瓷絕緣子臨界裂紋尺寸的新型數值計算方法研究

（國網池州供電公司，安徽池州247000）

0 引言

瓷絕緣子在電力系統中起著重要的電氣絕緣和機械支撐作用，但在外界因素和自身缺陷的影響下，瓷絕緣子的斷裂現象時有發(fā)生，嚴重影響了電力系統的安全穩(wěn)定運行。工程實踐表明裂紋引起的結構斷裂失效是工程中最重要、最常見的失效模式，而由瓷絕緣子的大量斷裂事故統計也發(fā)現其斷裂與瓷絕緣子存在裂紋有關[1]，當裂紋尺寸大于某一臨界值時便會發(fā)生失效擴展造成瓷絕緣子斷裂。因此，通過臨界裂紋尺寸來指導瓷絕緣子的無損探傷及狀態(tài)評估，對其安全可靠運行具有重要的意義。

文獻[2]通過簡化的支柱瓷絕緣子力學模型及斷裂力學理論，分析了其斷裂的臨界裂紋尺寸大小。文獻[3]根據斷裂力學理論推導了薄板臨界裂紋尺寸的簡化解析計算公式，分析了薄板的臨界裂紋尺寸分布情況。文獻[4]通過有限元法分析了汽缸的受力情況，并根據斷裂力學方法計算了汽缸不同位置的臨界裂紋尺寸。文獻[5]提出了簡易鋼結構模型的臨界裂紋尺寸計算方法，分析了裂紋尺寸在結構失效中的重要角色。以上文獻在計算臨界裂紋尺寸時，均根據斷裂力學的方法來獲得臨界裂紋尺寸的簡化解析計算公式，但對于復雜幾何模型則誤差較大，難以滿足精確性的要求，且尚未對瓷絕緣子的臨界裂紋尺寸分布規(guī)律進行深入研究。

筆者提出了一種基于斷裂力學及有限元理論的臨界裂紋尺寸新型計算方法，通過含圓孔平板臨界裂紋尺寸的計算驗證了本文方法的有效性，將其應用于支柱瓷絕緣子表面裂紋的臨界尺寸計算，分析了不同位置和不同長深比下的臨界裂紋尺寸大小及變化規(guī)律，為支柱瓷絕緣子的無損探傷及運行維護提供有效的理論指導和技術支持。

1 臨界裂紋尺寸的新型數值計算方法

1.1 應力強度因子數值求解方法

應力強度因子的求解方法有解析法、實驗方法和有限元數值法三種[6]，解析法只適用于簡單幾何結構的裂紋，對于復雜的誤差較大，而實驗方法則在裂紋模型預制及前沿多點數據測量方面存在不足。有限元數值法因具有強大的模擬和數值計算功能，在裂紋應力強度因子的求解中獲得了廣泛的應用。基于有限元法的應力強度因子求解方法主要包含位移法和積分法[7]，從能量角度出發(fā)的交互積分法求解的結果具有更低的誤差，應力強度因子的輸出只需要進行一次后處理，使得計算更加簡便，分析的效率得到提高，因此，筆者采用交互積分法來求解裂紋尖端的應力強度因子。

由斷裂力學理論知積分為

式中：W=σijεij/2表示材料的應變能密度；T表示在積分邊界上所作用的力；u表示邊界上的位移；s表示弧長。

將真實載荷引起的裂紋尖端場與一個可設計的輔助裂紋尖端場相疊加帶入到式（1）的J積分中為

整理后可得:

