姜 波,王繼強(qiáng),何小龍,胡忠志
(南京航空航天大學(xué)江蘇省航空動力系統(tǒng)重點實驗室,南京210016)
航空發(fā)動機(jī)由靜止逐漸加速至慢車狀態(tài)這一過程稱為起動過程。這個過程發(fā)動機(jī)氣動熱力參數(shù)變換劇烈,如何保證這個過程成功、快速的完成對延長發(fā)動機(jī)壽命、保證飛機(jī)安全有著重要的意義。對該過程進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,建立起動過程的數(shù)值計算模型不僅能夠為設(shè)計人員提供許多有價值的信息,而且能夠讓設(shè)計人員在發(fā)動機(jī)設(shè)計的初期就展開合理的起動過程控制規(guī)律優(yōu)化研究。因而建立能夠準(zhǔn)確反映發(fā)動機(jī)起動過程的數(shù)值仿真模型對發(fā)動機(jī)的理論研究及工程應(yīng)用都有著極大地意義。
在20世紀(jì)80年代,國外已經(jīng)展開了發(fā)動機(jī)慢車以下狀態(tài)的氣動熱力學(xué)建模研究,M.Yunis和R.K.A-grawal在1980年基于流量平衡的假設(shè),通過外推方法獲得低轉(zhuǎn)速部件特性從而建立起了單轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)的起動模型[1]。在90年代NASA的Chappell采用慢車以上建模的方法,建立了包含高空起動、風(fēng)車起動和地面起動的AVEST-V3模型[2]。此外在2001年和2007年,英國弗吉尼亞理工大學(xué)[3]英國克蘭菲爾德大學(xué)[4]的學(xué)者在上述研究的基礎(chǔ)上針對部件特性外推公式及零轉(zhuǎn)速附近特性修正展開了深入的研究。國內(nèi)學(xué)者對此研究展開的時間較晚,但也取得了大量的研究成果,如:基于大量發(fā)動機(jī)試車數(shù)據(jù),使用系統(tǒng)辨識的方法建立的實時起動模型[5-8];基于容積動力學(xué)和部件特性外推的方法建立雙軸混合排氣的渦扇發(fā)動機(jī)的地面及空中起動模型[9-10],利用壓氣機(jī)及渦輪特性數(shù)據(jù)的脊柱特性建立能夠準(zhǔn)確模擬單軸發(fā)動機(jī)風(fēng)車起動的部件級模型[11]等。但這些研究大都基于大量的試驗數(shù)據(jù)并且在起動初始點需要根據(jù)經(jīng)驗反復(fù)的試湊出十分準(zhǔn)確的初始值,工作量大且過程較為復(fù)雜。
本文利用NASA公開的PW公司JT9D大涵道比雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動機(jī)慢車以上部件級模型,通過部件特性外推、起動附件建模、修正部件總壓恢復(fù)系數(shù)和改進(jìn)模型求解算法建立了JT9D發(fā)動機(jī)起動至最大轉(zhuǎn)速整個過程的仿真模型,并通過仿真結(jié)果驗證了模型的準(zhǔn)確性及改進(jìn)求解算法的有效性。
建立的起動過程模型是基于美國PW公司于20世紀(jì)60年代年設(shè)計制造的大涵道比雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動機(jī)JT9D的慢車以上狀態(tài)的部件級模型,具體結(jié)構(gòu)如圖1所示,具體的建模過程這里不再贅述,參照文獻(xiàn)[12]。
圖1 JT9D發(fā)動機(jī)部件結(jié)構(gòu)
雙軸渦扇發(fā)動機(jī)在起動時沒有空氣流經(jīng)整臺發(fā)動機(jī),因此燃燒室無法點火。只有當(dāng)轉(zhuǎn)子達(dá)到一定的轉(zhuǎn)速后,燃燒室內(nèi)的氣流才能建立穩(wěn)定燃燒所需的氣流壓力和溫度。因而發(fā)動機(jī)地面起動過程必須依靠起動機(jī)帶轉(zhuǎn),一般情況下,雙軸渦扇發(fā)動機(jī)的起動過程(如圖2所示)分為以下3個階段。
圖2 雙軸渦扇發(fā)動機(jī)起動過程扭矩特性
第1階段:燃燒室未供油,起動機(jī)帶動高壓轉(zhuǎn)子,起動機(jī)扭矩MST大于起動過程阻力矩MC/ηm,高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速逐漸增加到n1。
