基于最大相關(guān)熵的噪聲主動(dòng)控制研究

翟克寧

（東風(fēng)柳州汽車有限公司，廣西 柳州 545005）

0 引言

噪聲主動(dòng)控制技術(shù)在很多方面都得到了廣泛的應(yīng)用，主動(dòng)降噪系統(tǒng)可以有效地降低被動(dòng)降噪方法無(wú)法解決的低頻噪聲[1]。

當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)脈沖噪聲的時(shí)候，基于Fxlms（Filter-x least mean square）算法的主動(dòng)降噪系統(tǒng)會(huì)變得不穩(wěn)定。為了解決脈沖噪聲，許多算法已經(jīng)被提出來(lái)[2]。在1995，年Leahy提出的 FxLMP（filter-x least mean p-power）算法，該算法以誤差信號(hào)P次方最小化代替最小誤差信號(hào)均方值為目標(biāo)函數(shù)。后來(lái)，Wu et al.提出了以誤差信號(hào)對(duì)數(shù)值最小為目標(biāo)函數(shù)的對(duì)數(shù)主動(dòng)降噪算法Fxloglms（Filter-x logarithmic error lms）[3]。 在 2012 年，George 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行魯棒性設(shè)計(jì)，提出了 RFslms（Robust filter-x lms）算法[4]。2017年，Lu et al.基于最大相關(guān)熵MCC提出了FxRMC算法能有效地降低脈沖噪聲信號(hào)，但是該算法存在計(jì)算復(fù)雜度過(guò)大問(wèn)題[5]。

最大相關(guān)熵MCC能很好地描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系[6]。在主動(dòng)降噪系統(tǒng)中，MCC用來(lái)描述初始信號(hào)和濾波器產(chǎn)生的期望信號(hào)之間的關(guān)系。基于主動(dòng)降噪基本原理，當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)相似度大時(shí)候，系統(tǒng)能有效地較低噪聲信號(hào)。本文，基于最大相關(guān)熵MCC提出了一種變步長(zhǎng)FxnMCC算法。該算法能有效地降低脈沖噪聲，但是算法的收斂速度遠(yuǎn)不如FxRMC算法。因此本文進(jìn)一步提出了混合H-Fx-RMC算法。該混合算法結(jié)合了FxRMC算法收斂速度快和FxnMCC算法降噪性能好的優(yōu)點(diǎn)，并且提高了系統(tǒng)的魯棒性能。本文最后在Matlab平臺(tái)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明提出的算法能更好地降低脈沖噪聲。

1 脈沖噪聲

在一些惡劣的環(huán)境中，SαS信號(hào)或噪聲具有顯著的尖峰脈沖特性和拖尾特性。SαS穩(wěn)定分布是非常重要的非高斯分布，能很好地描述這種尖峰脈沖特性以及嚴(yán)重的拖尾特性。穩(wěn)定分布是一類具有廣泛代表性的隨機(jī)分布模型。它們的概率密度函數(shù)沒用統(tǒng)一的封閉表達(dá)式，但它的特征函數(shù)存在統(tǒng)一的形式。其中SαS信號(hào)可以表達(dá)為：

其中，r=log10[rand（1，L）]，rand（，）是指符合均勻分布的隨機(jī)數(shù)；Φ維度為1×L并且是在范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。α的取值范圍約束在0到2，當(dāng)α越小噪聲信號(hào)的脈沖程度越高，反之亦然。當(dāng)α=1時(shí)候噪聲符合柯西分布，當(dāng)α=2時(shí)，噪聲符合高斯分布。

2 自適應(yīng)主動(dòng)噪聲控制模型

2.1 傳統(tǒng)FxLMS算法介紹

如圖1所示，基于前饋控制系統(tǒng)的主動(dòng)降噪系統(tǒng)框圖。圖中，x（n）表示參考噪聲信號(hào)，通過(guò)參考信號(hào)拾音器測(cè)得；d（n）表示初始噪聲信號(hào)，表示為目標(biāo)降噪點(diǎn)處原有噪聲信號(hào)；p（z）為初級(jí)傳遞函數(shù)，它表示初級(jí)信號(hào)傳遞途徑的傳遞函數(shù)；s（z）表示次級(jí)傳遞函數(shù)，用于描述揚(yáng)聲器布放位置到目標(biāo)降噪點(diǎn)的傳遞函數(shù)；y（n）表示濾波器生成的信號(hào)；e（n）表示降噪后的殘余噪聲信號(hào)，其中 e（n）=d（n）-y（n）。

圖1 自適應(yīng)有源前饋控制系統(tǒng)示意圖

主動(dòng)降噪系統(tǒng)的輸入信號(hào)為參考信號(hào)x（n），假設(shè)其向量長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則可以表示為：