式中表示真實場與輔助場的相互作用積分：

對于線彈性情況，相互作用積分和應力強度因子存在關系：平面應力為E*=E，平面應變?yōu)閯t可得：

1.2 臨界裂紋尺寸的數值計算方法

有限元數值法具有強大的建模能力，適用于復雜幾何模型及各種載荷條件，在裂紋建模及應力強度因子求解方面擁有很高的精度。三維裂紋數值建模的方法主要有逐節(jié)點的直接建模法和三維裂紋實體建模法[8]，逐節(jié)點的直接建模法存在著建模復雜，不適用于復雜幾何模型的裂紋建模，而三維裂紋實體建模法采用“自上向下”的整體建模思路，具有更好的適應性，且能很好地保證精確度。結合裂紋三維實體建模法及應力強度因子的有限元數值求解方法，以含圓孔平板弧形裂紋的臨界裂紋尺寸為例，臨界裂紋尺寸的數值計算方法：

1）建立無裂紋缺陷的含圓孔平板模型，如圖1所示，設定允許的應力強度因子差?K。

2）根據裂紋的類型，設定相應的初始臨界尺寸，并建立對應的三維裂紋輔助模型，如圖2所示，圖中弧線mn為孔邊裂紋前緣，a、b分別為橢圓形裂紋的長半軸和短半軸，A模型為對應的三維裂紋輔助模型。

3）設定所需獲得的臨界裂紋尺寸的位置，并將所建立的三維裂紋輔助模型移動到含圓孔平板模型的相應區(qū)域。

4）對于圓孔平板中與裂紋輔助模型重疊的區(qū)域，應用布爾減將其除去，并對剩下的模型與裂紋輔助模型A進行布爾粘結操作，為便于觀察裂紋輔助模型的位置，對粘結后的含裂紋模型進行了旋轉，如圖3所示。

5）對裂紋輔助模型的面進行二維裂紋網格劃分，然后由體掃掠方式生成三維裂紋輔助模型的三維裂紋網格，并清除之前的面網格，裂紋輔助模型的網格劃分情況如圖4所示，裂紋尖端采用穩(wěn)定可靠的20節(jié)點奇異單元。對于剩下的區(qū)域則采用自由網格劃分。整體裂紋網格劃分情況如圖5所示，可觀察到裂紋輔助模型A和裂紋尖端m、n的網格劃分情況及自由劃分網格的情況。

6）施加相應的載荷及約束條件等，進行應力強度因子的數值計算。

7）比較材料本身斷裂的臨界應力強度因子K0與計算出的應力強度因子K之間的關系，若兩者之差|K-K0|＜?K，則輸出計算得到的臨界裂紋尺寸，否則對裂紋尺寸進行相應的調整，重新進入步驟2）的計算。

圖1 無缺陷平板模型Fig.1 The flat plate model without defect

圖2 孔邊裂紋及其輔助體Fig.2 Crack near the hole and its auxiliary body

圖3 含裂紋平板模型Fig.3 The flat plate model with crack

圖4 裂紋區(qū)域網格劃分圖Fig.4 The meshing graph of crack region

圖5 整體網格劃分圖Fig.5 The overall meshing graph

1.3 臨界裂紋尺寸數值法的驗證分析

對于簡單的幾何模型結構及裂紋形式，根據斷裂力學的相關理論可以推導出其應力強度因子的解析表達式[9]，在已知材料的臨界應力強度因子KIC的情況下，可由解析表達式求解出材料臨界裂紋尺寸的近似解析解。根據應力強度因子手冊[10]：對于含圓孔厚板板的孔邊橢圓形裂紋，其前緣各點應力強度因子的解析解可由下式表示，式（7）對應于a/b≥1的情況，式（8）對應于a/b＜1的情況。

式中：a、b分別為橢圓形裂紋的長半軸和短半軸；h為平板厚度；M為一無量綱的常數系數；p為厚板承受的均勻拉伸應力；Q為形狀因子；r為圓孔半徑。

相關研究表明裂紋最深點（θ=90o）的應力強度因子值是最大的，而且還是材料發(fā)生斷裂的最主要影響因素[11]，因此本文只對裂紋最深點的應力強度因子進行分析。當裂紋a/b=2時，在厚板兩端垂直裂紋方向施加不同大小的拉力載荷，根據本文提出的臨界裂紋裂紋尺寸數值計算法獲得的臨界裂紋尺寸和式（7）求解得到的臨界裂紋尺寸結果對比如圖6（a）所示。當厚板的拉力載荷為1 MPa時，改變裂紋的長半軸與短半軸之比b/a，計算得到的臨界裂紋尺寸結果對比如圖6（b）所示。

