陸嘉鑫，朱明祥，張凱龍，包水臣

（南京師范大學泰州學院電力工程學院，江蘇泰州225300）

1 引言

無刷直流電機（BLDCM）廣泛應用于各個領域。理想的BLDCM反電勢為120°平頂?shù)奶菪尾ǎ斎敕讲娏骱罂僧a(chǎn)生恒定轉(zhuǎn)矩，但實際的BLDCM反電勢波形不是規(guī)則的梯形波，也不是正弦波，其轉(zhuǎn)矩系數(shù)隨轉(zhuǎn)子位置角的變化而改變，通以方波電流時會產(chǎn)生低頻轉(zhuǎn)矩脈動。并且，BLDCM采用兩相導通模式控制換相時，存在換相轉(zhuǎn)矩脈動［1］。采用電壓空間矢量脈寬調(diào)制（SVPWM）策略進行調(diào)速控制，具有轉(zhuǎn)矩脈動小和調(diào)速范圍寬等優(yōu)點。但是BLDCM在運行過程中電流矢量控制中交叉耦合項無法完全解耦，導致系統(tǒng)控制精度下降，同時也會出現(xiàn)輸出轉(zhuǎn)矩脈動的現(xiàn)象。

BLDCM具有較小的轉(zhuǎn)動慣量，因而對電流控制性能要求很高。文獻［2］提出采用基于狀態(tài)反饋的電流預測控制法，可以有效地提高電流環(huán)動態(tài)性能進行提高輸出轉(zhuǎn)矩的穩(wěn)定性，但缺點是控制器實現(xiàn)起來比較復雜。文獻［3］提出了一種比例諧振控制器的改進策略，能夠?qū)崿F(xiàn)對輸入信號的無靜差跟蹤，同時能抑制低次諧波以及指定次諧波的干擾。

本文提出一種基于比例諧振（Proportional Resonant，PR）控制的BLDCM調(diào)速方案，與傳統(tǒng)電流控制算法相比，前者不含前饋補償項和解耦項，減少了坐標旋轉(zhuǎn)，進而減小控制算法的實現(xiàn)難度，減小輸出轉(zhuǎn)矩脈動。利用MATLAB軟件模擬出基于PR控制的BLDCM調(diào)速方案的運行狀態(tài)，驗證該方法的正確性與有效性。

2 無刷直流電機數(shù)學模型

無刷直流電機（BLDCM）由定子三相繞組、永磁轉(zhuǎn)子、逆變器、轉(zhuǎn)子磁極位置檢測器等組成。相關近似等效后，三相定子變量數(shù)學模型為［4］-［5］：

式中：ua，ub，uc為定子三相電壓；R 為三相繞組電阻；ia，ib，ic為三相電流；p為微分算子；LS為三相定子電感；LM為三相繞組之間互感；ea，eb，ec為三相反電勢。

當 ia＋ib＋ic＝0 時，令 L＝LS-LM。將其代入式（1），整理得：

電磁轉(zhuǎn)矩方程可表示為：

式中：ω 為 BLDCM 的角速度（rad/s）。

BLDCM反電勢為梯形，如圖1所示，現(xiàn)以A相反電勢ea為例推導三相反電勢數(shù)學模型：

圖1 A相反電勢和電流波形

式（4）中：ψ（θ）為A相繞組的永磁磁鏈；θ為轉(zhuǎn)子位置角，如圖 2（a）所示；式（5）中：φ（θ）為 A 相繞組磁通；N 為A相繞組匝數(shù)；S為繞組在定子內(nèi)徑表面圍成的面積；B（x）為沿x軸承梯形分布的轉(zhuǎn)子永磁體徑向氣隙磁密，B（x）周期為 2π，同時滿足 B（x＋π）＝-B（x）。結(jié)合式（4）、（5）可得：

式中：ωr為轉(zhuǎn)子角速度；ψm＝2NSBm，為A相繞組磁鏈幅值；fa（x）＝B（x＋π/2）為A相幅值為1的單位反電勢。

假設電機氣隙磁場為標準的梯形波，平頂寬度為120°，則磁密分布B（x）的具體數(shù)學模型為：

式中：Bm為B（x）磁通分布中120°平頂對應的磁通幅值，具體如圖 2（b）所示：

圖2 A相繞組位置及磁通分布

同理可得，B相與C相的反電勢數(shù)學模型為：

根據(jù)Clark和Park變換及其逆變換，可將三相靜止坐標系下定子電壓變量轉(zhuǎn)換成同步旋轉(zhuǎn)坐標系下的d、q電壓分量：

d-q坐標系下轉(zhuǎn)矩公式為：

上式即為BLDCM在矢量控制下的轉(zhuǎn)矩公式，比常規(guī)的永磁同步電機矢量控制的轉(zhuǎn)矩公式更加復雜。在矢量控制系統(tǒng)中，若采用id＝0的控制方式，上式可化簡為：