其中，L—輸入信號(hào)的長(zhǎng)度；n—時(shí)間索引。另外，濾波器系數(shù)向量W（n）可以表示為：

濾波器的輸出為y（n），可以表達(dá)為：

傳統(tǒng)的Fxlms算法以誤差信號(hào)均方值最小為目標(biāo)函數(shù)，其濾波器系數(shù)更新公式表示為：

式中，X'（n）表示參考信號(hào)通過(guò)次級(jí)傳遞函數(shù)估計(jì)值（n）。 因此，在時(shí)域內(nèi)，它表示參考信號(hào) x（n）和（n）的卷積：

2.2 FxnMCC算法推導(dǎo)過(guò)程

本文算法是基于最大相關(guān)熵MCC來(lái)提高主動(dòng)降噪系統(tǒng)的魯棒性，最大相關(guān)熵描述了濾波器生成信號(hào)和初級(jí)噪聲信號(hào)之間的關(guān)系，以此為目標(biāo)函數(shù)能有效地控制脈沖噪聲的衰減。相關(guān)熵可以表示為：

其中 E（·）—期望值；Kσ（α，β）—一種高斯內(nèi)核大小；fα，β（α，β）—α 和 β 的聯(lián)合分布函數(shù)。 α、β—兩列隨機(jī)信號(hào)，通常它們的高斯內(nèi)核Kσ（α，β）定義為：

然而對(duì)于離散信號(hào)序列來(lái)說(shuō)，兩列隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)熵可以表達(dá)為：

以期望信號(hào)和輸出信號(hào)的相關(guān)熵作為主動(dòng)降噪算法的目標(biāo)函數(shù)，利用梯度法來(lái)尋求它們相關(guān)熵的最大值。因此主動(dòng)控制算法目標(biāo)函數(shù)為：

根據(jù)梯度法原理，濾波器權(quán)系數(shù)的更新公式為：

目標(biāo)函數(shù)的變化梯度為：

我們令因此FxMCC算法的濾波器權(quán)系數(shù)的更新方法可以表示為：

濾波器更新的收斂系數(shù)μ的值決定自適應(yīng)過(guò)程中系統(tǒng)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的大小。如果μ的值取值過(guò)大，將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散不收斂。μ取值過(guò)小會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)收斂速度慢。一般來(lái)說(shuō)收斂系數(shù)的取值取決于濾波器長(zhǎng)度和參考信號(hào)的功率，歸一化版本的FxnMCC算法就是讓濾波器收斂系數(shù)的值不斷地隨著參考信號(hào)功率更新，其表達(dá)式為：

因此，本文提出的FxnMCC算法的濾波器更新系數(shù)表達(dá)式可以重寫為：

2.3 FxRMC算法介紹

FxRMC算法也是以期望信號(hào)d（n）和輸出信號(hào)y（n）的最大相關(guān)熵作為目標(biāo)函數(shù)，但是濾波器采用遞歸形式進(jìn)行更新。FxRMC算法的主要公式如下：

其中 Gp（n）是濾波器增益向量，其維度長(zhǎng)度為 1×L；P（n）是輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣的逆，它的維度為L(zhǎng)×L；λ代表遺忘因、子λ小于并約等于1。

2.4 混合H-Fx-RMC算法

為了結(jié)合兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，本文進(jìn)一步提出了一種混合H-Fx-RMC算法?；旌纤惴ㄏ日{(diào)用FxRMC算法，使殘余噪聲到達(dá)較低的水平，之后再調(diào)用變步長(zhǎng)FxnMCC算法繼續(xù)調(diào)整濾波器權(quán)系數(shù)值，達(dá)到最優(yōu)降噪水平。為了決定什么時(shí)候轉(zhuǎn)化兩種算法，以平均噪聲減少量ANR（averaged noise reduction）作為標(biāo)準(zhǔn)定義一個(gè)固定的閾值ψ。混合算法一開始采用FxRMC模式更新濾波器權(quán)系數(shù)W（n），當(dāng)噪聲平均降噪量ANR達(dá)到并小于設(shè)定的閾值ψ時(shí)候，混合算法轉(zhuǎn)化為FxnMCC算法更新濾波器權(quán)系數(shù)。因此混合算法的關(guān)系式可以表示為：

在主動(dòng)降噪系統(tǒng)中，ANR常用作為衡量算法降噪效果的標(biāo)準(zhǔn)，表達(dá)式為：

其中，ξ=0.999，Ae（n）和 Ad（n）分別表示初始信號(hào) d（n）和殘余信號(hào)e（n）的估計(jì)值。閾值ψ的設(shè)定一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)為主，根據(jù)處理不同環(huán)境的噪聲進(jìn)行選擇。

3 算法計(jì)算復(fù)雜度分析

在主動(dòng)降噪系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用中，為了滿足實(shí)時(shí)性控制，對(duì)系統(tǒng)的計(jì)算速度有一定的要求。主動(dòng)降噪算法的計(jì)算復(fù)雜程度對(duì)ANC系統(tǒng)計(jì)算速度有著直接的影響，算法的計(jì)算復(fù)雜度越高，相應(yīng)地對(duì)硬件系統(tǒng)的計(jì)算速度要求越快。這也會(huì)導(dǎo)致需要高質(zhì)量硬件部件，增大搭建主動(dòng)降噪系統(tǒng)的成本，因此如何降低算法的計(jì)算復(fù)雜度是一個(gè)很重要的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

