考慮衰減直流分量的動(dòng)態(tài)相量強(qiáng)跟蹤測(cè)量算法

黃 純, 劉潔波, 江亞群, 湯 濤, 謝 興

(湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院, 湖南省長(zhǎng)沙市 410082)

0 引言

同步相量測(cè)量單元(phasor measurement unit,PMU)是電網(wǎng)廣域測(cè)量系統(tǒng)[1-2]及廣域保護(hù)系統(tǒng)[3-4]的核心,相量估計(jì)算法的測(cè)量精度及動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度對(duì)于電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)[5]、安全分析與穩(wěn)定控制[6-7]等至關(guān)重要。離散傅里葉變換(discrete Fourier transform,DFT)是目前應(yīng)用最為廣泛的相量估計(jì)算法,在靜態(tài)條件下具有良好的測(cè)量精度[7]。針對(duì)信號(hào)基波分量的時(shí)變性會(huì)導(dǎo)致DFT測(cè)量精度嚴(yán)重下降的問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了較多的DFT改進(jìn)算法[8-9]。然而,當(dāng)電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí),故障電流中不僅基波分量具有時(shí)變性,還可能包含衰減直流分量,衰減直流分量會(huì)嚴(yán)重影響相量估計(jì)算法的測(cè)量精度及動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。因此,有必要研究能抑制衰減直流分量影響且對(duì)時(shí)變信號(hào)有較強(qiáng)的跟蹤能力的相量估計(jì)算法。

目前,含有衰減直流分量的相量測(cè)量算法可以分為兩類。一類無(wú)需估計(jì)衰減直流分量。文獻(xiàn)[10]利用有限長(zhǎng)單位沖擊響應(yīng)(finite impulse response,FIR)濾波器來(lái)抑制衰減直流分量,但只有當(dāng)濾波器的時(shí)間常數(shù)與衰減直流分量的時(shí)間常數(shù)相等時(shí)才具有較好的濾波效果。文獻(xiàn)[11]提出了一種改進(jìn)的全波傅里葉算法,利用1個(gè)工頻周期和2個(gè)額外采樣點(diǎn)構(gòu)成的連續(xù)3個(gè)數(shù)據(jù)窗的全波傅里葉變換結(jié)果,修正全波傅里葉變換的基波參數(shù)估計(jì)結(jié)果,能有效抑制衰減直流分量的不良影響,但沒(méi)有考慮基波頻率偏移的影響。另一類需要先估計(jì)衰減直流分量。文獻(xiàn)[12]為抑制衰減直流的影響先利用直流濾波器估計(jì)衰減直流分量,再用基波濾波器估計(jì)基波相量,該方法時(shí)延較短,但計(jì)算量大。文獻(xiàn)[13]建立了考慮衰減直流分量的信號(hào)模型,利用時(shí)域信號(hào)求解模型參數(shù),計(jì)算量較小,但時(shí)延長(zhǎng)。文獻(xiàn)[14]提出的改進(jìn)DFT算法需要分別對(duì)兩個(gè)連續(xù)的基波周期信號(hào)進(jìn)行積分運(yùn)算,利用這兩個(gè)積分結(jié)果估計(jì)衰減直流分量,但需要一個(gè)基波周期才能精確估計(jì)衰減直流分量,動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度較慢,且頻率變化會(huì)嚴(yán)重影響估計(jì)精度。

為了滿足IEEE相量測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)C37.118.1-2011[15]及其補(bǔ)充標(biāo)準(zhǔn)C37.118.1a-2014[16]對(duì)動(dòng)態(tài)條件下P類PMU在精確度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度上的要求,本文建立考慮基波頻率變化、含有基波分量和衰減直流分量的故障電流的非線性狀態(tài)空間描述模型,減少當(dāng)故障電流信號(hào)中存在衰減直流分量時(shí)信號(hào)的模型誤差,從而提高測(cè)量精度,并利用強(qiáng)跟蹤濾波器(strong tracking filter,STF)迭代計(jì)算所建立的狀態(tài)變量,提高對(duì)突變電流信號(hào)的跟蹤能力。

1 電流信號(hào)的非線性狀態(tài)空間描述

假設(shè)輸電線路的單相故障電流信號(hào)僅含基波分量和指數(shù)形式的衰減直流分量,其離散形式的表達(dá)式為:

(1)

式中:Ak,ωk,φk分別為第k個(gè)采樣點(diǎn)的基波幅值、角頻率和相位角;τ和b分別為衰減直流分量的時(shí)間常數(shù)和初始幅值;Ts為采樣時(shí)間間隔。

第k個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻的基波相量Xk如下:

(2)

