基于物質(zhì)點(diǎn)法的彈體侵徹靶板破甲特性數(shù)值模擬

秦業(yè)志，姚熊亮，王志凱，王瑩

哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001

0 引 言

現(xiàn)代海戰(zhàn)中，艦船結(jié)構(gòu)在遭受魚雷、反艦導(dǎo)彈等接觸攻擊時(shí)，在彈體的穿甲作用下易造成板殼結(jié)構(gòu)的毀傷。艦船殼板穿甲過程是一個(gè)非線性、高瞬態(tài)的過程，它涉及到了材料大變形表現(xiàn)出的物理非線性、結(jié)構(gòu)接觸、材料摩擦等問題，因此具有一定的復(fù)雜性［1］。艦船板殼結(jié)構(gòu)穿甲研究的方法通常采用理論研究、實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬等方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算成本日益降低，數(shù)值算法日臻成熟，使數(shù)值模擬成為研究穿甲問題時(shí)采用的主要方法。

目前，數(shù)值模擬船殼板結(jié)構(gòu)穿甲過程的主要方法為有限元法和無網(wǎng)格法。基于拉格朗日描述的有限元方法是將網(wǎng)格附著在材料上，隨著材料的變形，網(wǎng)格也隨之變形，其基本思想是將函數(shù)定義在簡單的幾何形狀的單元域上，通過插值函數(shù)計(jì)算單元場內(nèi)函數(shù)的近似解，從而得到整個(gè)求解域內(nèi)的近似解。對(duì)于用有限元法處理彈體高速侵徹靶板的問題，材料發(fā)生大變形，單元容易產(chǎn)生嚴(yán)重的畸變，造成計(jì)算精度下降，甚至是導(dǎo)致計(jì)算中止?？梢?，對(duì)于極端大變形的問題，有限元法存在缺陷，特別是在模擬彈體侵徹靶板的過程中不能很好地模擬靶板破口的形態(tài)及動(dòng)態(tài)形成過程。而無網(wǎng)格法在處理大變形問題時(shí)則體現(xiàn)出了優(yōu)勢。

最初，人們普遍認(rèn)為無網(wǎng)格方法是上世紀(jì)70年代提出的光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)（Smoothed Particle Hydrodynamic，SPH）方法。SPH方法當(dāng)時(shí)主要用于研究天體物理學(xué)問題，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，已被廣泛應(yīng)用于爆炸與沖擊動(dòng)力學(xué)、水動(dòng)力學(xué)、流體碰撞霧化等領(lǐng)域，且取得了顯著的研究成果［2］。此后，無網(wǎng)格法的研究得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，提出了許多新的無網(wǎng)格法。典型的無網(wǎng)格法包括多種方法，如伽遼金型無網(wǎng)格法、配點(diǎn)型無網(wǎng)格法、基于局部弱形式和邊界積分方程的無網(wǎng)格法、最小二乘法和物質(zhì)點(diǎn)法（Material Point Method，MPM）［3-4］。1994年，Sulsky等［5-6］將質(zhì)點(diǎn)網(wǎng)格（Particle-in-cell）方法應(yīng)用到了固體力學(xué)問題的研究中，并對(duì)數(shù)值方法進(jìn)行了改進(jìn)，由此提出MPM法。如今，該方法已成功應(yīng)用于材料破壞、碰撞沖擊、生物力學(xué)等問題的研究，尤其是在處理材料破壞及材料大變形的問題時(shí)具有很大的優(yōu)勢。MPM法是一種質(zhì)點(diǎn)類無網(wǎng)格方法，它將連續(xù)體離散成一組攜帶有所有物質(zhì)信息的物質(zhì)點(diǎn)，通過物質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)表示物體的變形。同時(shí)，將物質(zhì)點(diǎn)固聯(lián)到背景網(wǎng)格上，背景網(wǎng)格可以固定或自由布置，從而用于動(dòng)量方程的求解和空間導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。在求解過程中，物質(zhì)點(diǎn)和網(wǎng)格點(diǎn)沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，避免了歐拉法因非線性對(duì)流項(xiàng)產(chǎn)生的數(shù)值困難，并且極易跟蹤到物質(zhì)界面。而在下一時(shí)間步中，仍采用未變形的背景網(wǎng)格，拋棄變形后的背景網(wǎng)格，因此避免了拉格朗日法因網(wǎng)格畸變而產(chǎn)生的數(shù)值困難。MPM法發(fā)揮了拉格朗日方法和歐拉方法各自的優(yōu)點(diǎn)，非常適合用于分析超高速碰撞、侵徹等問題。例如，Lian等［7］運(yùn)用MPM法成功模擬了鎢彈侵徹鋼靶等問題。Ma等［8］基于局部多重背景網(wǎng)格的物質(zhì)點(diǎn)算法模擬了中、低速侵徹問題。馬上等［9］運(yùn)用MPM法研究了彈丸高速碰撞板的一系列問題。

