再談四面體的十二點(diǎn)共球定理

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(贛南師范學(xué)院 江西贛州 341000)

再談四面體的十二點(diǎn)共球定理

●熊曾潤

(贛南師范學(xué)院 江西贛州 341000)

1863年,法國人普魯海將三角形的九點(diǎn)圓定理類比引申到垂心四面體中,得到了如下的“十二點(diǎn)球定理”[1]:

2004年,拙文[2]應(yīng)用坐標(biāo)法,定義了四面體的“k號心”及“k+1號球面”等概念,將定理1多方位地類比推廣到任意四面體中,得到了如下的更為一般化的“十二點(diǎn)球定理”:

定理2四面體V的k+1號球面必通過12個特殊點(diǎn),即

(1)各頂點(diǎn)Aj與k號心P連線的k+1等分點(diǎn)Mj(j=1,2,3,4);

(2)各一級頂點(diǎn)子集Vj的k+1號心Qj(j=1,2,3,4);

(3)自點(diǎn)Qj引直線與直線AjP垂直相交的垂足Hj(j=1,2,3,4).

不難驗(yàn)證,在定理2中令V為垂心四面體,且令k=2,就得到定理1.由此可知,定理1是定理2的特例,后者是前者的推廣.

本文擬應(yīng)用向量方法,建立四面體的“廣義k號心”及“廣義k+1號球面”概念,對定理2作進(jìn)一步推廣,導(dǎo)出一個新的、更具普遍性的“十二點(diǎn)球定理”.為此，本文約定：

(1)A1A2A3A4為任意一個四面體；

(2)以點(diǎn)O為球心、長度R為半徑的球面記作S(O，R)；

(3)k是任意給定的正整數(shù).

定義1設(shè)四面體A1A2A3A4內(nèi)接于球面S(O，R)，對異于點(diǎn)O的任一點(diǎn)H，若點(diǎn)P滿足

則點(diǎn)P稱為四面體A1A2A3A4的廣義k號心.

根據(jù)以上定義，我們可以推得

依題設(shè)，點(diǎn)Bj分線段AjP成AjBj∶BjP=k∶1,因此由線段定比分點(diǎn)的向量表示可得

又依題設(shè)可知點(diǎn)P滿足式(1)，將式(1)代入上式可得

據(jù)此，注意到點(diǎn)Q滿足式(2)，則有

又依題設(shè)可知點(diǎn)M是四面體A1A2A3A4的廣義k+2號心，由定義1得

代入上式，得

據(jù)此，注意到點(diǎn)Q滿足式(2)，則

故

由定理3和定理4的證明可知，點(diǎn)Bj和點(diǎn)Cj分別滿足式(3)和式(4)，從而

故

綜合定理3～定理5，可得

定理6設(shè)四面體A1A2A3A4內(nèi)接于球面S(O，R)，對異于點(diǎn)O的任一點(diǎn)H，這四面體的廣義k號心和廣義k+2號心依次為P和M，則這四面體的廣義k+1號球面必通過以下12個特殊點(diǎn)：

(1)內(nèi)分線段AjP成AjBj∶BjP=k∶1的點(diǎn)Bj(j=1,2,3,4);

(3)過點(diǎn)Cj作直線與直線AjP垂直相交的垂足Dj(j=1,2,3,4).

[1] 沈康身.數(shù)學(xué)的魅力(一)[M].上海：上海辭書出版社，2004：278.

[2] 熊曾潤.關(guān)于四面體的十二點(diǎn)共球定理[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2004(6):41-43.