3 比例諧振控制原理

對控制系統(tǒng)，PI控制器可以實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差，其傳遞函數(shù)為［6］：

對被控量為交流信號的控制系統(tǒng)，其同步旋轉(zhuǎn)坐標系下PI等效的比例諧振（PR）控制器傳遞函數(shù)為：

式中：ω0為諧振頻率，Kp為比例增益，Ki為積分增益。當給定交流信號的角頻率為ω0時，GPR（s）的幅值為：

在實際中，使用一種改進的準PR控制器，其傳遞函數(shù)為：

式中：ωc為準諧振控制的截止頻率。

式（14）的傳遞函數(shù)為s函數(shù)，采用PR控制對BLDCM系統(tǒng)進行數(shù)字控制時，對諧振控制器進行離散化，其實現(xiàn)可以使用雙線性變換，公式為：

將式（17）代入式（14），可得：

式（17）中：Ts為采樣周期，式（18）中：

整理后得到控制器的差分方程為：

4 永磁無刷直流電機系統(tǒng)設計

4.1 比例諧振控制器框圖

由式（19）的差分方程可建立系統(tǒng)控制框圖中的比例諧振控制器，其MATLAB實現(xiàn)框圖如圖3所示。

該框圖中，b0、b1、b2、a1和 a2的值與表達式已給出，其中ωe為電機機械角速度，其與諧振頻率一致；error為兩相靜止坐標系下的定子電流分量的給定值和與測量值iα和iβ進行做差比較的結(jié)果，該框圖的輸出可對電流進行接近無差的跟蹤調(diào)節(jié)。圖中z-1為延遲（delay）環(huán)節(jié)，可將輸入信號延時一個采樣周期再進行輸出；z-2也是延遲（delay）環(huán)節(jié)，其將輸入信號延時兩個采樣周期再進行輸出。

圖3 諧振控制器框圖

4.2 比例諧振控制系統(tǒng)框圖

本文設計一種基于PR控制器的BLDCM矢量控制策略，其系統(tǒng)控制框圖如圖4所示。

圖4 基于PR控制器的無刷直流電機系統(tǒng)控制框圖

對比傳統(tǒng)PI控制方法可以看出，基于PR控制器的控制系統(tǒng)不含與電機參數(shù)有關的前饋補償項和解耦項，減小控制算法實現(xiàn)的難度，提高控制系統(tǒng)的魯棒性。

5 比例諧振控制系統(tǒng)仿真分析

利用MATLAB建立無刷直流電機控制系統(tǒng)的仿真模型［7］。采用基于比例諧振控制策略進行矢量控制。仿真時間設置為 0.1s，系統(tǒng)采樣時間設置為 0.00001s，電機和實驗的參數(shù)見表1。

表1 無刷直流電機模型和實驗參數(shù)

5.1 實驗一：輸出轉(zhuǎn)矩穩(wěn)定性實驗

此實驗的主要目的是將本文所提出的比例諧振控制策略與傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制策略進行對比，來驗證比例諧振控制策略的輸出轉(zhuǎn)矩穩(wěn)定性。

此實驗中，兩個策略都進行了0.1s的仿真。第一次進行傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制策略調(diào)速方案，在t＝0s時，給定負載轉(zhuǎn)矩為0，即讓電主軸空載啟動運行，給定轉(zhuǎn)速為1500r/min。當轉(zhuǎn)速穩(wěn)定之后，輸出轉(zhuǎn)矩為0，但其穩(wěn)定時輸出轉(zhuǎn)矩抖動較大且抖動頻率較高，說明該策略在穩(wěn)態(tài)運行時，電機輸出轉(zhuǎn)矩不夠穩(wěn)定。第二次進行比例諧振控制策略，在t＝0s時，給定負載轉(zhuǎn)矩為0N·m，給定轉(zhuǎn)速為1500r/min，當電機轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，其輸出轉(zhuǎn)矩為0，轉(zhuǎn)矩波動明顯減小。之后進行帶負載的實驗，實驗給定數(shù)據(jù)同前兩次所述，在t＝0.05s時給定負載轉(zhuǎn)矩 11 N·m，電機的電磁轉(zhuǎn)矩在 t＝0.05s時，增加到11N·m，并且基于比例諧振控制策略的輸出轉(zhuǎn)矩比傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制策略輸出轉(zhuǎn)矩穩(wěn)定。此實驗說明：基于比例諧振控制策略的方案在輸出轉(zhuǎn)矩穩(wěn)定性上，無論是空載運行還是帶負載運行，都要優(yōu)于傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制策略?；趥鹘y(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制的無刷直流電機的調(diào)速策略空載輸出轉(zhuǎn)矩如圖5所示，帶負載時的輸出轉(zhuǎn)矩如圖7所示，其局部放大圖如圖8所示；基于比例諧振控制的無刷直流電機調(diào)速策略空載輸出轉(zhuǎn)矩如圖6所示，帶負載時的輸出轉(zhuǎn)矩如圖9所示，其局部放大如圖10所示。