第2階段:燃燒室開始供油并點火,渦輪開始產(chǎn)生力矩,高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速逐漸增加到n2。
第3階段:起動機(jī)脫開,渦輪產(chǎn)生足夠的力矩并將高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速獨立帶轉(zhuǎn)至n3。
發(fā)動機(jī)的部件特性在高轉(zhuǎn)速時差別較大,但在低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)卻有著很大的相似性[1]。因而,采用部件特性指數(shù)外推的方法,能夠在缺少試驗特性的情況下得到較為合理的低轉(zhuǎn)速部件特性。采用的指數(shù)外推公式如下
式中:p、q、r為外推指數(shù);cor表示換算狀態(tài);ref表示參考狀態(tài);Wc為換算流量;N為轉(zhuǎn)速;PR為增壓比(渦輪特性為膨脹比ER);η為效率。以風(fēng)扇為例,選取換算轉(zhuǎn)速為1的特性線為參考線。利用原有的特性數(shù)據(jù)通過不斷變換外推指數(shù)的數(shù)值,使得不同換算轉(zhuǎn)速線上最高效率狀態(tài)點連成的線近似為線性(效率僅在低轉(zhuǎn)速Ncor<0.8時成線性)進(jìn)而確定外推指數(shù)。不同外推指數(shù)下風(fēng)扇流量、壓比、效率、隨換算轉(zhuǎn)速變化分別如圖3~5所示,不同外推指數(shù)下的外推結(jié)果對比如圖6所示。
圖3 不同外推指數(shù)下風(fēng)扇流量隨換算轉(zhuǎn)速變化
圖4 不同外推指數(shù)下風(fēng)扇壓比隨換算轉(zhuǎn)速變化
圖5 不同外推指數(shù)下風(fēng)扇效率隨換算轉(zhuǎn)速變化
在確定了外推指數(shù)后,以換算轉(zhuǎn)速為0.6的試驗特性線為參考,外推換算轉(zhuǎn)速為0.5的特性線并與原有試驗特性對比,結(jié)果顯示:按照不同換算轉(zhuǎn)速線上的最高效率點連成的線近似為線性,所選取的外推指數(shù)能更好的反映低轉(zhuǎn)速的部件特性。據(jù)此確定外推指數(shù)見表1。
圖6 不同外推指數(shù)下的外推結(jié)果對比
表1 部件特性外推指數(shù)
在確定部件特性的外推指數(shù)后,以各部件試驗的最低狀態(tài)換算轉(zhuǎn)速線為外推參考線,外推各部件的風(fēng)扇換算流量-壓比特性、風(fēng)扇換算流量-效率特性、高壓渦輪換算流量-膨脹比、高壓渦輪換算流量效率特性特性分別如圖7~10所示。
圖7 風(fēng)扇換算流量-壓比特性
JT9D發(fā)動機(jī)使用美國漢密爾頓公司提供的PS-700空氣渦輪起動機(jī)[13],主要參數(shù)見表2。
空氣渦輪起動機(jī)在發(fā)動機(jī)起動過程的輸出扭矩與高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速近似為線性關(guān)系[14]。起動機(jī)扭矩特性如圖11所示。
圖8 風(fēng)扇換算流量-效率特性
圖9 高壓渦輪換算流量-膨脹比特性
表2 PS-700空氣渦輪起動機(jī)主要參數(shù)
根據(jù)扭矩特性按照如下公式建立起動機(jī)模型
式中:P為起動機(jī)輸出功率;n2為起動機(jī)脫開時高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速;N為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速;T為起動機(jī)輸出扭矩。
圖11 起動機(jī)扭矩特性
