右端不連續(xù)奇異攝動(dòng)問(wèn)題的空間對(duì)照結(jié)構(gòu)

倪明康潘亞飛吳 瀟

(1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海200062;2.上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200062;3.南京工程學(xué)院數(shù)理部,南京211167)

許多生物、化學(xué)、工程和物理現(xiàn)象可由帶邊值問(wèn)題的微分方程或者方程組來(lái)描述.每當(dāng)將面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時(shí),學(xué)者們總是想抓住重要的量而舍棄可以忽略的量,其中就包括小參數(shù).包含小參數(shù)的模型稱為攝動(dòng)模型,而不包含小參數(shù)的簡(jiǎn)化模型稱為非攝動(dòng)或者退化模型.在研究中,攝動(dòng)模型解可以由不帶小參數(shù)的退化部分替代,前提是退化問(wèn)題的解必須與對(duì)應(yīng)的攝動(dòng)問(wèn)題的解充分接近.這種做法在正則攝動(dòng)問(wèn)題中是可行的,但是在奇異攝動(dòng)問(wèn)題中是不成立的.

奇異攝動(dòng)問(wèn)題出現(xiàn)在應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支中,如流體力學(xué)中的邊界層、固體力學(xué)中的邊緣層、量子力學(xué)中的轉(zhuǎn)點(diǎn)以及數(shù)學(xué)中的Stoks線和面.小參數(shù)擾動(dòng)會(huì)使相關(guān)的變量在非常狹窄的區(qū)間內(nèi)快速變化.在這些問(wèn)題中,小參數(shù)的擾動(dòng)會(huì)使相關(guān)的變量在區(qū)域邊界或內(nèi)部某點(diǎn)附近極小的領(lǐng)域內(nèi)快速變化.

近1個(gè)世紀(jì)以來(lái),奇異攝動(dòng)問(wèn)題的研究得到了蓬勃的發(fā)展[1-26],各種奇異攝動(dòng)方法得到了不斷發(fā)展[27-39].同時(shí),我國(guó)許多著名學(xué)者為奇異攝動(dòng)理論的發(fā)展也作出了卓越的貢獻(xiàn)[40-60],如對(duì)于連續(xù)的快慢系統(tǒng),Tikhonov定理[26]的經(jīng)典結(jié)果是,在滿足一系列確定條件時(shí)(特別是穩(wěn)定性條件≤-κ,κ＞0),(z(t),y(t))是如下方程的解:

當(dāng)ε→0時(shí),在任何有限區(qū)間[0,T0](T0＜T)上,(z(t),y(t))是一致收斂于函數(shù)對(duì),且滿足.這里,函數(shù)z=φ(y,t)是方程F(z,y,t)=0的根,而函數(shù)是如下方程的解:

進(jìn)一步,函數(shù)y(t)在區(qū)間[0,T]上一致收斂于.這樣,無(wú)論快慢變量都是收斂的,并且對(duì)快變量一致收斂性是在初始點(diǎn)任意鄰域之外.

近年來(lái),大量的工作是研究奇異攝動(dòng)問(wèn)題中的內(nèi)部層現(xiàn)象,這類解習(xí)慣稱之為空間對(duì)照結(jié)構(gòu).產(chǎn)生這種結(jié)構(gòu)的一個(gè)原因是微分系統(tǒng)的不連續(xù)性.不連續(xù)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)是指向量場(chǎng)不連續(xù)的奇異攝動(dòng)系統(tǒng),在實(shí)際力學(xué)和應(yīng)用科學(xué)等領(lǐng)域中廣泛存在,如碰撞減振器、疾病傳播、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)模型、剎車系統(tǒng)等.不連續(xù)微分系統(tǒng)一直得到廣泛研究[61-64].最近,Shi等[65]結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論討論了分段光滑微分系統(tǒng)最大極限環(huán)個(gè)數(shù)問(wèn)題;Liang等[66]研究了除鞍-鞍型以外的平面分段線性折射系統(tǒng)的極限環(huán)問(wèn)題;Kadalbajoo等[67-69]概述了1908～2009年利用漸近方法和數(shù)值方法研究這類奇異攝動(dòng)問(wèn)題近似解的發(fā)展情況.對(duì)于因不連續(xù)性而產(chǎn)生內(nèi)部層的奇異攝動(dòng)問(wèn)題的研究,主要始于1970年,因此Sharma等[70]論述了眾多學(xué)者在1970～2011年對(duì)這類奇異攝動(dòng)問(wèn)題的研究.不連續(xù)奇異攝動(dòng)問(wèn)題在過(guò)去一百年間有巨大的發(fā)展,很難用一篇綜述介紹所有類型的問(wèn)題.特別地,右端不連續(xù)的奇異攝動(dòng)問(wèn)題十分有挑戰(zhàn)性,對(duì)其研究還剛剛起步,僅停留在退化問(wèn)題只有單根的奇異攝動(dòng)系統(tǒng)，以及Tikhonov系統(tǒng).事實(shí)上,在自然科學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域中,當(dāng)處理帶有小參數(shù)的奇異攝動(dòng)問(wèn)題時(shí)常常碰到方程右端是不連續(xù)的奇異攝動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng).如在機(jī)械工程中,由于碰撞和摩擦這些不連續(xù)因素使得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)成不連續(xù)系統(tǒng),腦功能模型所反映的神經(jīng)元的不連續(xù)傳遞規(guī)律以及解釋由不同介質(zhì)組成的超導(dǎo)體所產(chǎn)生的內(nèi)部層現(xiàn)象等.因此,本綜述將詳細(xì)介紹近5年來(lái)本課題組在這一領(lǐng)域的工作.