1.1 基波分量的狀態(tài)變量

定義電流信號(hào)基波分量的狀態(tài)變量為:

(3)

在電網(wǎng)的正常情況下,基波幅值、角頻率和初相位是不會(huì)突變的,利用三角函數(shù)的和差公式,從kTs到(k+1)Ts時(shí)刻的基波分量的各狀態(tài)變量可以近似為:

(4)

1.2 衰減直流分量的狀態(tài)變量

為了表述方便,將信號(hào)中的衰減直流分量設(shè)為:

(5)

衰減直流分量是一個(gè)連續(xù)變化的函數(shù),可用Sk的n階泰勒展開(kāi)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)Sk+1,即

(6)

綜合考慮計(jì)算量和精確度兩個(gè)因素,本文選擇建立衰減直流分量的2階泰勒模型。定義衰減直流分量的狀態(tài)變量為:

(7)

由式(6)可得,從kTs到(k+1)Ts時(shí)刻衰減直流分量的狀態(tài)變量近似為:

(8)

1.3 電流信號(hào)的非線性狀態(tài)空間描述

由式(4)可得不含衰減直流分量的電流信號(hào)的非線性狀態(tài)空間描述為:

(9)

式中:

結(jié)合式(4)和式(8)可得含衰減直流分量的電流信號(hào)的非線性狀態(tài)空間描述為:

(10)

式中:

式(9)和式(10)中wk為過(guò)程噪聲、vk為觀測(cè)噪聲,二者是符合正態(tài)分布的互不關(guān)聯(lián)的高斯白噪聲,且wk～N(0,Qk),vk～N(0,Rk),其中Qk和Rk分別為wk和vk的協(xié)方差矩陣。

考慮到計(jì)算量以及模型的簡(jiǎn)潔性,狀態(tài)分量中并未加入諧波分量,而是將其作為噪聲濾除。

基波頻率:

(11)

基波相量的有效值:

(12)

基波相量的初相角:

(13)

衰減直流分量的瞬時(shí)值:

(14)

2 強(qiáng)跟蹤濾波算法

2.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波

卡爾曼濾波(Kalman filter,KF)是用于線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的濾波器[17],而擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)是其在非線性系統(tǒng)中的擴(kuò)展應(yīng)用[18-19]。EKF估計(jì)非線性系統(tǒng)(式(9)或式(10))的狀態(tài)變量向量的具體過(guò)程如下。

1)預(yù)測(cè)狀態(tài)向量:

(15)

2)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣:

(16)

3)計(jì)算增益矩陣:

(17)

4)修正狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差矩陣:

(18)

(19)

式中:上標(biāo)“～”表示預(yù)測(cè)量。

EKF的魯棒性較差,當(dāng)模型誤差較大時(shí),估計(jì)狀態(tài)變量的收斂速度過(guò)慢,甚至?xí)斐蔀V波發(fā)散[17]。另外,EKF對(duì)系統(tǒng)突變的跟蹤能力較弱[18-19],因?yàn)楫?dāng)EKF對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)達(dá)到穩(wěn)定后,誤差協(xié)方差矩陣和增益矩陣會(huì)被限定在較小的值,EKF無(wú)法快速跟蹤系統(tǒng)突變,甚至?xí)适Ц櫮芰Α?/p>

2.2 STF

STF是一種帶次優(yōu)漸消因子的濾波器[18],在EKF的基礎(chǔ)上,根據(jù)輸出的殘差序列在式(16)的協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)中引入次優(yōu)漸消因子,強(qiáng)迫輸出的殘差序列保持相互正交,從而間接地實(shí)時(shí)調(diào)整增益矩陣,增強(qiáng)了EKF的魯棒性及跟蹤系統(tǒng)突變的能力。

式(16)所示預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣變?yōu)?

(20)

式中:λk+1≥1為次優(yōu)漸消因子。

設(shè)輸出的殘差序列為:

(21)

則按以下公式計(jì)算次優(yōu)漸消因子:

(22)

Nk+1=Vk+1-HQkHT-βRk+1

(23)

(24)

(25)

(26)

式中:ρ為遺忘因子,本文取0.95;β為弱化因子,本文取1;tr[·]為求矩陣跡的算子。

利用STF遞推估計(jì)每個(gè)時(shí)刻的最優(yōu)狀態(tài)變量向量,然后利用式(11)—式(14)計(jì)算各信號(hào)參量。采用STF估計(jì)相量的流程圖見(jiàn)附錄A圖A1。

