帶電粒子沿“漸開線”的運(yùn)動(dòng)

袁 平 李忠相 欒 麗

(重慶市第一中學(xué)校,重慶 400030)

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),多次在高考和競(jìng)賽問題中出現(xiàn)．在備考過程中,已經(jīng)總結(jié)出一系列經(jīng)典情形:若粒子初速度與磁場(chǎng)方向平行,粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng);若粒子初速度與磁場(chǎng)方向垂直,粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng);若粒子初速度與磁場(chǎng)方向有一定夾角,粒子做等距螺旋運(yùn)動(dòng);若粒子初速度與磁場(chǎng)方向有一定夾角,且受到另一個(gè)沿磁場(chǎng)方向的恒力,粒子做不等距螺旋運(yùn)動(dòng);若粒子初速度與磁場(chǎng)方向垂直,且受到另一個(gè)垂直于磁場(chǎng)方向的恒力,粒子沿滾輪線運(yùn)動(dòng)……

若粒子初速度與磁場(chǎng)方向垂直,且受到一個(gè)大小恒定但方向始終與速度方向相反的阻力,粒子又怎樣運(yùn)動(dòng)呢?

圖1 軌跡分析圖

例題.如圖1所示,在垂直于紙平面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子以初速度v1從A1點(diǎn)出發(fā),若運(yùn)動(dòng)過程中在紙平面內(nèi)受到一個(gè)大小恒定為f、方向始終與速度方向相反的阻力．不計(jì)重力,粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如何?

易知,帶電粒子的速度大小不受洛倫茲力影響,只在恒定大小的阻力f作用下均勻減小,其加速度大小記為a,顯然

(1)

同時(shí),帶電粒子在洛倫茲力作用下,速度方向不斷變化,當(dāng)粒子速度為v時(shí),其軌跡曲率半徑為

(2)

可見,曲率半徑受速度大小影響,亦均勻減?。链?我們可以大致確定軌跡的形狀．

為了定量研究粒子的軌跡,不妨取一系列極小連續(xù)相等的時(shí)間間隔Δt,經(jīng)過第一個(gè)Δt后,粒子到達(dá)A2處,速度大小記為v2,軌跡曲率半徑由r1變?yōu)閞2,則速度和曲率半徑的減小量分別為

Δv=v1-v2=aΔt.

(3)

(4)

相應(yīng)地,軌跡的曲率圓心從O1點(diǎn)換至O2點(diǎn),O1A1和O2A2之間的夾角為

(5)

如果把O1和O2之間用一小段圓弧連起來,則該段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角也為Δθ,該段圓弧的弧長(zhǎng)和曲率半徑分別為

Δs=Δr.

(6)

(7)

由以上各式聯(lián)立,可得

(8)

圖2 漸開線

這表明,O1、O2之間的小段圓弧的曲率半徑是一個(gè)與粒子速度無關(guān)的定值．那么,接下來相同時(shí)間間隔確定的O3、O4……之間連起來的小段圓弧具有相同的曲率半徑,即O1、O2、O3……等所有軌跡瞬時(shí)中心構(gòu)成一半徑為R的圓?。瑫r(shí)由(6)式可知,軌跡曲率半徑r的減少等于軌跡瞬時(shí)中心O在圓弧上的移過路程．

上述軌跡,實(shí)際上就是著名的“漸開線”．如圖2,一段長(zhǎng)為r1的不可伸長(zhǎng)的繩子,一端系在半徑為R的固定圓柱的邊緣O1點(diǎn),另一端系一小球,小球以垂直于繩的初速度運(yùn)動(dòng),繩將不斷地繞在圓柱上,則該小球碰到圓柱前的軌跡與上述帶電粒子的軌跡完全一樣．

值得注意的是,雖然上述兩種情況的軌跡完全一樣,但運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能不同．由于受細(xì)線約束,小球的速度大小無論以什么樣的規(guī)律變化,其運(yùn)動(dòng)都在這條軌跡上．只有當(dāng)小球速度大小也以加速度a均勻減小,才和帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全一樣．當(dāng)軌跡和圓柱相交時(shí),小球可能被圓柱彈回再將繩展開．而此時(shí)帶電粒子軌跡的曲率半徑已經(jīng)為0,即粒子速度已減小到0,在默認(rèn)阻力也隨之消失的情況下,粒子即靜止于此,運(yùn)動(dòng)過程結(jié)束．

同樣地,如果帶電粒子受到的不是阻力,而是大小恒定,方向始終與速度方向相同的動(dòng)力,軌跡便是不斷展開的“漸開線”．

這個(gè)帶電粒子沿“漸開線”運(yùn)動(dòng)的問題從高考到競(jìng)賽決賽都可以涉及,為了更好地發(fā)揮它的教學(xué)價(jià)值,筆者嘗試編制了以下習(xí)題,拋磚引玉．

圖3 習(xí)題圖

習(xí)題.如圖3所示,在O-xy平面內(nèi)有垂直于平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子從O點(diǎn)沿x軸正方向以初速度v0開始運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中受到一個(gè)大小恒定為f、方向始終與速度方向相反的阻力,不計(jì)重力．

(1) (高考難度)該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是圖4中的

(2) (競(jìng)賽預(yù)賽難度)從粒子經(jīng)過O點(diǎn)開始計(jì)時(shí),求t時(shí)刻粒子的速度大小及方向;

圖4

(3) (競(jìng)賽復(fù)賽難度)求粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡方程以及粒子最終的位置坐標(biāo);

(4) (競(jìng)賽決賽難度)求粒子運(yùn)動(dòng)過程中x坐標(biāo)分量的取值范圍．

解析: (1) 由于粒子速度不斷減小,并結(jié)合洛倫茲力方向，不難判斷(A)選項(xiàng)正確．

(2)由公式(1)可知,粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

(9)

當(dāng)t

(10)

由公式(2)可知,粒子速度方向隨時(shí)間均勻增大,即t時(shí)刻,速度與x軸正方向夾角為

(11)

當(dāng)t≥t0時(shí),粒子的速度為0．

(3) 由前文所述,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為圖2所示“漸開線”,其中初始繩長(zhǎng)r1和圓柱半徑R分別為

(12)

將纏繞的角度θ作為參數(shù)(如圖5所示),可寫出軌跡的參數(shù)方程,即

x=R(1-cosθ)+(r1-Rθ)sinθ，

(13)

y=r1-Rsinθ-(r1-Rθ)cosθ，

(14)

其中r1和R由式(12)給出．t0時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng),由式(9)、(11)～(14)可得最終坐標(biāo)為

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

綜上,粒子運(yùn)動(dòng)過程中x坐標(biāo)分量的范圍為：

當(dāng)然,這個(gè)問題如果不和“漸開線”類比,直接寫微分方程亦可求解,但解題過程,尤其是一些分類討論的臨界情形不太直觀．

參考文獻(xiàn)：

1 張璋,張引紅. 勻強(qiáng)磁場(chǎng)中不同受力下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡[J].物理教學(xué),2017,38(6):65-67.

2 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程電磁學(xué)篇[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2014:386-388.