1 右端不連續(xù)的二階非線性奇攝動(dòng)問(wèn)題

2015年,Ni等[71]和Levashova等[72]分析了具有不連續(xù)反應(yīng)項(xiàng)的奇攝動(dòng)反應(yīng)擴(kuò)散方程[13,73-74]的穩(wěn)態(tài)情形,并將漸近方法推廣到具有不連續(xù)項(xiàng)的問(wèn)題.對(duì)右端不連續(xù)的二階常微分方程的討論由此展開(kāi).

1.1 右端不連續(xù)二階半線性方程

考慮如下奇異攝動(dòng)邊值問(wèn)題:

式中:ε∈Iε0={ε|0＜ε＜ε0?1}是小參數(shù).設(shè)x0為區(qū)間(0,1)上的給定常數(shù),

易見(jiàn),問(wèn)題(1)的解u(x,ε)滿足u(x,ε)∈C1[0,1]∩(C2(0,x0)∪C2(x0,1)).

假設(shè)如下條件成立.

條件1假設(shè)函數(shù)f1(u,x,ε)和f2(u,x,ε)是分別定義在區(qū)域Iu×[0,x0]×Iε0和Iu×[x0,1]×Iε0上的充分光滑函數(shù),其中Iu為函數(shù)u(x)允許的取值范圍,并且在x=x0點(diǎn)滿足

即函數(shù)f(u,x,ε)在點(diǎn)x=x0處間斷.

條件2假設(shè)退化方程f(,x,0)=f1,2(,x,0)=0分別有孤立的退化解(x)=φ1(x),0≤x≤x0和(x)=φ2(x),x0≤x≤1,且滿足φ1(x0)?=φ2(x0).為了不失一般性,不妨假設(shè)φ1(x0)＜φ2(x0).

條件3假設(shè)函數(shù)f(u,x,0)滿足如下條件:

考慮如下輔助系統(tǒng):

式中:x為參數(shù).由條件2和3可知,對(duì)每個(gè)固定的x,點(diǎn)(φi(x),0),i=1,2是問(wèn)題(2)的鞍點(diǎn)型平衡點(diǎn).

為了確定在端點(diǎn)x=0和x=1鄰域內(nèi)的邊界層函數(shù)的首項(xiàng),考慮如下的輔助系統(tǒng):

式中:i=0,1,并且滿足

為了明確起見(jiàn)，不妨假設(shè)φi+1(i)＞ui.由條件2和3可得,在相平面上存在如下形式的分界軌道:

并且當(dāng)ξ→+∞時(shí),分界軌道趨近平衡點(diǎn)(φi(i),0),i=0,1.因此,問(wèn)題(3)的可解性條件為邊值落在退化方程相應(yīng)根的吸引域中.

條件4假設(shè)在相平面中,垂線=ui,i=0,1,與分界軌道?+橫截相交,等價(jià)于對(duì)任意的∈(φi+1(i),ui]有fi+1(s,i,0)ds＞0.

為了確定內(nèi)部層首項(xiàng),考察當(dāng)參數(shù)x=x0時(shí),輔助系統(tǒng)(2)的如下形式的邊值問(wèn)題:

式中:ξ=(x-x0)/ε;p∈(φ1(x0),φ2(x0)).由條件2和3可得,在相平面上存在的分界軌道為

并且當(dāng)ξ→?∞時(shí),分界軌道趨近平衡點(diǎn)(φi(x0),0),i=1,2.因此,問(wèn)題(4)的可解性條件為=p在退化方程相應(yīng)根的吸引域中.

條件5假設(shè)在相平面(~u,~z)中,對(duì)任意的p∈(φ1(x0),φ2(x0)),垂線=p與分界軌道?(?)相交,等價(jià)于

記

條件6假設(shè)方程H(p)=0有唯一解p=p0.