圖6 臨界裂紋尺寸計算對比結果Fig.6 Comparison results of critical crack size

由圖6可以發(fā)現本文裂紋建模方法計算得到的應力強度因子數值解與理論解析解的結果非常相近，數值解要更小一些，但誤差都在2.7%以內，因此，本文的裂紋建模方法是合理有效的，而且本文的裂紋建模法簡單高效，對于應力強度因子手冊上沒有的復雜幾何結構裂紋的應力強度因子大小，本文方法也能很好地求解。

2 支柱瓷絕緣子的有限元建模及分析

高壓支柱瓷絕緣子一般由鑄鐵法蘭、膠裝水泥和瓷體組成[12]，鑄鐵法蘭的作用為固定和連接，膠裝水泥為鑄鐵法蘭與瓷體間的水泥填充劑，有限元分析時假定膠裝水泥與鑄鐵法蘭、瓷體完全粘牢，瓷體多為脆性陶瓷材料，作用為絕緣和機械支撐。支柱瓷絕緣子多為戶外式，運行環(huán)境惡劣，受力復雜，導致其故障概率要高得多。戶外支柱瓷絕緣子的受力主要有重力、彎曲力和熱膨脹應力等[13]，其材料特性參數和主要尺寸參數主要分別如表1、表2所示。

表1 瓷絕緣子結構參數Table 1 The structure parameters of porcelain insulator

表2 瓷絕緣子材料力學性能參數Table 2 The parameters for materials’mechanical properties of porcelain insulator

2.1 瓷絕緣子的有限元建模

根據支柱瓷絕緣子結構，建立無裂紋缺陷的相應有限元數值模型如圖7所示，部分區(qū)域的網格劃分情況如圖8所示。對其底端施加位移約束，施加的載荷包括：頂部垂直軸向的水平向左彎曲載荷，垂直向下的重力載荷及溫度載荷。彎曲載荷為16 KN·m，重力加速度為9.8 m/s2，溫度為-3℃（瓷絕緣子冬季低溫下受力更惡劣），然后ANSYS17.0環(huán)境下對支柱瓷絕緣子進行結構靜力學計算。由于瓷絕緣子斷裂主要發(fā)生在脆性瓷體區(qū)域[14]，因此本文主要分析瓷體部分的應力分布情況，如圖9所示。

2.2 瓷絕緣子的三維裂紋實體建模

根據筆者提出的瓷絕緣子臨界裂紋尺寸計算方法，支柱瓷絕緣子陶瓷材料的臨界應力強度因子KIC=2.69 MPa·m1/2，設定好裂紋初始臨界尺寸后建立的裂紋輔助體如圖10（a）所示，將其移動到瓷絕緣子模型相應區(qū)域并進行相應的布爾操作后的含裂紋瓷絕緣子模型如圖10（b）所示，裂紋尖端的應力應變奇異性通過前緣采用三維20節(jié)點等參退化奇異單元來模擬[15]，其它區(qū)域采用自由網格劃分，劃分好的含裂紋模型網格圖如圖11所示。

圖7 瓷絕緣子有限元模型Fig.7 Finite element model of porcelain insulator

圖8 瓷絕緣子部分區(qū)域網格劃分情況Fig.8 Meshing situation of porcelain insulator partial region