本文針對(duì)彈體侵徹船用鋼板的破甲特性，將重點(diǎn)研究靶板破壞形成的動(dòng)態(tài)過程以及靶板的破壞形式，采用MPM法研究得到與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好的數(shù)值仿真結(jié)果，以驗(yàn)證MPM法的有效性，從而為研究彈體侵徹船用鋼板材料的破甲問題提供新的研究途徑。

1 物質(zhì)點(diǎn)算法

1.1 控制方程及物質(zhì)點(diǎn)離散

本文不考慮熱效應(yīng)，更新拉格朗日格式的控制方程如下［10-11］。

質(zhì)量守恒方程：

式中：為現(xiàn)時(shí)構(gòu)形物體的密度；為雅克比行列式；為物體初始時(shí)刻的密度。

動(dòng)量守恒方程：

式中：σij為柯西應(yīng)力張量，其中i，j為空間坐標(biāo)的分量；ρ為當(dāng)前時(shí)刻的密度；bi為作用在物體單位質(zhì)量上的體力；為在i方向的加速度。

能量守恒方程：

式中：?為單位質(zhì)量的內(nèi)能；Dij為變形率張量。

本構(gòu)關(guān)系：

式中：σ?為焦曼應(yīng)力率。

幾何方程：

式中：為應(yīng)變率；vi，j和vj，i為質(zhì)點(diǎn)在空間坐標(biāo)i，j方向的速度分量。

邊界條件：

式中:nj為材料邊界的單位法線方向；Γt和Γv分別為現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中指定的面力邊界和速度邊界為質(zhì)點(diǎn)在i方向的速度；分別為指定的面力和速度。

初始條件：

式中為質(zhì)點(diǎn)在i方向的位移；為質(zhì)點(diǎn)在i方向的速度為質(zhì)點(diǎn)在i方向的初始位移；為質(zhì)點(diǎn)在i方向的初始速度。

MPM法將連續(xù)體離散成一組質(zhì)點(diǎn)，如圖1所示。圖中，V為材料體積域，Vp為質(zhì)點(diǎn)的體積域，Γ為構(gòu)形中的指定邊界。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)代表一塊材料區(qū)域，同時(shí)攜帶物質(zhì)信息，包括質(zhì)量、速度、應(yīng)力和應(yīng)變等。物質(zhì)點(diǎn)固連在背景網(wǎng)格內(nèi)，背景網(wǎng)格用于計(jì)算空間導(dǎo)數(shù)及求解物體運(yùn)動(dòng)。

因此，離散連續(xù)體的密度ρ(xi)可以近似表示為

式中：np為質(zhì)點(diǎn)總數(shù)；mp為質(zhì)點(diǎn)p的質(zhì)量；δ為Dirac Delta函數(shù)；xi為質(zhì)量的坐標(biāo)；xip為質(zhì)點(diǎn)p的坐標(biāo)。

在求解動(dòng)量方程時(shí)，物質(zhì)點(diǎn)和背景網(wǎng)格完全固連，并隨網(wǎng)格一起運(yùn)動(dòng)，因此，可建立背景網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的有限元形函數(shù)NI(xi)來實(shí)現(xiàn)物質(zhì)點(diǎn)和背景網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之間信息的映射關(guān)系，如式（9）所示［12］。其中，帶下標(biāo)I，J的量表示該網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)變量，帶下標(biāo)p的量表示質(zhì)點(diǎn)攜帶的變量物質(zhì)點(diǎn)和該網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之間的映射關(guān)系，即

式中：為網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)I的形函數(shù)在質(zhì)點(diǎn)處的值；uiI為結(jié)點(diǎn)I在i方向上的位移。

背景網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

背景網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)I的內(nèi)力為

式中：σijp為質(zhì)點(diǎn)的柯西應(yīng)力張量。

背景網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)I的外力為

式中，h0為假想邊界層的厚度。

1.2 MPM求解方法

MPM法的求解有不同的實(shí)現(xiàn)格式，Sulsky和Bardenhagen等［5，13］討論了 2 種更新的應(yīng)力求解格式 ，即 USF（Update Stress First）和 USL（Update Stress Last）格式。質(zhì)點(diǎn)上的應(yīng)變率是基于更新后的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)速度得到。此外，有人提出了一種改進(jìn)的USL格式，即MUSL（Modified Update Stress Last）格式，并得到了廣泛應(yīng)用，如下式［14］。