方程H(p)=0可化簡(jiǎn)為如下形式:

并且

為了構(gòu)造問(wèn)題(1)解的漸近展開(kāi)式,分別考慮2個(gè)邊值問(wèn)題,即區(qū)間[0,x0]上的邊值問(wèn)題和區(qū)間[x0,1]上的邊值問(wèn)題:

和

在問(wèn)題(5)和(6)中,函數(shù)p(ε)待定,有如下形式的漸近展開(kāi)式:

當(dāng)x∈[0,x0]時(shí),問(wèn)題(5)解的漸近展開(kāi)式為

式中:

用邊界層函數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)方法構(gòu)造漸近解.首先,將問(wèn)題(8)和(9)分別代入問(wèn)題(5)和(6);然后,依照不同尺度x,ξ,ξ0和ξ1分離變量;最后,比較ε同次冪系數(shù)可以得到確定展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的方程.特別地,正則部分首項(xiàng)滿足退化方程.當(dāng)k＞0時(shí),滿足如下代數(shù)方程:

問(wèn)題(12)是一階可分離變量微分方程,等價(jià)于輔助系統(tǒng).由條件2,3和5可得解,且由條件2可得解具有指數(shù)衰減性:

式中:c和κ是與ε無(wú)關(guān)的正常數(shù).

滿足類似(13)的指數(shù)衰減.

注意最終的解函數(shù)中包含待定量pk,k≥0,可由如下光滑縫接條件確定:

即問(wèn)題(5)和(6)解的導(dǎo)函數(shù)在間斷點(diǎn)x0處相等.

等式(16)兩邊按ε整數(shù)次冪展開(kāi),并且比較展開(kāi)式兩邊ε的各階系數(shù)可得

和

這一系列方程可確定展開(kāi)式(7)的各項(xiàng)系數(shù).

首先確定p0.在標(biāo)準(zhǔn)算法下,由式(11)可得

因此,由縫接條件(17)可知,p0由條件6確定.

將方程(14)代入縫接條件(18),將得到如下確定pk(k≥1)的方程:

式中:

至此,對(duì)任意k≥0已確定內(nèi)部層級(jí)數(shù)系數(shù)函數(shù).因此,可得問(wèn)題(1)解的n+1階漸近展開(kāi)式

將上面的討論最終歸結(jié)為如下定理.

定理1如果滿足條件1～6,那么問(wèn)題(1)的解u(x,ε)存在,且滿足

1.2 右端不連續(xù)二階擬線性方程

Ni等[75]主要研究了二階擬線性方程Dirichlet問(wèn)題

式中:ε＞0是小參數(shù).設(shè)x0為區(qū)間(0,1)上給定常數(shù),函數(shù)A(u,x)和f(u,x)為

類似地,問(wèn)題(21)的解u(x,ε)也滿足u(x,ε)∈C1[0,1]∩(C2(0,x0)∪C2(x0,1)).

假設(shè)如下條件成立.

條件7假設(shè)函數(shù)A(?)(u,x)和f(?)(u,x)為分別定義在區(qū)域Iu×[0,x0]和Iu×[x0,1]上的光滑函數(shù),其中Iu為函數(shù)u(x)允許的取值范圍,且在x=x0處滿足

即函數(shù)A(u,x)和f(u,x)在x=x0處間斷.

條件8假設(shè)退化系統(tǒng)

和

有唯一退化解φ1(x),0≤x≤x0和φ2(x),x0≤x≤1,并且退化解滿足φ1(x0)?=φ2(x0).為了不失一般性,不妨假設(shè)φ1(x0)＜φ2(x0).

條件9假設(shè)函數(shù)A(?)(u,x)和A(+)(u,x)滿足不等式

條件9意味著問(wèn)題(21)在點(diǎn)x=x0附近有內(nèi)部層.

為了找到內(nèi)部層首項(xiàng),引入輔助變量z=du/dx,并假設(shè)之后將確定.可得輔助系統(tǒng)

式中:ξ=(x-x0)/ε;p∈(φ1(x0),φ2(x0)).由條件8和9,可得在相平面(~u,~z)上存在分界軌道,可顯式表示為

并且當(dāng)ξ→?∞時(shí),分界軌道進(jìn)入平衡點(diǎn)(φi(x0),0),i=1,2.問(wèn)題(22)的可解性條件為=p在退化方程相應(yīng)根的吸引域中(見(jiàn)條件10).

條件10在相平面中,對(duì)任意的p∈(φ1(x0),φ2(x0)),垂線=p與分界軌道?(?)相交,即

類似地,運(yùn)用邊界層函數(shù)法構(gòu)造問(wèn)題(21)的漸近解,其中漸近解的展開(kāi)式與式(8)相似.但值得注意的是,不同于半線性問(wèn)題,由于退化問(wèn)題的解滿足邊界條件,故擬線性問(wèn)題的解在端點(diǎn)處沒(méi)有邊界層,僅在間斷點(diǎn)x0附近有內(nèi)部層.同時(shí)需要注意輔助變量z(x0,ε)的展開(kāi)式從ε?1開(kāi)始.

