中心主子陣約束下廣義反中心對稱矩陣的二次特征值反問題

郭麗杰，韓明花，周 碩

(東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林吉林132012)

在工程技術(shù)，特別是結(jié)構(gòu)動力模型修正技術(shù)領(lǐng)域經(jīng)常遇到與二次特征值相反的問題，我們稱為二次特征值反問題［1～4］．結(jié)構(gòu)動力模型修正技術(shù)［5～6］利用實(shí)測模型數(shù)據(jù)對有限元方法所得的質(zhì)量矩陣M～，阻尼矩陣C～和剛度矩陣K～進(jìn)行修正，使修正的質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣C和剛度矩陣K滿足理論上的譜約束條件即并且矩陣［M，C，K］最佳逼近矩陣矩陣擴(kuò)充問題即為子矩陣約束下的矩陣反問題，研究矩陣擴(kuò)充問題對矩陣?yán)碚摷捌鋵?shí)際應(yīng)用具有重要意義［7～9］;本文利用矩陣對的商奇異值分解［10］方法，研究中心主子陣約束下矩陣方程MXΛ2+CXΛ+KX=0的廣義反中心對稱矩陣解及其最佳逼近問題．

令Rn×m表示所有n×m階實(shí)矩陣集合;Ik表示k階單位陣;用AT、R(A)、N(A)分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣、列空間、零空間;對矩陣 A=(aij) ∈ Rs×t，B=(bij)s×t∈ Rs×t，A*B=(aijbij)s×t表示矩陣 A 與 B 的Hadamard積;Rn×m中矩陣A與B的內(nèi)積定義為(A，B)=tr(BTA)，由此內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)為則此范數(shù)為矩陣A的Frobenius范數(shù)，且Rn×m構(gòu)成一個完備的內(nèi)積空間．

定義1 P∈Rn×n稱為對稱正交矩陣，如果它滿足:(1)P=PT，(2)P2=In．

定義2 設(shè)P∈Rn×n，Q∈Rm×m為對稱正交矩陣，若A∈Rn×m滿足PAQ=A，則稱A為廣義中心對稱矩陣;若A∈Rn×m滿足PAQ=－A，則稱A為廣義反中心對稱矩陣．

研究如下兩類問題:

問題1 給定X=［x1，x2，…，xs］∈Rm×s，Λ =diag(λ1，λ2，…，λs) ∈Rs×s，M0，C0，K0∈Rq×q和對稱正交矩陣 P ∈ Rn×n，Q ∈ Rm×m，求廣義反中心對稱矩陣 M，C，K ∈ Rn×m

使得

其中:M0，C0，K0分別是矩陣M，C，K的q階中心主子陣(n，m與q具有相同的奇偶性)．

其中:SMCK是問題1的解集．

問題 2 給定 M*，C*，K*∈ Rn×m，求 M^，C^，K^∈ SMCK，使得

1 問題1的求解

引理1 設(shè)P∈Rn×n，Q∈Rm×m為對稱正交矩陣，則存在n階正交陣U和m階正交陣V，使得P，Q的譜分解分別為

引理2 設(shè)A∈Rn×m，則A為廣義反中心對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)

其中:A1∈ Rt×(m－k)，A2∈ R(n－t)×kU ∈ Rn×n，V ∈ Rm×m為正交矩陣．

其中:Q0∈ Rn×(3m－r)是任意的矩陣．

其中:Σi()為ri階正定對角矩陣∈ OR3(m－k)×3(m－k)，U21∈ R3(m－k)×r2，Vi∈ ORs×s，則矩陣方程 MXΛ2+CXΛ +KX=0 有廣義反中心對稱解M，C，K ∈ Rn×m，且其通解為

其中:Q1∈ R(n－t)×(3k－r1)，Q2∈ Rt×(3(m－k)－r2)是任意矩陣，

記(0，Iq，0)U=(D1，D2)，其中:D1∈ Rq×t，D2∈ Rq×(n－t)．

設(shè)D1，D2的商奇異值分解分別為

其中:E ∈ Rq×q可逆矩陣，R ∈ Rt×t，F(xiàn) ∈ R(n－t)×(n－t)均為正交陣，

其中:S=diag(α1，α2，…，αs1)，αi＞ 0，(i=1，2，…．s1)，s1=rank(D1)+rank(D2) － l1，l1=rank(D1，D2)，t1=l1－ rank(D2)，0，O1，O2為相應(yīng)階數(shù)的零矩陣．

設(shè)P1U12，P2U22的商奇異值分解為

其中:G ∈ R3q×3q可逆矩陣，H ∈ R(3k－r1)×(3k－r1)，K ∈ R(3(m－k)－r2)×(3(m－k)－r2)均為正交陣，

其中:C=diag(β1，β2，…，βs2)，βi＞ 0，(i=1，2，…．s2)，l2=rank(P1U12，P2U22)，s2=rank(P1U12)+rank(P2U22) － l2，t2=l2－ rank(P2U22)，0，O3，O4為相應(yīng)階數(shù)的零矩陣．

設(shè)

其中:A11∈ Rt1×t2，A22∈ Cs1×s2，A33∈ R(l1－t1－s1)×(l2－t2－s2)，A44∈ R(q－l1)×(3q－l2)．由引理 4 及矩陣對的商奇異值分解可得如下結(jié)論．

定理1 給定X=［x1，x2，…，xs］∈Rm×s，Λ =diag(λ1，λ2，…，λs) ∈Rs×s，M0，C0，K0∈Rq×q和對稱正交矩陣P∈Rn×n，Q∈Rm×m，問題1有解的充分必要條件是

且一般解的形式為

其中:U ∈ Rn×n，V ∈ Rm×m，R ∈ Rt×t，F(xiàn) ∈ R(n－t)×(n－t)，K ∈ R(3(m－k)－r2)×(3(m－k)－r2)，H ∈ R(3k－r1)×(3k－r1)為正交矩陣，U12∈ R3k×(3k－r1)，U22∈ R3(m－k)×(3(m－k)－r2)為列正交矩陣如公式(7)，

2 問題2的求解

若問題1有廣義反中心對稱解，則SMCK為一閉凸集，那么對任意給定矩陣M*，C*，K*∈Rn×m，在SMCK中存在唯一最佳逼近解［M^，C^，K^］．

引理 5 給定 E，F(xiàn) ∈ Cn×n，Λ1=diag(α1，α2，…，αn)，Λ2=diag(β1，β2，…，βn)，則 G － E2+Λ1GΛ2－ F2=min有唯一解G^∈Cn×n，且G^=Φ*(E+Λ1FΛ2)，其中:Φ =(φij)∈Rn×n，φij= 1 1+αi

2βj2

定理 2 對給定 X=［x1，x2，…，xs］∈ Rm×s，Λ =diag(λ1，λ2，…，λs) ∈ Rs×s，和對稱正交矩陣 P ∈Rn×n，Q∈Rm×m，M*，C*，K*∈Rn×m，問題1的解集由公式(15) 給出，則問題2有唯一最佳逼近解M^，C^，K^∈SMCK，且可以表示為

證明 由定理1及引理5，可得此定理的證明．

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