圖9 瓷絕緣子瓷體部分應力分布Fig.9 Stress distribution of porcelain insulator body part

3 支柱瓷絕緣子臨界裂紋尺寸分析

根據無裂紋缺陷瓷絕緣子的應力分布可以發(fā)現，瓷絕緣子應力分布近似呈前后對稱關系，右半部分為拉應力分布區(qū)域，瓷絕緣子瓷體為脆性陶瓷材料，其在拉應力作用下易發(fā)生斷裂，而在壓應力作用下相對安全，且支柱瓷絕緣子斷裂事故相關統計表明其斷裂部位95%以上位于下法蘭口到第一瓷體傘裙之間的拉應力部分[16]，因此本文只對下法蘭口到第一瓷體傘裙之間拉應力分布區(qū)域進行相關研究。

圖10 瓷絕緣子裂紋建模Fig.10 The crack modeling of porcelain insulator

圖11 瓷絕緣子網格劃分Fig.11 Meshing situation of porcelain insulator

3.1 不同裂紋位置下的臨界裂紋尺寸

為分析當裂紋處于不同位置時，瓷絕緣子的臨界裂紋尺寸的大小及變化規(guī)律，根據提出的臨界裂紋尺寸數值計算方法，對瓷絕緣子不同位置的臨界裂紋尺寸進行計算。裂紋分布位置如圖12所示，設置裂紋長度與深度比為1，計算得到的角度θ=0時臨界裂紋尺寸隨高度h的變化規(guī)律如圖13所示。

圖12 裂紋分布位置圖Fig.12 The distribution of crack position

由圖13可知，當裂紋角度θ=0時，臨界裂紋尺寸隨著裂紋所處高度h先逐漸減小，再逐漸增大，約在h=102 mm處達到最小，最小值為3.96 mm，而瓷體法蘭口位置為h=100 mm。保持h=100 mm不變，改變裂紋所在位置的角度θ，計算得到的臨界裂紋尺寸隨角度θ的變化規(guī)律如圖14所示。由圖14可知，臨界裂紋尺寸的大小是關于θ=0對稱的，θ=0時最小，θ偏離0°越遠，臨界裂紋尺寸越大。

圖13 不同高度h下的臨界裂紋尺寸Fig.13 Critical crack size under different altitude h

圖14 不同位置角度θ下的臨界裂紋尺寸Fig.14 Critical crack size under different position angle θ

3.2 不同長深比下下的臨界裂紋尺寸

瓷絕緣子斷裂事故相關分析表明：瓷絕緣子裂紋的形狀在實際中是很復雜的，雖然主要為直緣裂紋，但其長深比卻變化較大。為分析不同長深比下裂紋的臨界尺寸大小，保持裂紋所在位置不變，改變裂紋的長深比，計算得到的不同長深比下臨界裂紋尺寸的變化規(guī)律如圖15所示。由圖15可知，隨著裂紋長深比的增大，臨界裂紋尺寸逐漸減小，且減小的程度越來越小，即裂紋長度對臨界裂紋尺寸的影響比深度要更小。

圖15 不同長深比下的臨界裂紋尺寸Fig.15 Critical crack size under different length-to-depth ratio

4 結論

瓷絕緣子裂紋尺寸超過某一臨界值時會發(fā)生斷裂現象，嚴重影響電力系統的安全穩(wěn)定運行。本文基于斷裂力學和有限元相關理論，提出了一種新型的臨界裂紋尺寸數值計算方法，通過含圓孔平板臨界裂紋尺寸解析解與數值解的對比分析，驗證了本文方法的有效性，將其應用于支柱瓷絕緣子表面裂紋臨界尺寸的計算，分析了不同位置和不同長深比下的臨界裂紋尺寸大小及變化規(guī)律，結果表明該支柱瓷絕緣子的最小臨界裂紋尺寸位于下法蘭口附近位置，且裂紋長深比不同，臨界裂紋尺寸大小也不同，臨界裂紋尺寸主要由裂紋深度決定。本文研究結果可為瓷絕緣子無損探傷靈敏度的確定及其運行狀況評估提供有效的理論指導和技術支持。

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