式中:pk為待定量,k≥0,可由光滑縫接條件(16)確定.由于u′=z,可得等價(jià)條件

首先,確定p0.比較展開(kāi)式兩邊ε?1系數(shù),可得.記

接下來(lái)證明H(p)有唯一解p0∈(φ1(x0),φ2(x0)).由問(wèn)題(24)可得

結(jié)合條件9中不等式,可得

說(shuō)明一定存在p0∈(φ1(x0),φ2(x0)),使得H(p0)=0.又由條件9,有H′(p)=A(?)(p,x0)-A(+)(p,x0)＞0,由此可得p0的唯一性.

接下來(lái)確定pk.當(dāng)k≥1時(shí),縫接條件可寫為

可得

因此,可得問(wèn)題(21)的解u(x,ε)的n+1階漸近展開(kāi)式

和如下定理.

定理2如果滿足條件7～10,那么,對(duì)充分小的ε＞0,問(wèn)題(21)的解u(x,ε)存在且滿足

1.3 右端不連續(xù)二階弱非線性方程

Pan等[76]主要考慮二階弱非線性方程Dirichlet問(wèn)題

式中:ε＞0為小參數(shù).設(shè)x0為區(qū)間(0,1)上給定常數(shù),F(εu′,u,x)的表達(dá)式為

記z=εu′,Iz和Iu為包含原點(diǎn)的有界開(kāi)區(qū)間,定義

假設(shè)如下條件成立.

條件11假設(shè),且滿足不等式

條件12假設(shè)退化方程有孤立的退化解φ1(x)(0≤x≤x0)和=φ2(x)(x0≤x≤1),且滿足φ1(x0)?=φ2(x0).為了不失一般性,不妨假設(shè)φ1(x0)＜φ2(x0).

條件13假設(shè)函數(shù)F(u,x,0)滿足如下條件:

考慮輔助系統(tǒng)

由條件12和13可知,特征方程

滿足

及

為了確定邊界層函數(shù)首項(xiàng),在系統(tǒng)(27)中分別令x=0和x=1,可得如下邊界層問(wèn)題:

式中,

由條件12和13可得,在相平面(~u,~z)中存在分界軌道滿足當(dāng)ξ→±∞時(shí)進(jìn)入平衡點(diǎn)(φi+1(x0),0).問(wèn)題(28)的可解性條件為邊值落在退化方程相應(yīng)根的吸引域中,即有如下條件成立.

條件14假設(shè)在相平面上,垂線與分界軌道相交.

為了找到形式漸近解內(nèi)部層首項(xiàng),在系統(tǒng)(27)中令x=x0,可得

并且,當(dāng)ξ→?∞時(shí),分界軌道趨近平衡點(diǎn)(φi(x0),0),i=1,2.特別地,在某些情況下我們可以寫出分界軌道的顯式表達(dá)式,如當(dāng)F的表達(dá)式為

時(shí),分界軌道可表示為

問(wèn)題(29)的可解性條件與條件14類似.因此假設(shè)如下條件成立.

條件15假設(shè)在相平面上,對(duì)任意p∈(φ1(x0),φ2(x0))垂線=p與分界軌道相交.

條件16假設(shè)方程H(p)=0有唯一解p=p0,其中p0∈(φ1(x0),φ2(x0)).這個(gè)條件說(shuō)明.

這里構(gòu)造問(wèn)題(26)的解u(x,ε)的漸近展開(kāi)式,滿足在x=x0附近存在內(nèi)部層,在x=0和x=1附近存在邊界層.因此,運(yùn)用邊界層函數(shù)法,類似1.1節(jié)構(gòu)造過(guò)程,可以得到問(wèn)題(26)的解u(x,ε)的n+1階漸近展開(kāi)式

和如下定理.

定理3如果滿足條件11～16,那么對(duì)充分小的ε＞0,問(wèn)題(26)的解u(x,ε)存在,并且滿足

2 右端不連續(xù)的常微分方程組

考慮常微分方程組的齊次Neumann問(wèn)題[77]

式中:ε＞0為小參數(shù).設(shè)x0為區(qū)間(0,1)上給定的常數(shù),函數(shù)F(u,v,x)和G(u,v,x)為

首先定義D1=Iu×Iv×[0,x0],D2=Iu×Iv×[x0,1],其中Iu和Iv為未知函數(shù)u和v的取值區(qū)間.假設(shè)如下條件成立.