在求解JT9D發(fā)動機(jī)共同工作非線性方程組時NASA提供了1種傳統(tǒng)的Newton-Raphson迭代求解方法。此方法在求解發(fā)動機(jī)慢車以上狀態(tài)共同工作非線性方程組時能夠在選定較為準(zhǔn)確的迭代初始值情況下達(dá)到快速收斂的效果[15-17]。但發(fā)動機(jī)起動過程部件特性的相對值變化劇烈,即使在給出相對準(zhǔn)確的迭代初始值情況下也需要多次求解才能達(dá)到收斂精度的要求。并且每次迭代求解共同工作非線性方程組時計算機(jī)都需要對模型進(jìn)行氣動熱力計算,然后再對平衡方程偏導(dǎo)數(shù)組成的Jacobian矩陣進(jìn)行中心差分,龐大的計算量降低了模型的執(zhí)行效率,使得計算時間變長,模型的實時性降低。
本文所述的改進(jìn)牛頓法是參考廣泛用于國外先進(jìn)數(shù)值仿真程序,如美國航空航天局NASA的NPSS(Numerical Propulsion Simulation System)[18]、荷蘭國家航空航天實驗室(NLR)的GSP(Gas turbine Simulation Program)[19]等在求解非線性方程組時使用的Broyden法[20]:即在傳統(tǒng)Newton-Raphson方法基礎(chǔ)上改變Jacobian矩陣的迭代更新方式,進(jìn)而減少模型的氣動熱力計算次數(shù),提高模型的仿真求解速度。計算方法如下:
對于發(fā)動機(jī)的共同工作非線性方程組
式中:x=(x1,x2,…,xn)T,n 為平衡方程數(shù),xi為發(fā)動機(jī)的某參數(shù);εi為平衡方程的誤差量;fi(x)代表不同的平衡方程,且F(x)=(f1(x1),f2(x2),…,fn(xn))T,Jacobian矩陣為
其中:偏導(dǎo)數(shù)項在模型求解計算時需根據(jù)中心差分求得。根據(jù)Newton-Raphson求解方法
式中:k為迭代次數(shù),此時構(gòu)造如下矩陣
根據(jù)Broyden法求解原理[20],Jacobian矩陣迭代更新的修正項為
使用Sherman-Morrison公式解析的求Jacobian矩陣的逆,從而可得Jacobian矩陣在更新時
當(dāng) |F(xk)|<δ(設(shè)定誤差允許量)時,認(rèn)為迭代收斂。
這種改進(jìn)的牛頓法在求解發(fā)動機(jī)共同工作非線性方程組時第1步仍采用中心差分的方法得到Jacobian矩陣,而后續(xù)的迭代更新只需通過計算ΔJk就可完成。這樣模型的動態(tài)仿真過程就避免了每次通過中心差分方法重新計算Jacobian矩陣而帶來的龐大計算量,從而大大提高了需要多次迭代求解發(fā)動機(jī)共同工作方程的起動過程模型的執(zhí)行效率。
發(fā)動機(jī)在點火前的工作狀態(tài)即起動過程的第一階段稱為冷轉(zhuǎn)動過程。這一過程渦輪和壓氣機(jī)都是負(fù)載,建模方法如下:
首先計算起動機(jī)和壓氣機(jī)的扭矩,然后根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)計算高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速
式中:ΔT為起動機(jī)扭矩與負(fù)載扭矩差;J為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量;N為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速;t為時間。
之后,確定1個合適的點火狀態(tài),根據(jù)此時的轉(zhuǎn)速 nR,WR和壓比 PR利用式(13)、(14)計算對應(yīng)時刻下的參數(shù)
最后,低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速及其他截面狀態(tài)參數(shù)按高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速進(jìn)行線性插值即可得到。
NASA公開的JT9D發(fā)動機(jī)模型各部件的總壓恢復(fù)系數(shù)都取了定值,這在慢車以上狀態(tài)建模時是適用的。但在發(fā)動機(jī)的起動過程中由于各部件的流量、壓比、轉(zhuǎn)速都很小,真實的總壓恢復(fù)系數(shù)更接近于1,并且隨著轉(zhuǎn)速的增大而逐漸減小[9]。因而在建立起動模型時,各部件的總壓恢復(fù)系數(shù)在點火前取近似略小于1的常數(shù),而在點火狀態(tài)和慢車狀態(tài)之間時按照轉(zhuǎn)速進(jìn)行線性插值