3 仿真驗(yàn)證

將含衰減直流分量的數(shù)值仿真信號(hào)和利用ATP-EMTP仿真軟件得到的故障電流信號(hào),采用本文所提的基于式(10)模型的考慮衰減直流分量的強(qiáng)跟蹤濾波算法(簡(jiǎn)稱“STF1算法”)與基于式(9)模型的不考慮衰減直流分量的強(qiáng)跟蹤濾波算法(簡(jiǎn)稱“STF2算法”),以及文獻(xiàn)[7]傳統(tǒng)DFT算法和文獻(xiàn)[14]改進(jìn)DFT算法進(jìn)行相量測(cè)量,分析比較測(cè)量結(jié)果以驗(yàn)證本文方法的有效性。算法參數(shù)設(shè)置見(jiàn)附錄B。

以相量的幅值誤差及相角誤差、綜合矢量誤差(total vector error,TVE)和響應(yīng)時(shí)間[16-17]為指標(biāo)來(lái)衡量算法的性能。各指標(biāo)具體含義見(jiàn)附錄B。

3.1 數(shù)值信號(hào)仿真

1)含衰減直流分量信號(hào)的仿真分析

故障電流中通常含衰減直流分量,它的初始幅值b以及時(shí)間常數(shù)τ由電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、故障類型等多個(gè)因素決定[13]。下文取不同的b和τ對(duì)算法的性能進(jìn)行評(píng)估。設(shè)故障前(t<0)、故障后(t>0)電流信號(hào)的模型為:

(27)

式中:v(t)為添加的高斯白噪聲,使信噪比為50 dB。

圖1為STF1算法與改進(jìn)DFT算法所估計(jì)的衰減直流分量。由圖可知,這兩種算法都在0.02 s跟蹤上衰減直流分量的實(shí)際值,但本文所提STF1算法在0～0.02 s間估計(jì)誤差更小。

圖1 STF1算法與改進(jìn)DFT算法估計(jì)的特性不同的衰減直流分量Fig.1 Decaying DC components with different characteristics estimated by STF1 and improved DFT algorithms

圖2為4種算法在b=0.6和τ=0.07時(shí)相量測(cè)量的幅值誤差(標(biāo)幺值)、相角誤差及TVE(附錄C圖C1還給出了b=0.4和τ=0.05時(shí)的相應(yīng)相量測(cè)量結(jié)果)。

對(duì)比STF1算法與STF2算法的幅值誤差可知,式(10)模型比式(9)模型的測(cè)量誤差更小,STF1算法幅值誤差能夠在0.02 s左右就收斂到很小值,而STF2算法的幅值誤差則是緩慢地振蕩減小。STF1算法與STF2算法的相角誤差幾乎一樣,因?yàn)樗p直流分量只影響信號(hào)的幅值。

由圖2可知,衰減直流分量會(huì)嚴(yán)重影響傳統(tǒng)DFT算法的估計(jì)精度,幅值誤差和相角誤差隨著衰減直流分量的減小而緩慢地振蕩減少。

對(duì)比TVE可得,STF1算法的響應(yīng)時(shí)間為20.0 ms,改進(jìn)DFT算法的響應(yīng)時(shí)間為39.4 ms,雖然兩者都滿足小于40 ms的要求,但是本文算法的響應(yīng)時(shí)間遠(yuǎn)小于改進(jìn)DFT算法,動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度更快。而不考慮衰減直流分量的STF2算法和傳統(tǒng)DFT算法,其動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度遠(yuǎn)不能滿足IEEE標(biāo)準(zhǔn)對(duì)動(dòng)態(tài)相量測(cè)量的要求。

2)工頻變化時(shí)含衰減直流分量信號(hào)的仿真分析

圖2 4種算法的估計(jì)誤差Fig.2 Estimation errors of four algorithms

電力系統(tǒng)嚴(yán)重故障時(shí),基波頻率可能發(fā)生較大幅度的變化。為了驗(yàn)證本文方法對(duì)頻率變化的適用性,仿真特意采用較大的頻率變化量,故障發(fā)生后基波頻率變?yōu)?9 Hz,其故障電流信號(hào)為:

(28)

附錄D圖D1給出了STF1算法的頻率估計(jì)結(jié)果,表明STF1算法能快速跟蹤頻率的變化。附錄D圖D2給出了DFT算法與STF1算法所估計(jì)的衰減直流分量,在頻率發(fā)生變化后,改進(jìn)DFT算法估計(jì)的衰減直流分量誤差大且無(wú)法收斂,而STF1算法依然能在0.02 s左右跟蹤上衰減直流分量的實(shí)際值。