條件17假設(shè),而且

即函數(shù)F(u,v,x)和G(u,v,x)在點(diǎn)x=x0處間斷.

接下來(lái)要構(gòu)造的是問(wèn)題(30)的多尺度一致有效漸近解(u(x,ξ),v(x,ξ)),在x=x0附近包含內(nèi)部層.因此,應(yīng)分別考慮退化系統(tǒng)和輔助系統(tǒng).

條件18退化方程F(u,v,x)=0,G(u,v,x)=0在區(qū)間[0,1]上有不連續(xù)的孤立解,即

和

不妨假設(shè)(φi(x),ψi(x)),i=1,2充分光滑,且滿足φ1(x0)＜φ2(x0).

這里光滑性條件依賴于所構(gòu)建的解的漸近展開(kāi)式的階數(shù),而將要討論的是任意階漸近展開(kāi)式,因此不妨假設(shè)所涉及的函數(shù)除F和G外都是無(wú)窮階可微.考慮輔助系統(tǒng)

式中:x為參數(shù).

條件19假設(shè)

為了得到漸近展開(kāi)式內(nèi)部層的首項(xiàng),令系統(tǒng)(31)中x=x0,得

由條件18和19,在相平面(~u,~v)中存在分界軌道.進(jìn)一步,假設(shè)分界軌道為

當(dāng)ξ→?∞時(shí),分界軌道趨近平衡點(diǎn)Mi,i=1,2.問(wèn)題(32)的可解性條件為=p,在退化方程相應(yīng)根的吸引域中,可表達(dá)為如下條件.

條件20假設(shè)在相平面(~u,~v)中,對(duì)任意p∈(φ1(x0),φ2(x0))垂線=p與分界軌道?(?)相交.

記H(p)=ψ1(x0)+?(?)(p-φ1(x0))-ψ2(x0)-?(+)(p-φ2(x0)).

條件21假設(shè)方程H(p)=0有解p=p0,其中p0∈(φ1(x0),φ2(x0)),而且.

注意到這里為了專注討論二維方程組內(nèi)層問(wèn)題,本課題組給出的是關(guān)于變量u的齊次Neumann條件,這使得邊界層首項(xiàng)(主項(xiàng))為0,因此構(gòu)造形式漸近解時(shí)直接略去了邊界層.當(dāng)然可以提其他類型邊界條件,如混合邊界條件等,只是在構(gòu)造近似解時(shí)要調(diào)整相應(yīng)邊界層;另一方面,要注意當(dāng)給出的是關(guān)于變量u的定解條件時(shí),為了得到一階微分方程組連續(xù)的解,縫接條件為變量v在間斷點(diǎn)x0處連續(xù),即v(x0-0)=v(x0+0).

仍然用標(biāo)準(zhǔn)邊界層函數(shù)法求近似解.高維微分方程組特別的地方是對(duì)內(nèi)部層級(jí)數(shù)高階系數(shù)函數(shù)的求法.

接下來(lái)用疊加原理求解非齊次系統(tǒng)(33).考慮如下2個(gè)系統(tǒng):

和

為了找到方程(34)的一個(gè)特解,令

然后將其代入方程(34),可得

和

式中:

解得

和

式中:常數(shù)C(?)和κ(?)隨著和k的變化而變化.

注意函數(shù)表達(dá)式中包含未知量pk,k≥0.利用連續(xù)縫接條件v(x,ε)在間斷點(diǎn)x0處連續(xù)來(lái)求解,即

得

式中:

因此,構(gòu)造了問(wèn)題(30)的解(u(x,ε),v(x,ε))的n+1階漸近展開(kāi)式

定理4如果滿足條件17～21,那么,當(dāng)ε＞0充分小時(shí),問(wèn)題(30)存在連續(xù)解(u(x,ε),v(x,ε)),且滿足

3 一類分段光滑二階Tikhonov系統(tǒng)Dirichlet問(wèn)題的漸近解

考慮如下奇異攝動(dòng)問(wèn)題[78]:

式中:0＜μ?1為小參數(shù).設(shè)t0為給定值并滿足0＜t0＜1,函數(shù)F(y,z,t,μ)的表達(dá)式為

易見(jiàn),問(wèn)題(38)～(39)的解(y(t,μ),z(t,μ))滿足(y(t,μ),z(t,μ))∈C1[0,1]∩(C2(0,t0)∪C2(t0,1)).

假設(shè)如下條件成立.

條件22假設(shè)函數(shù)F(?)(y,z,t,μ)在D1={(y,z,t,μ)||y|≤l,|z|≤l,t∈[0,t0]}上充分光滑;函數(shù)F(+)(y,z,t,μ)在D2={(y,z,t,μ)||y|≤l,|z|≤l,t∈[t0,1]}上充分光滑,且F(?)(y,z,t0,μ)?=F(+)(y,z,t0,μ),即函數(shù)F(y,x,t,μ)在t=t0點(diǎn)聯(lián)系,其中l(wèi)是大于0的常數(shù).函數(shù)G(y,z,t,μ)在D1∪D2上充分光滑.

