隨機共振微弱周期信號檢測方法

西安石油大學(xué) 賈睿哲 陳 英 孫魯喆 賀 翔 尚 棟 張振南

0 概述

隨機共振微弱周期信號檢測理論的提出，顛覆了噪聲都是有害于待測信號的這一傳統(tǒng)理念，并在近幾年的微弱信號檢測學(xué)中逐漸變得重要。它與傳統(tǒng)的時域處理法、頻域分析法等抑制噪聲的方法是不同的[1]。隨機共振微弱周期信號檢測理論是利用和信號耦合在一起的噪聲來增強信號傳輸能力，甚至是通過添加噪聲來提高信號的可檢測性能。隨機共振系統(tǒng)一般結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 隨機共振系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)框圖

噪聲ξ(t)、微弱特征信號s(t)以及信號處理單元的非線性系統(tǒng)，是三個組成隨機共振系統(tǒng)的要素。其中微弱特征信號s(t)可以是任意類型的信號；和待測信號耦合在一起的噪聲信號ξ(t)實際上是一種滿足一定統(tǒng)計要求的隨機信號[2]，既可以是系統(tǒng)本身存在的，也可以是外加的；信號處理單元常采用非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。被測信號和噪聲作為混合輸入，經(jīng)過非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的處理，產(chǎn)生隨機共振效應(yīng)，把噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號能量，從而提高系統(tǒng)的輸出信噪比。隨機共振系統(tǒng)中一個重要的測度就是信噪比，信噪比的強弱，是能否成功檢測出微弱周期信號的重要依據(jù)。而系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、頻率、輸入信號幅值、噪聲強度等都對該隨機共振系統(tǒng)有著影響，通過科學(xué)的測量和調(diào)節(jié)這些變量可產(chǎn)生隨機共振效應(yīng)。

1 隨機共振系統(tǒng)基本原理

1.1 非線性朗之萬（Langevin）方程

非線性朗之萬方程描述的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)就是隨機共振系統(tǒng)最簡潔明了的定義：

其中，V(t)為非線性對稱勢函數(shù)，即：V(t)=V(-t)。

最簡單的勢函數(shù)是具有兩個極小值點一個極大值點的雙穩(wěn)態(tài)勢函數(shù)：

參數(shù)a=b=1，噪聲強度D=0時的雙穩(wěn)態(tài)勢函數(shù)曲線圖如圖2所示。其中的極大值點稱其為勢壘（閾值），其勢壘高度為，兩個極小值點，稱其為勢阱，此時的兩個勢阱深度是相同的。而系統(tǒng)的輸出狀態(tài)處于哪一個勢阱是由系統(tǒng)的初始條件決定。

當(dāng)被測信號幅值A(chǔ)≠0時，非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的平衡將被打破，也就是說兩個勢阱的深度將不再相同，勢阱按輸入信號頻率ω發(fā)生周期性的傾斜[3]，并且當(dāng)A的值滿足靜態(tài)觸發(fā)閾值條件時，系統(tǒng)會躍遷到另一個勢阱，這樣系統(tǒng)的輸出也會出現(xiàn)跳變。

當(dāng)噪聲強度D≠0時，且增大到某一值時，由于噪聲和信號的協(xié)同作用，勢阱傾斜程度不斷增大，直到系統(tǒng)輸出越過勢壘完成兩勢阱間的躍遷。

圖2 a=b=1, A=0, ξ(t)=0時的雙穩(wěn)態(tài)勢函數(shù)

盡管隨機共振系統(tǒng)中信號和噪聲觸發(fā)系統(tǒng)躍遷的特性不同，但它們使系統(tǒng)越過勢壘（觸發(fā)閾值）在兩勢阱間進行切換而引起的效應(yīng)是相同的。當(dāng)系統(tǒng)在兩勢阱之間進行躍遷時，相比于輸入信號的幅值，雙穩(wěn)態(tài)之間的電壓差要大得多，這時輸出信號幅值也就大于輸入信號幅值，并且系統(tǒng)在兩勢阱間有規(guī)律的切換使得輸出的變化量有規(guī)律的進行，從而有效地降低了輸出狀態(tài)中的噪聲能量，也就提高了系統(tǒng)輸出的信噪比，我們稱這種現(xiàn)象為隨機共振。這也就是說，隨機共振的實質(zhì)是在信號和噪聲的協(xié)同作用下，使得非線性系統(tǒng)輸出得到周期性增強的現(xiàn)象[4]。

系統(tǒng)參數(shù)a，b的大小決定了勢壘的高度，所以當(dāng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸入的信號和噪聲能量不足以使系統(tǒng)在勢阱間躍遷時，可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)a，b來改變勢壘高度[5]，以達到系統(tǒng)輸入的信號和噪聲的能量足以支持粒子越過勢壘的目的，這時系統(tǒng)也能產(chǎn)生隨機共振效應(yīng)。

1.2 ?？恕て绽士耍‵okker-Planck）方程

在這里我們對于郎之萬方程的研究，并不是簡單的想知道輸出變量的軌跡，而是想要探究軌跡的統(tǒng)計性質(zhì)，也就是系統(tǒng)在兩個勢阱處的概率分布。