圖5 傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制空載輸出轉(zhuǎn)矩圖

圖6 比例諧振控制空載輸出轉(zhuǎn)矩圖

圖7 傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制帶載輸出轉(zhuǎn)矩圖

圖8 傳統(tǒng)PI控制局部放大圖

圖9 比例諧振控制帶載輸出轉(zhuǎn)矩圖

圖10 比例諧振控制局部放大圖

5.2 實驗二：帶負載實驗

此實驗的主要目的是將本文所提出的比例諧振控制策略與傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制策略進行對比，來驗證比例諧振控制策略在帶負載時的轉(zhuǎn)速跟蹤性能。

此實驗中，首先對傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制策略進行實驗。在 t＝0s時，給定轉(zhuǎn)速為 1500r/min，在 t＝0.5s時，給定負載轉(zhuǎn)矩11N·m，當轉(zhuǎn)速再次穩(wěn)定時，其穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速已經(jīng)無法達到給定轉(zhuǎn)速。第二次進行比例諧振控制策略的實驗，初始條件同前所述，由實驗結(jié)果可知，在此實驗中兩種策略的上升時間基本一致，且都基本無超調(diào)。當t＝0.5s時加上負載重新進入穩(wěn)定的過程中，比例諧振控制策略在t＝0.055s時就恢復再次達到給定轉(zhuǎn)速，而傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器在t＝0.057s才再次達到穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速，故前者能更快的進入穩(wěn)定運行，相比于傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器，前者能對轉(zhuǎn)速實現(xiàn)無差調(diào)節(jié)，而后者在穩(wěn)態(tài)時，轉(zhuǎn)速產(chǎn)生跌落，已無法達到給定轉(zhuǎn)速。并且后者的電流諧波總量（THD）為 80.79%，前者的 THD 為 64.72%，前者也明顯優(yōu)于后者，減小THD也有利于增強電機的帶負載能力。

兩控制策略的輸出轉(zhuǎn)速響應如圖11所示，轉(zhuǎn)速局部放大如圖12所示。

圖11 轉(zhuǎn)速響應圖

圖12 轉(zhuǎn)速響應局部放大圖

由上述兩個實驗可得，采用基于比例諧振控制策略的無刷直流電機調(diào)速方案相較于傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制方案能使電機達到穩(wěn)態(tài)時，輸出轉(zhuǎn)矩更穩(wěn)定。同時在電機帶負載時，前者能無靜差的跟蹤轉(zhuǎn)速給定值，而后者已經(jīng)無法實現(xiàn)無靜差調(diào)速，穩(wěn)態(tài)精度沒有本文所提出的方案高，并且前者具有更小的電流諧波總量（THD）。

6 結(jié)束語

本文針對無刷直流電機輸出轉(zhuǎn)矩抖動和帶負載能力不強等現(xiàn)象，提出了一種基于比例諧振控制的無刷直流電機調(diào)速方案。采用該策略控制電機在穩(wěn)態(tài)運行時，輸出轉(zhuǎn)矩具有更小的抖動頻率，同時還能在帶負載的情況下，實現(xiàn)無靜差調(diào)速。實驗結(jié)果也表明，在將系統(tǒng)的電流環(huán)調(diào)節(jié)器替換為PR控制器的情況下，電機的輸出轉(zhuǎn)矩抖動明顯減小；同時在帶負載能力上，基于比例諧振控制的方案也優(yōu)于傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器控制方案，能夠?qū)崿F(xiàn)電機轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)無誤差的快速跟蹤。因此，無刷直流電機采用基于比例諧振控制的調(diào)速方法既提高了輸出轉(zhuǎn)矩的穩(wěn)定性，也增強了系統(tǒng)的帶負載能力，仿真結(jié)果證明了其可行性與有效性。