限結(jié)構(gòu)對波動的變化并不敏感。另外，違約強(qiáng)度和波動不能直接在債券市場被觀察到，所以該模型涉及到的變量因子很難收集。

Vasicek和CIR模型都是用線性的均值回歸標(biāo)準(zhǔn)模擬偏移成分，但是后續(xù)研究建議偏移成分是非線性的，在低利率的情況下均值回歸的影響是微弱的，但是它會隨著即期利率的增加而增長。Ahn和Gao(1999)采用了以下方式：

同時(shí)他們也計(jì)算出了均值回歸的期望值：

(14)

γ[a;b]代表不完全伽瑪函數(shù)。

基于Ahn、Gao模型，存在假設(shè)：

對V(r,λ,v,t)應(yīng)用伊藤定理得到：

(15)

很明顯這是一個(gè)非線性偏微分方程，通常情況下不能得到閉合形式的解。現(xiàn)在，對利率的長期均值回歸采用泰勒近似展開式。

設(shè)置：θ=Et[r(s)|r(t)]

(16)

將公式(16)代入公式(15)得到近似方程：

(17)

這里可以得到一個(gè)線性的方程，接著采用一個(gè)常用的方法去解該方程。

假設(shè)公式(17)的解：

V(r,λ,v,t)=exp(A(t,T)+B(t,T)r+C(t,T)λ+D(t,T)v)

(18)

伴隨邊界條件：A(T,T)=B(T,T)=C(T,T)=D(T,T)=0

(19)

得到對應(yīng)值：

最后得到非仿射假設(shè)的利率和服從CIR的違約強(qiáng)度的可違約債券近似解。

本文基于假設(shè)前提：利率和違約概率遵循簡化的Vasicek過程，根據(jù)相關(guān)假設(shè)，借助伊藤定理推導(dǎo)出可違約債券的現(xiàn)值，同時(shí)加入了討論在簡化模型下隨機(jī)波動對違約債券定價(jià)的影響。另外，文章借助Ahn、Gao模型，利用非線性的均值回歸標(biāo)準(zhǔn)模擬偏移成分，最終得到可違約債券的價(jià)格近似值，這也是文章的一個(gè)創(chuàng)新之處。

[1] Brigo, D.Constant maturity credit default swap pricing with market models[J].Available at SSRN 639022，2004.

[2] Brigo, D.and Mercurio, F.Interest rate models[J].1st edn.Berlin:Springer，2006.

[3] Cairns, A.J.Interest rate models:an introduction(Vol.10)[J].princeton University press，2004.

[4] Hull, J.C.and White, A.D.The valuation of credit default swap options[J].The journal of derivatives,2003,10(03), 40-50.