弧形閘門(mén)支臂結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性振動(dòng)及混沌現(xiàn)象

張 健，謝智雄

(河海大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇常州213022)

0 引 言

弧形閘門(mén)支臂結(jié)構(gòu)的安全影響著整個(gè)弧形閘門(mén)的安全，根據(jù)國(guó)內(nèi)外對(duì)弧形閘門(mén)事故的調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)：弧形閘門(mén)產(chǎn)生破壞的主要原因就是閘門(mén)支臂結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)破壞，并且有文獻(xiàn)指出，只要?jiǎng)铀畨毫Φ募ふ衲芰坎皇呛艽?，閘門(mén)不容易出現(xiàn)整體框架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，但是支臂發(fā)生單獨(dú)振動(dòng)的可能性卻是很大的，因而有必要對(duì)弧形閘門(mén)支臂結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性振動(dòng)做進(jìn)一步的分析研究。

混沌來(lái)源于非線(xiàn)性，在非線(xiàn)性振動(dòng)過(guò)程中有可能存在混沌現(xiàn)象，在線(xiàn)性系統(tǒng)中不會(huì)產(chǎn)生?；煦绱嬖谟谀承┐_定性的系統(tǒng)中，而且不需要任何附加的隨機(jī)因素。混沌振動(dòng)具有以下的一些特點(diǎn)：由確定性因素產(chǎn)生，具有有界性，具有非周期性，對(duì)初始條件具有極端敏感性。本文通過(guò)有界性和非周期性來(lái)判斷弧形閘門(mén)支臂結(jié)構(gòu)振動(dòng)是否存在混沌現(xiàn)象，并通過(guò)功率譜圖和Lyapunov指數(shù)進(jìn)一步確認(rèn)了支臂結(jié)構(gòu)振動(dòng)確實(shí)存在混沌現(xiàn)象。

1 閘門(mén)支臂結(jié)構(gòu)動(dòng)力微分方程的建立

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，在一定開(kāi)度下，弧形閘門(mén)泄流產(chǎn)生的動(dòng)力荷載可以轉(zhuǎn)化為周期性變化的動(dòng)水荷載，在考慮到考慮非線(xiàn)性影響因素后，其動(dòng)力屈曲方程的一般形式為

(1)

式中，A，B，C是與梁的動(dòng)力屈曲模態(tài)有關(guān)的常數(shù)矩陣；I為單位陣；f為廣義坐標(biāo)列陣；Φ(t)為周期函數(shù)；α、β為荷載參數(shù)。

方程(1)是一個(gè)齊次非線(xiàn)性微分方程，而混沌只會(huì)發(fā)生在非線(xiàn)性系統(tǒng)中，因而研究方程(1)是有可能發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象的。

1.1 支臂結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖

根據(jù)國(guó)內(nèi)外一些實(shí)測(cè)結(jié)果，將支臂結(jié)構(gòu)按照兩端鉸接壓桿計(jì)算得到的自振頻率值與實(shí)測(cè)頻率值很接近，因此可以將支臂結(jié)構(gòu)按照簡(jiǎn)支梁模型來(lái)分析。本文將支臂看成是兩端鉸接的壓桿，在軸向干擾力的作用下進(jìn)行動(dòng)力穩(wěn)定性分析，支臂結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型如圖1所示。

圖1 支臂結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

1.2 支臂結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)微分方程的建立

對(duì)于圖1所示的支臂結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型，在荷載的作用下支臂將產(chǎn)生橫向彎曲，根據(jù)文獻(xiàn)[3]發(fā)現(xiàn)支臂阻尼對(duì)支臂振動(dòng)主要不穩(wěn)定區(qū)域的影響較小，可忽略阻尼對(duì)支臂振動(dòng)的影響。

根據(jù)支臂結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型，由動(dòng)力平衡條件，建立無(wú)阻尼動(dòng)力微分方程為

(2)

式中，E為彈性模量；I為截面慣性矩；p0+ptcos(θt)為周期性變化動(dòng)水荷載；A為支臂橫截面面積；α為支臂的傾角；m為支臂的質(zhì)量；v為支臂的撓度。

(3)

由式(3)可得

(4)

(5)

于是可得到無(wú)量綱形式的動(dòng)力學(xué)微分方程

(6)

2 支臂結(jié)構(gòu)振動(dòng)的混沌現(xiàn)象

混沌是發(fā)生在確定性非線(xiàn)性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，看似混亂無(wú)序，但是又頗有規(guī)律。由于系統(tǒng)的非線(xiàn)性，在滿(mǎn)足一定條件的振動(dòng)系統(tǒng)中，即使是在受到規(guī)則的激勵(lì)后也會(huì)產(chǎn)生貌似無(wú)規(guī)則的永不重復(fù)的振動(dòng)響應(yīng)?；煦绠a(chǎn)生的主要原因就是系統(tǒng)對(duì)初始條件的十分敏感性，即使初始條件有微小的差別也有可能使得系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象?；煦邕\(yùn)動(dòng)的形態(tài)是十分復(fù)雜的，很難通過(guò)解析計(jì)算來(lái)描述，本文主要是通過(guò)計(jì)算機(jī)的數(shù)值仿真來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)混沌現(xiàn)象的描述。