圖3為改進(jìn)DFT算法與STF1算法的相量估計(jì)誤差。

改進(jìn)DFT算法估計(jì)的衰減直流分量極不準(zhǔn)確,無(wú)法從信號(hào)濾除衰減直流分量,加上頻譜泄露的原因,其相量估計(jì)誤差很大,TVE無(wú)法減少到1%以下。而STF1算法依然能保持高精度的相量估計(jì),響應(yīng)時(shí)間為18.5 ms,具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。

3.2 ATP-EMTP仿真信號(hào)

基于ATP-EMTP軟件建立含雙側(cè)電源的230 kV輸電線路故障仿真模型(見(jiàn)附錄E圖E1),進(jìn)行表1所示的各種類型的故障仿真,產(chǎn)生包含衰減直流分量的故障電流信號(hào)。

圖3 頻率變化時(shí)STF1算法與改進(jìn)DFT算法的估計(jì)誤差Fig.3 Estimation error of STF1 and improved DFT algorithms when frequency changes

仿真場(chǎng)景故障情況 故障類型距離/km過(guò)渡電阻/Ω頻率/Hz AA-B-C700.0150 BA-B705.0050 CA-G400.0150 DA-G405.0050 EA-B-C-G400.0149 FA-B-G400.0151

采用STF1算法、改進(jìn)DFT算法及傳統(tǒng)DFT算法對(duì)這些信號(hào)進(jìn)行相量幅值測(cè)量,仿真場(chǎng)景A,B,C的測(cè)量結(jié)果如圖4所示,場(chǎng)景E,F,D的測(cè)量結(jié)果見(jiàn)附錄E圖E2。

由圖4可知,STF1算法能有效抑制濾除衰減直流分量的影響,相比DFT算法及改進(jìn)DFT算法能夠更快地收斂于基波分量。

3.3 現(xiàn)場(chǎng)故障錄波信號(hào)的分析

分別采用STF1算法和改進(jìn)DFT算法對(duì)某220 kV變電站110 kV線路三相短路故障電流的故障錄波信號(hào)進(jìn)行分析。結(jié)果表明,STF1算法在電流突然增大(故障發(fā)生)和突然減小(故障切除)時(shí)均能夠快速跟蹤幅值的變化,而改進(jìn)DFT算法有約20 ms的延時(shí),且在故障持續(xù)期間幅值振蕩較大。故障錄波信號(hào)波形及其測(cè)量結(jié)果分別見(jiàn)附錄F圖F1和圖F2。

圖4 場(chǎng)景A,B,C下算法的幅值響應(yīng)Fig.4 Amplitude response in scenario A, B and C

4 結(jié)語(yǔ)

故障電流的時(shí)變性以及包含的衰減直流分量會(huì)降低傳統(tǒng)基于傅里葉變換的相量估計(jì)精度以及動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度,無(wú)法滿足保護(hù)類PMU快速精確響應(yīng)故障電流的要求。本文提出考慮衰減直流分量的動(dòng)態(tài)相量強(qiáng)跟蹤測(cè)量算法。

1)在電流信號(hào)狀態(tài)空間描述的狀態(tài)變量向量中添加衰減直流分量及其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),并利用泰勒展開(kāi)多項(xiàng)式建立它們的迭代關(guān)系,可以有效表征衰減直流分量連續(xù)變化的特點(diǎn),減少信號(hào)的模型誤差,且無(wú)需估計(jì)衰減直流分量的時(shí)間常數(shù)和初始幅值;狀態(tài)變量向量中含有基波角頻率分量,使得算法對(duì)頻率變化具有適用性。

2)故障電流信號(hào)具有突變的特點(diǎn),本文利用STF算法迭代估計(jì)故障電流的狀態(tài)變量,引入次優(yōu)漸消因子,使得算法可以根據(jù)殘差大小自適應(yīng)性地調(diào)整估計(jì)協(xié)方差矩陣,增強(qiáng)了算法對(duì)故障電流信號(hào)的跟蹤能力。

3)對(duì)含噪聲的數(shù)值信號(hào)及ATP-EMTP故障仿真信號(hào)進(jìn)行分析,結(jié)果表明所提算法能有效抑制衰減直流分量對(duì)相量估計(jì)的影響,可同時(shí)具有較高的相量估計(jì)精度以及較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。

本文算法屬于參數(shù)辨識(shí)類算法,其計(jì)算量大于基于DFT的相量測(cè)量算法,如何減小計(jì)算量,并克服其受預(yù)測(cè)狀態(tài)量初始值以及遺忘策略影響、多頻率諧波分析困難等缺陷,使之更適用于繼電保護(hù)等工程在線應(yīng)用,有待進(jìn)一步研究。

附錄見(jiàn)本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

參 考 文 獻(xiàn)

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