式中:a為點火狀態(tài);b為慢車狀態(tài);σ為總壓恢復(fù)系數(shù)。
NASA公開的JT9D發(fā)動機(jī)模型的仿真范圍為:70%NHmax~100%NHmax。按照上述建模方法,補充建立包含起動過程的全狀態(tài)性能模型,并在地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下給定供油規(guī)律(如圖12所示),仿真結(jié)果分別如圖13~15所示。
圖12 供油曲線
圖13 轉(zhuǎn)速變化曲線
圖14 推力變化曲線
圖15 燃燒室出口溫度變化曲線
由仿真結(jié)果可以看出,起動過程的第1階段燃燒室沒有供油。高壓轉(zhuǎn)子由起動機(jī)帶動,轉(zhuǎn)速緩慢上升并帶動低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速上升,此時推力也緩慢上升,燃燒室出口溫度基本不變。在第16 s時開始供油,轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和燃燒室出口溫度急劇上升至慢車狀態(tài)。在第40 s以后增加供油,發(fā)動機(jī)由慢車狀態(tài)逐漸運行到最大轉(zhuǎn)速狀態(tài),轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、推力及燃燒室出口溫度都增加至100%。整個模型能很好的反映起動過程的各階段并且與原有慢車以上狀態(tài)模型有效地連接,驗證了建模方法的有效性。
為了進(jìn)一步驗證建模方法的準(zhǔn)確性,將模型的仿真結(jié)果與僅有的ICAO(國際民航組織)公布的JT9D-7J發(fā)動機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比,結(jié)果見表3。
表3 7%推力狀態(tài)下(52%NHmax)模型仿真結(jié)果驗證
各部件總壓恢復(fù)系數(shù)修正前(修正前采用固定值σb)與修正后高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的仿真結(jié)果對比如圖16所示,燃燒室點火至慢車狀態(tài)過程的高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速最大相對誤差為1%。
圖16 總壓恢復(fù)系數(shù)修正前后仿真結(jié)果對比
同時,模型在點火后由各部件特性迭代求解的初始點計算時間最長,最難收斂。因而在此處用改進(jìn)牛頓法進(jìn)行驗證效果最為明顯。
單個步長Jacobian矩陣計算時間見表4。表4計算的硬件環(huán)境為:AMD A6-3400M(CPU),主頻1.4 G Hz,內(nèi)存4 GB。由結(jié)果可以看出改進(jìn)牛頓法的求解速度要明顯高于傳統(tǒng)的Newton-Raphson方法。并且,基于改進(jìn)牛頓法的原理,當(dāng)發(fā)動機(jī)共同工作方程和獨立變量個數(shù)增加以及迭代初始值偏離真值程度越大時,這種效果將會變得更加明顯。
表4 單個步長的Jacobian矩陣計算時間
通過對JT9D發(fā)動機(jī)部件級起動過程建模、使用改進(jìn)牛頓法替換傳統(tǒng)的Newton-Raphson方法仿真求解,得到以下結(jié)論:
(1)采用部件特性指數(shù)外推法并使用不同換算轉(zhuǎn)速線上最高效率狀態(tài)點連成的線,近似為線性來確定外推指數(shù),可以得到合理的各部件低轉(zhuǎn)速部件特性;
(2)起動附件建模及轉(zhuǎn)子冷轉(zhuǎn)動過程建模能夠有效地幫助建立完整的起動過程模型。
(3)發(fā)動機(jī)起動過程各部件總壓恢復(fù)系數(shù)按照轉(zhuǎn)速變化修正能夠有效的提高模型的精度。
(4)采用改進(jìn)牛頓法替代傳統(tǒng)的Newton-Raphson方法可以改善模型的執(zhí)行效率,大幅提高模型的仿真求解速度。
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