式中：NpI，i和NpI，j分別為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)I的形函數(shù)在質(zhì)點(diǎn)處i，j方向的值；vIi，vIj分別為網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)I在i，j方向的速度。上標(biāo)n，n+1/2分別表示tn，tn+1/2時(shí)刻。

根據(jù)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)速度計(jì)算方法的不同，得到不同的求解格式如下：

1）USF格式。首先在每個(gè)時(shí)間步計(jì)算應(yīng)變率，然后更新應(yīng)變率，利用更新前的結(jié)點(diǎn)動(dòng)量計(jì)算結(jié)點(diǎn)速度，最后代入式（15）得到應(yīng)變率

2）USL格式。直接用網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)動(dòng)量來計(jì)算結(jié)點(diǎn)速度，即

式中，為網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)I在i方向n時(shí)刻的動(dòng)量。

3）MUSL格式。將更新后的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)動(dòng)量映射到背景網(wǎng)格后再次計(jì)算結(jié)點(diǎn)的速度，

式中，vp i為質(zhì)點(diǎn)在i方向的速度.

在本文研究中，采用MUSL格式的求解方法。

1.3 材料本構(gòu)模型及物態(tài)方程

彈體和靶板的材料分別為D6A鋼和船用外殼921鋼，它們均采用Johnson-Cook本構(gòu)模型，而狀態(tài)方程則采用Mie-Grunesien狀態(tài)方程。D6A鋼的層裂強(qiáng)度取為7.68 GPa，921鋼的層裂強(qiáng)度取為 6.24 GPa［15］。

Johnson-Cook本構(gòu)模型屈服應(yīng)力表達(dá)式為

式中：σ0為靜態(tài)屈服強(qiáng)度；B0和n為應(yīng)變硬化參數(shù)；C為應(yīng)變強(qiáng)化參數(shù)；m為熱軟化參數(shù)；εe為等效塑性應(yīng)變；為等效塑性應(yīng)變率；為參考應(yīng)變率；T*為無量綱溫度，且，其中Tm為熔點(diǎn)溫度，Tr為室溫，e為內(nèi)能，e0為高能炸藥單位質(zhì)量的內(nèi)能，CV為比熱。

Mie-Grunesien狀態(tài)方程表達(dá)式為

式中：γ為Gruneisen常數(shù)；PH為沖擊Hugoniot曲線上點(diǎn)的壓力；ξ為爆轟產(chǎn)物中的相對(duì)比容。

此刻，盜走尸體的這只山精，體型粗壯，比成人還要高著一頭，一身漆黑油亮的毛，蓬松而茂密，一看便是一只正處壯年的雄性山精。

彈體和靶板的具體參數(shù)［16］如表1所示。

表1 材料模型參數(shù)Table 1 The parameters of material model

2 物質(zhì)點(diǎn)法驗(yàn)證

本文研究的彈體采用實(shí)心球頭，直徑為25 mm，球頭半徑為12.5 mm，彈體靶前速度V0=280 m/s，如圖2所示。彈體所用材料為硬度很高的D6A特種鋼，通常用于彈體的制造。靶板尺寸為400 mm×400 mm×5 mm，材料為應(yīng)變率敏感的921鋼。

模擬中，彈體以V0=280 m/s的速度沖擊靶板，隨后靶板產(chǎn)生塑性大變形，彈體速度隨著時(shí)間的增加而減小，穿過靶板后，彈體以穩(wěn)定的速度向前運(yùn)動(dòng)，并最終衰減為靶后速度V1=185 m/s，其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差不大。圖3所示為彈體侵徹靶板各時(shí)刻的破壞情況。圖4所示為彈體穿透靶板后的變形狀態(tài)。圖5所示為靶板背面的破口變形狀態(tài)。

由圖3～圖5可以看出，彈體以V0=280 m/s的速度沖擊靶板，靶板產(chǎn)生沖塞破壞，且隨著時(shí)間的增加，靶板產(chǎn)生的塑性變形增大，靶板材料受到嚴(yán)重的擠壓，產(chǎn)生大的變形，形成盤形凹陷。隨著彈體的繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，靶板材料在運(yùn)動(dòng)方向上持續(xù)變形，當(dāng)靶板材料隆起的塑性變形達(dá)到一定程度后，斷裂形成的沖塞體從靶體中飛離，沿著穿透方向繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)。當(dāng)彈體穿透靶板后，靶板面上形成一個(gè)近似圓形的靶孔，其直徑與彈體直徑相近。表2所示為采用MPM法和實(shí)驗(yàn)方法得到的彈體沖擊靶板過程中的結(jié)果，由表2可知兩種結(jié)果比較接近，相對(duì)誤差小于6%。