條件23假設(shè)退化方程F(y,z,t,0)=0在D內(nèi)有孤立解,

且在D上φ(?)(z,t0)?=φ(+)(z,t0).同時(shí),假設(shè)如下2個(gè)問(wèn)題:

條件24假設(shè)以下2個(gè)問(wèn)題:

有零解.

條件25假設(shè)＞0,0≤t≤1.

將原問(wèn)題以t=t0為界分為2個(gè)輔助問(wèn)題,分別記為左問(wèn)題和右問(wèn)題,分別運(yùn)用邊界層函數(shù)法構(gòu)造類似第2節(jié)的解的漸近展開(kāi)式并進(jìn)行光滑縫接,為函數(shù)y(t)和z(t)增加標(biāo)記“–”(對(duì)左問(wèn)題而言記為y(?)(t))和“+”(對(duì)右問(wèn)題而言記為y(+)(t)).假設(shè)問(wèn)題的解在t=t0點(diǎn)處的值為

式中:pi,qi為待定系數(shù),i∈N.

為了確定內(nèi)部層的首項(xiàng),考慮當(dāng)t=t0時(shí)的輔助問(wèn)題

條件26假設(shè)和為非空集,即

條件27假設(shè)H2(q0)=0存在解,且

同理,為了確定邊界層項(xiàng)的首項(xiàng),考慮當(dāng)t=0和t=1時(shí)的輔助問(wèn)題

和

問(wèn)題(46)和(47)的可解性條件為邊值位于相應(yīng)退化方程解的影響域內(nèi),等價(jià)于如下條件.

條件28假設(shè)和為非空集,即

引理1對(duì)任意的k≥0,有

由引理1可求得所有的pk與qk.因此,可以得到問(wèn)題(38)解的漸近展開(kāi)式

和

滿足如下定理.

定理5如果滿足條件22～27,則問(wèn)題(38)在[0,1]的解存在,且滿足

4 右端不連續(xù)奇異攝動(dòng)拋物方程

4.1 右端不連續(xù)奇異攝動(dòng)反應(yīng)擴(kuò)散方程

考慮奇異攝動(dòng)反應(yīng)擴(kuò)散方程[79]

式中:D={(x,t)∈R2|-1＜x＜1,t∈R};ε＞0為小參數(shù);T＞0為給定周期.假設(shè)存在T-周期函數(shù)x=h(t),將區(qū)域D分成如下2個(gè)部分:

為了研究問(wèn)題(48),需要先給出如下條件.

條件29方程(48)的右端函數(shù)f(u,x,t)具有如下形式:

式中:函數(shù)f(?)(u,x,t)和f(+)(u,x,t)分別為區(qū)域和上充分光滑的T-周期函數(shù),并且函數(shù)f(u,x,t)在曲線x=h(t)上不連續(xù),即

邊界條件u?1(t)和u+1(t)也是充分光滑的T-周期函數(shù).

條件30假設(shè)退化方程f(?)(u,x,t)在區(qū)域和上分別有孤立的T-周期解u=φ(?)(x,t).并且,在曲線x=h(t)上,不等式φ(?)(h(t),t)＜φ(+)(h(t),t),t∈R成立.

條件31假設(shè)函數(shù)f(?)(u,x,t)滿足如下不等式:

考慮如下輔助系統(tǒng):

式中:x和t為參數(shù).根據(jù)條件30和31,對(duì)任意固定的x,(φ(?)(x,t),0)為鞍點(diǎn)型平衡點(diǎn).因此,對(duì)任意固定的x,在平衡點(diǎn)(φ(?)(x,t),0)附近存在穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形,

并且,在平衡點(diǎn)(φ(+)(x,t),0)附近存在穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形:

為了確定x=-1和x=1鄰域內(nèi)的邊界層函數(shù)首項(xiàng),需要研究在x=-1的邊值問(wèn)題

和在x=1的邊值問(wèn)題

因此,問(wèn)題(50)和(51)的可解性條件為邊值條件u?1(t)和u+1(t)在對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)的吸引域內(nèi).

條件32假設(shè)在相平面(y,z)中,垂線y=u?1(t)與平衡點(diǎn)(φ(?)(-1,t),0)的穩(wěn)定流形橫截相交,并且垂線y=u+1(t)與平衡點(diǎn)(φ(+)(1,t),0)的穩(wěn)定流形橫截相交,即

為了確定內(nèi)部層函數(shù)的首項(xiàng),需要研究在x=h(t)的邊值問(wèn)題:

式中:φ(?)(t)=φ(?)(h(t),t)和p(t)∈(φ(?)(t),φ(+)(t))為待定函數(shù).類似問(wèn)題(50)和(51),問(wèn)題(52)的可解性條件如下.