?？似绽士耍‵okker-Planck）方程[6]是描述雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出變量x(t)的概率分布函數(shù)ρ(x, t )所遵循的演化規(guī)律，即：

上式的初始條件為。對上式進行數(shù)值分析，可以知道：從概率上看，系統(tǒng)輸出處在淺勢阱的時間遠小于處在深勢阱的時間。

系統(tǒng)在兩個勢阱間來回的切換速度影響了隨機共振現(xiàn)象的產(chǎn)生[7]，然而系統(tǒng)中的噪聲能量影響了該切換速度,當(dāng)信號幅值為零時，其表達式為：

當(dāng)信號幅值不為零時，噪聲和信號的協(xié)同作用使系統(tǒng)完成勢阱間的躍遷。這時，系統(tǒng)勢阱根據(jù)信號的頻率進行周期性的切換，并與噪聲引起的切換產(chǎn)生協(xié)同作用，進而增強了系統(tǒng)輸出的周期分量，且提高了輸出信噪比。

1.3 信噪比

信噪比（signal-to-noise ratio）是描述信號中有效成分與噪聲成分的比例關(guān)系參數(shù)。不同的應(yīng)用領(lǐng)域有不同的具體定義。

同時信噪比(SNR)也是隨機共振理論中的一個重要測度，它在這里被定義為：輸出信號功率譜中信號頻率處的幅值與同頻背景噪聲之比,表達式為：

其中，S(ω)為信號功率譜密度；SN(ω)為噪聲在信號頻率附近的強度大小。經(jīng)過仿真實驗可以得到，在一定范圍內(nèi)，信噪比先隨著噪聲強度D的增大而增大，到達最大值時再以指數(shù)形式快速衰減[7]。

圖3 噪聲強度與輸出信噪比的函數(shù)曲線

2 數(shù)值算法及仿真模型

在這里我們可以用四階龍格-庫塔法描述非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的朗之萬方程（式（1））進行求解，其表達式為：

式中表達式為：

本文通過搭建隨機共振微弱周期信號檢測系統(tǒng)的Simulink模型，如圖4所示，繪制非線性系統(tǒng)輸入端和輸出端的時域圖及頻譜圖并對其進行分析，從而驗證了隨機共振效應(yīng)在微弱特征信號檢測中的有效性。其中的Random Number模塊為均值為零的高斯白噪聲，Sine Wave模塊為被測信號，Gain,Gain1為勢函數(shù)的參數(shù)，Scope為輸出時域圖的示波器，把Scope模塊換成Spectrum Scope時，輸出頻譜圖。

圖4 隨機共振系統(tǒng)的simulink仿真結(jié)構(gòu)圖

3 數(shù)值仿真結(jié)果及分析

采用四階龍格-庫塔算法得到是郎之萬方程的近似解，本文通過對信號輸入和輸出進行頻譜分析來研究隨機共振系統(tǒng)的一些特性。

3.1 時域仿真結(jié)果分析

設(shè)輸入正弦信號，信號幅值A(chǔ)=0.5，信號頻率f=0.025Hz，系統(tǒng)參數(shù)a=b=1，采樣頻率fs=5Hz,加入強度D=5的高斯白噪聲。用圖4的仿真方法得到系統(tǒng)輸入端和輸出端的時域波形，如圖5所示。

加入噪聲后，被測信號已被噪聲信號完全覆蓋淹沒，如圖5(a)所示，原始信號的特性都已看不出來，而經(jīng)隨機共振系統(tǒng)處理后，原始信號的時域特性又再次顯現(xiàn)，如圖5(b)所示，并且相比于未經(jīng)隨機共振系統(tǒng)處理的信號幅度還有所增強，此時信噪比提高到了-15dB。

圖5 系統(tǒng)輸入端和輸出端的時域波形

3.2 頻域仿真結(jié)果分析

設(shè)輸入正弦信號，信號幅值A(chǔ)=0.1V，信號頻率f=100Hz，系統(tǒng)參數(shù)a=b=1，添加噪聲強度D=0.5V的高斯白噪聲。經(jīng)過仿真得到隨機共振系統(tǒng)輸入端和輸出端的頻譜圖,如圖6所示。

從輸入頻譜圖可以看到，在強噪聲背景下，信號的頻率已無法分辨出來，而經(jīng)過隨機共振系統(tǒng)處理后，噪聲得到了有效的抑制，輸出頻譜圖中我們就可以看出，被測信號的頻率也已經(jīng)顯示出來了。

圖6 隨機共振系統(tǒng)輸入端和輸出端的頻譜圖

4 結(jié)論

通過分析原始信號的時頻特性以及信號和噪聲的混合信號經(jīng)非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)處理后的時頻特性，我們可以看到，完全被噪聲淹沒的被測信號，在經(jīng)過隨機共振系統(tǒng)處理后，原始特性能較好的展現(xiàn)出來，甚至在幅值等方面還有所加強。這就說明隨機共振效應(yīng)在微弱特征信號的檢測中有實際應(yīng)用價值，尤其是在強噪聲背景下，我們可以利用噪聲能量提高信噪比，進而檢測出原始信號。

[1]胡蔦慶.隨機共振微弱特征信號檢測理論與方法[M].北京:國防工業(yè)出版社(第1版),2012.

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