表2 彈體侵徹靶板的MPM法和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Table 2 Comparison of results acquired by MPM and experiment when the projectile penetrating target plate

3 彈體侵徹靶板數(shù)值模擬結(jié)果分析

本文基于建立的數(shù)值仿真模型，研究了彈體以不同靶前速度分別侵徹5和10 mm厚靶板時(shí)的破甲特性，并運(yùn)用MPM法對(duì)彈體侵徹靶板的過程進(jìn)行了仿真。彈體侵徹后靶板的破壞形態(tài)如圖6和圖7所示。

對(duì)于研究彈體侵徹靶板的問題，重點(diǎn)關(guān)注了靶板破口直徑和彈體剩余速度（即靶后速度）。由圖8、圖9以及表3可知：當(dāng)彈體從中、高速和超高速狀態(tài)沖擊靶板時(shí)，靶板破口在26～35 mm之間；對(duì)于5 mm厚靶板的破壞形態(tài)，彈體速度越高，靶板破口直徑越?。辉诟咚?、超高速?zèng)_擊狀態(tài)下，靶板破口幾乎與彈體直徑相同，隨著彈體初速的增加，靶板沖塞破口隆起的高度也隨之增大，但彈體自身幾乎未發(fā)生變形；當(dāng)靶板厚度為10 mm時(shí)，靶板破口直徑同樣略大于彈體直徑，隨著彈體速度的增加，靶板隆起高度的規(guī)律與薄板一樣，即隆起高度減小，但其明顯的區(qū)別是彈體頭部出現(xiàn)了變形。當(dāng)撞擊厚板時(shí)，彈體頭部形狀發(fā)生變形，而侵徹靶板時(shí)彈體幾乎不發(fā)生變形。在同樣的侵徹速度下，侵徹厚板比侵徹薄板產(chǎn)生的破口隆起的高度要小，厚板的破口半徑略小于薄板，侵徹厚板的彈體變形比侵徹薄板的變形要大。對(duì)于彈體侵徹靶板，靶板越厚，彈體減小的速度幅度越大，消耗的能量就越多，故板厚影響了彈體最終的剩余速度，這一結(jié)論對(duì)于研究彈體侵徹多層靶板具有參考意義［17］。

表3 彈體侵徹靶板的仿真結(jié)果比較Table3 Simulaiton results comparison of the projectile penetrating target plate

4 結(jié) 論

本文根據(jù)MPM法在模擬超高速碰撞方面的優(yōu)勢，特別是能夠較好地模擬靶板破口的形成過程，建立了導(dǎo)彈侵徹艦船典型的板殼結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，仿真結(jié)果驗(yàn)證了MPM法的有效性。在此基礎(chǔ)上，用該數(shù)值方法研究了彈體速度變化和靶板板厚變化下的破壞形態(tài)，得出如下結(jié)論：

1）MPM法數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，說明采用MPM法模擬船體板殼穿甲問題完全可行。對(duì)于艦船板殼結(jié)構(gòu)受到彈體沖擊的大變形問題，MPM法不僅可以模擬靶板材料的破壞形式，還可以對(duì)材料的破壞程度進(jìn)行評(píng)估，故是一種研究艦船板殼結(jié)構(gòu)穿甲問題的新的有效方法。

2）以25 mm直徑彈體為例，模擬其以不同速度侵徹5和10 mm厚靶板，得到靶板破口直徑在26～29.5 mm之間，塑性變形區(qū)的范圍大小幾乎不變，約30 mm；彈體速度對(duì)靶板破口的影響很小，但對(duì)靶板沖塞破口隆起的高度影響較大；彈體速度越高，靶板越厚，彈體頭部更會(huì)產(chǎn)生變形。彈體侵徹靶板的破壞屬于沖塞穿甲形式，符合實(shí)驗(yàn)研究的規(guī)律。

3）本文建立的數(shù)值模型能夠很好地模擬彈體侵徹靶板的破壞形成過程，相對(duì)誤差小于6%，模擬精確度高，所以本方法具有可行性，數(shù)值模擬結(jié)果可用于指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，并為艦船橫艙壁防護(hù)設(shè)計(jì)提供參考。

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