條件33假設(shè)在相平面(y,z)上,對(duì)任意的p(t)∈(φ(?)(t),φ(+)(t)),垂線y=p分別與平衡點(diǎn)(φ(?)(t),0)的不穩(wěn)定流行和平衡點(diǎn)(φ(+)(t),0)的穩(wěn)定流形橫截相交,即

令

下面不等式成立.

條件34方程H(p,t)=0有唯一解p=p0(t),p0(t)∈(φ(?)(t),φ(+)(t)),并且

易見(jiàn),方程H(p,t)=0可以化簡(jiǎn)為

并且在p=p0(t)處,函數(shù)H(p,t)有如下導(dǎo)數(shù)形式:

本課題組的目標(biāo)是求解問(wèn)題(48)具有內(nèi)部層和邊界層的周期解u(x,t,ε),其中內(nèi)部層位于曲線x=h(t)的鄰域內(nèi),邊界層位于邊界x=-1和x=1的領(lǐng)域內(nèi).而且,可以證明周期解在區(qū)域D(?)趨向于曲面u=φ(?)(x,t);在區(qū)域D(+)趨向與曲面u=φ(+)(x,t).因此,首先構(gòu)造周期解的漸近展開(kāi)式

式中:

是正則項(xiàng);

是曲線x=h(t)鄰域內(nèi)的內(nèi)部層項(xiàng),并且滿足和0(i≥0),這里.

是邊界x=-1和x=1鄰域內(nèi)的邊界層項(xiàng),滿足和=0,i≥0,這里和

為了確定周期解的漸進(jìn)展開(kāi)式,考慮如下2個(gè)問(wèn)題:

和

式中：p(t,ε)為待定函數(shù),具體表達(dá)式為

根據(jù)邊界層函數(shù)法,將漸近展開(kāi)式代入問(wèn)題(56)和(57),并按不同尺度x,τ和ξ?分離,得到確定正則項(xiàng)、內(nèi)部層項(xiàng)和邊界層項(xiàng)Π(?)(ξ?,t,ε)的方程,再將所得到的方程左右兩端按小參數(shù)ε展開(kāi)并比較同次冪,可以得到確定和,i=0,1,···的方程.因此,運(yùn)用假設(shè)條件29～32求解所得到的方程,因此正則項(xiàng)中ε的各項(xiàng)系數(shù)為

內(nèi)部層項(xiàng)中ε的各項(xiàng)系數(shù)如下.

當(dāng)i=0時(shí),首項(xiàng)Q(?)0由條件32唯一確定,且滿足指數(shù)衰減性,即

式中:κ和C為與小參數(shù)ε無(wú)關(guān)的正常數(shù).

當(dāng)i≥1時(shí),

式中:

當(dāng)i=0時(shí),比較光滑縫接條件兩邊ε0系數(shù)可以得到

即

由條件34可知函數(shù)p0(t)是唯一確定的.

當(dāng)i≥0時(shí),比較光滑縫接條件兩邊εk系數(shù)可以得到

求解方程可以得到pi(t)的表達(dá)式

式中:

類似可得邊界層項(xiàng)中ε的各項(xiàng)系數(shù).因此可以構(gòu)造周期解u(x,t,ε)的n+1階漸近展開(kāi)式

并得到如下定理.

定理6如果滿足條件29～34,那么對(duì)充分小的ε＞0,問(wèn)題(48)的周期解u(x,t,ε)存在,且滿足余項(xiàng)估計(jì)

式中:C為與小參數(shù)ε無(wú)關(guān)的正常數(shù).

4.2 右端不連續(xù)的奇異攝動(dòng)反應(yīng)擴(kuò)散對(duì)流方程

考慮如下奇異攝動(dòng)反應(yīng)擴(kuò)散對(duì)流方程[80]:

式中:

假設(shè)函數(shù)u?1(t)和u+1(t)是充分光滑的T-周期函數(shù),且存在T-周期函數(shù)x=h(t),t∈R將區(qū)域D分成D(?)和D(+)2個(gè)部分:

假設(shè)如下條件成立.

條件35假設(shè)函數(shù)A(u,x,t)和B(u,x,t)具有如下表達(dá)式

和

式中:Iu為未知函數(shù)u(x,t,ε)的取值區(qū)間;函數(shù)A(?)(u,x,t)和A(+)(u,x,t)分別為區(qū)域和上充分光滑的T-周期函數(shù);函數(shù)B(?)(u,x,t)的定義與A(?)(u,x,t)相似.并且,函數(shù)A(u,x,t)和B(u,x,t)在曲線x=h(t),t∈R上間斷.