弧形閘門(mén)在發(fā)生振動(dòng)時(shí)，支臂會(huì)產(chǎn)生動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域，當(dāng)非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，就有可能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，因此在研究混沌振動(dòng)之前，要先解決系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。根據(jù)一些調(diào)查弧形閘門(mén)失事報(bào)告經(jīng)過(guò)解析分析得出結(jié)論：在把支臂作為兩端鉸接的軸心壓桿，所施加的軸向干擾力為p(t)，當(dāng)干擾力的頻率θ等于支臂的橫向振動(dòng)固有頻率Ω的2倍時(shí)，支臂將發(fā)生參數(shù)共振，喪失穩(wěn)定。在本文中分析混沌振動(dòng)時(shí)不妨取θ=2Ω，此時(shí)當(dāng)施加的軸向干擾力的某些參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，系統(tǒng)就有可能會(huì)發(fā)生混沌現(xiàn)象。

(7)

將以上數(shù)據(jù)整理后代入一階微分方程組(7)，采用MATLAB程序利用四階龍格庫(kù)塔方法進(jìn)行數(shù)值分析，繪制相圖、時(shí)程曲線(xiàn)圖、功率譜圖并計(jì)算Lyapunov指數(shù)，通過(guò)這些方法進(jìn)行混沌的數(shù)值識(shí)別，當(dāng)圖像滿(mǎn)足一定的條件時(shí)，即可判定該系統(tǒng)是否出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象?；煦绲南鄨D不是單獨(dú)的一條封閉的曲線(xiàn)，而是一個(gè)具有往復(fù)性并且局限在某一區(qū)域內(nèi)的圖形；混沌運(yùn)動(dòng)是非周期性運(yùn)動(dòng)，功率譜譜線(xiàn)是類(lèi)似于噪聲的連續(xù)譜線(xiàn)，但是利用功率譜圖還是很難區(qū)分真正的混沌運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的；而Lyapunov指數(shù)就能避免這個(gè)問(wèn)題，只要當(dāng)Lyapunov指數(shù)中有一個(gè)值是正值，此時(shí)就產(chǎn)生了混沌運(yùn)動(dòng)。

在實(shí)際工程中，脈動(dòng)壓力幅值(即pt)是一個(gè)變量，因此在本文中以c為變量，通過(guò)選擇不同的值，利用程序繪制出相應(yīng)的圖像。

取c=5，相圖和時(shí)程曲線(xiàn)如圖2、3所示。

圖2 相圖

圖3 時(shí)程曲線(xiàn)

顯然，相圖是一個(gè)環(huán)面，時(shí)程曲線(xiàn)圖是一個(gè)規(guī)則的周期圖像，因而這是一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)。此時(shí)弧形閘門(mén)支臂沒(méi)有產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

取c=14，相圖和時(shí)程曲線(xiàn)如圖4、5所示。

圖4 相圖

圖5 時(shí)程曲線(xiàn)

顯然，相圖是局限在一定區(qū)域內(nèi)的不重復(fù)圖像，時(shí)程曲線(xiàn)圖是一個(gè)類(lèi)似噪聲無(wú)規(guī)律譜線(xiàn)圖，因而在此時(shí)系統(tǒng)有可能出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。

取c=14.8，相圖、時(shí)程曲線(xiàn)圖如圖6、7所示。

圖6 相圖

圖7 時(shí)程曲線(xiàn)

顯然，相圖是局限在某一區(qū)域內(nèi)永不重復(fù)的圖像，時(shí)程曲線(xiàn)圖是一種類(lèi)似于噪聲的無(wú)規(guī)律譜線(xiàn)，因而可以判斷系統(tǒng)有可能存在混沌現(xiàn)象。

為驗(yàn)證此時(shí)系統(tǒng)的確存在混沌現(xiàn)象，繪制功率譜圖和計(jì)算Lyapunov指數(shù)如圖8、9所示。

圖8 功率譜

圖9 Lyapunov指數(shù)

功率譜圖是一種類(lèi)似于噪聲的無(wú)規(guī)律連續(xù)譜線(xiàn)，因而可判斷系統(tǒng)有可能存在混沌現(xiàn)象。

3 結(jié) 語(yǔ)

利用MATLAB程序數(shù)值模擬的方法，通過(guò)計(jì)算機(jī)繪制出的相圖、時(shí)程曲線(xiàn)圖、功率譜圖以及Lyapunov指數(shù)發(fā)現(xiàn)弧形閘門(mén)支臂結(jié)構(gòu)在動(dòng)水荷載的激勵(lì)下可能會(huì)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。在本文中，周期倍化是產(chǎn)生混沌的途徑，當(dāng)c較小的時(shí)候，支臂結(jié)構(gòu)在激勵(lì)下做周期振動(dòng)，隨著c數(shù)值的增大，支臂非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)中產(chǎn)生了混沌。通過(guò)數(shù)值模擬的方法發(fā)現(xiàn)了混沌產(chǎn)生的途徑，對(duì)弧形閘門(mén)支臂結(jié)構(gòu)的混沌振動(dòng)有了更加直觀的認(rèn)識(shí)。

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