令ε=0可以得到如下退化問(wèn)題:

和

式中:t為參數(shù);.

條件36假設(shè)退化問(wèn)題(63)和(64)分別有孤立的T-周期解和φ(+)(x,t),并且在曲線x=h(t),t∈R上,不等式φ(?)(h(t),t)＜φ(+)(h(t),t),t∈R成立.

條件37假設(shè)函數(shù)A(u,x,t)滿足下面不等式:

記

滿足如下條件.

條件38方程H(p,t)=0有T-周期解p=p0(t)滿足φ(?)(h(t),t)＜p0(t)＜φ(+)(h(t),t),并且對(duì)任意的s∈(φ(?)(h(t),t),φ(+)(h(t),t)),t∈R有.假設(shè)下面的不等式成立,

注意到退化問(wèn)題(63)和(64)的解滿足邊值條件,因此我們的目標(biāo)是求解問(wèn)題(62)具有內(nèi)部層的周期解u(x,t,ε),其中內(nèi)部層位于曲線x=h(t),t∈R的鄰域內(nèi).構(gòu)造周期解的漸近展開(kāi)式為

類似于4.1節(jié),運(yùn)用邊界層函數(shù)法可以確定漸近展開(kāi)式(65)和(66)中的表達(dá)式.

正則項(xiàng)中ε的各項(xiàng)系數(shù)為

內(nèi)部項(xiàng)中ε的各項(xiàng)系數(shù)如下.

當(dāng)i=0時(shí),根據(jù)條件36和37,可以唯一確定函數(shù),并且滿足指數(shù)衰減性,即

式中:κ和C為與小參數(shù)ε無(wú)關(guān)的正常數(shù).

當(dāng)i≥1時(shí),

式中:

因此,可以構(gòu)造周期解u(x,t,ε)的n+1階漸近展開(kāi)式

滿足如下定理.

定理7如果滿足條件35～38,那么對(duì)充分小的ε＞0,問(wèn)題(62)的周期解u(x,t,ε)存在并且滿足余項(xiàng)估計(jì)

式中:C為與小參數(shù)ε無(wú)關(guān)的正常數(shù).

進(jìn)一步,運(yùn)用微分不等式方法可以得到周期解u(x,t,ε)的穩(wěn)定性.

定理8如果滿足條件35～38,那么對(duì)充分小的ε＞0,問(wèn)題(62)的周期解u(x,t,ε)是局部漸近穩(wěn)定的.

5 結(jié)束語(yǔ)

目前,被人們新發(fā)現(xiàn)的奇異攝動(dòng)現(xiàn)象,如多層現(xiàn)象、層套層現(xiàn)象以及非指數(shù)式衰減的邊界層現(xiàn)象等,在右端不連續(xù)奇攝動(dòng)系統(tǒng)中相繼出現(xiàn).針對(duì)這些新問(wèn)題,傳統(tǒng)的邊界層函數(shù)法已不再行之有效,因此迫切需要去探索新的理論和新的解決方法.其中的原因是,由于不連續(xù)性,非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的退化系統(tǒng)也是不連續(xù)的,這是最“常見(jiàn)”的情況,因此在不同區(qū)間上的退化解可以看成是組成真解的主要部分.如果在間斷曲線或間斷曲面處產(chǎn)生穩(wěn)定性交替,則常常會(huì)和轉(zhuǎn)點(diǎn)打交道.現(xiàn)在,對(duì)右端不連續(xù)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的研究剛剛起步,僅停留在低維奇異攝動(dòng)系統(tǒng)，尚未見(jiàn)到研究高維奇異攝動(dòng)系統(tǒng)或者高維Tikhonov系統(tǒng)的論文.而對(duì)轉(zhuǎn)點(diǎn)問(wèn)題的研究也大多停留在二階線性系統(tǒng),即通常所說(shuō)的線性轉(zhuǎn)點(diǎn)問(wèn)題,對(duì)非線性轉(zhuǎn)點(diǎn)的研究也無(wú)一般方法可循.

縱觀國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀,對(duì)上述問(wèn)題的研究并不多見(jiàn),已發(fā)表的論文也只能處理個(gè)案.這類問(wèn)題的共同難點(diǎn)在于:①在間斷曲線或間斷曲面附近奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為非常復(fù)雜,常常會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定性交替,使得漸近解的表達(dá)形式未知,從而不能套用Tikhonov極限定理和Vasil’eva漸近展開(kāi)定理;②如果在間斷曲線或間斷曲面上是非法向雙曲的,則Fenichel幾何奇異攝動(dòng)理論也不能用,也就無(wú)法知道在間斷曲線或間斷曲面附近問(wèn)題的解是否存在.