表1 算法計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

如表1所示。顯然FxRMC算法的計(jì)算復(fù)雜度比FxnMCC算法的大很多?；旌螲-Fx-RMC算法計(jì)算復(fù)雜度介于兩個(gè)算法之間。

4 系統(tǒng)仿真與控制實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文基于MATLAB軟件進(jìn)行編程，仿真對(duì)比傳統(tǒng)的FxLMS、FxnMCC、FxRMC和 H-Fx-RMC算法處理脈沖噪聲的降噪性能。取不同值α的脈沖信號(hào)作為仿真參考輸入信號(hào)。圖2呈現(xiàn)了脈沖噪聲的時(shí)域圖，噪聲信號(hào)體現(xiàn)出尖峰脈沖特性。圖2描述了兩種情況不同α值的脈沖信號(hào)。

4.1 參考信號(hào)為脈沖信號(hào)試驗(yàn)

參考信號(hào)到降噪目標(biāo)點(diǎn)存在一個(gè)初級(jí)傳遞通道，一般來(lái)說(shuō)用初級(jí)傳遞函數(shù)Q（z）來(lái)描述該通道，我們?cè)O(shè)置為Q（z）=z-3-0.3z-4+0.2z-5；類似地，主動(dòng)降噪系統(tǒng)的揚(yáng)聲器發(fā)出輸出信號(hào)，輸出信號(hào)會(huì)經(jīng)過(guò)一段次級(jí)通道路徑，用次級(jí)傳遞函數(shù)描述該通道，可以表示為：S（z）=z-2+0.5z-3；本文仿真算法以ANR作為衡量算法降噪性能的標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)ANR定義可知，當(dāng)ANR的值小于零，系統(tǒng)才有一定的降噪效果，若ANR越小，表明算法降噪能力越強(qiáng)。

圖2 脈沖信號(hào)時(shí)域圖，（a）α：=1.1， （b）α：=1.2

本小節(jié)試驗(yàn)中以圖2脈沖信號(hào)作為輸入信號(hào)。在算法仿真中，高斯內(nèi)核σ的大小設(shè)置為σ2=8，閾值取ψ=-6。FxnMCC算法和H-Fx-RMC算法的迭代步長(zhǎng)取μ=0.01，F(xiàn)xRMC算法的遺忘因子取λ=0.95。圖3描述的是不同算法降噪的ANR曲線。從仿真結(jié)果圖可知，傳統(tǒng)的FxLMS算法出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象不能衰減脈沖噪聲，而本文提出的變步長(zhǎng)算法FxnMCC算法和混合H-Fx-RMC算法均能有效地降低脈沖噪聲，系統(tǒng)趨于收斂，相比FxLMS算法有更好的魯棒性。FxnMCC算法解決2500步才趨于收斂，而混合算法和FxRMC算法在1000步以內(nèi)便接近收斂。證明但是變步長(zhǎng)FxnMCC算法相對(duì)于FxRMC和混合HFx-RMC算法來(lái)說(shuō)收斂速度慢。而通過(guò)第3節(jié)的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比我們知道，F(xiàn)xRMC算法計(jì)算復(fù)雜度比FxnMCC算法高很多，而混合算法在達(dá)到設(shè)定閾值時(shí)候會(huì)從計(jì)算復(fù)雜度高的FxRMC算法轉(zhuǎn)化到計(jì)算復(fù)雜度低的FxnMCC算法，因此相對(duì)FxRMC算法來(lái)說(shuō)計(jì)算復(fù)雜度肯定是降低的。因此我們可以說(shuō)混合H-Fx-RMC算法不僅能有效地降低脈沖噪聲并且具有收斂速度快計(jì)算復(fù)雜度較低的良好性能。

圖3 試驗(yàn)1不同算法仿真結(jié)果ANR曲線，（a）α：=1.1， （b）α：=1.2

4.2 參考信號(hào)為脈沖噪聲和高斯噪聲混合試驗(yàn)

本節(jié)試驗(yàn)的參考信號(hào)為脈沖噪聲和高斯分布噪聲想結(jié)合，混合類型參考信號(hào)噪聲如圖4所示，混合噪聲長(zhǎng)度為兩萬(wàn)點(diǎn)數(shù)，由分別取為前一萬(wàn)點(diǎn)數(shù)符合α=2.0的高斯分布噪聲，后一萬(wàn)點(diǎn)數(shù)為α=1.3的脈沖噪聲。圖5顯示了以混合噪聲為參考輸入噪聲時(shí)候，本文提出的算法仍然有良好的降噪效果，傳統(tǒng)的FxLMS算法迭代到接近一萬(wàn)多步時(shí)候發(fā)散，再次驗(yàn)證傳統(tǒng)FxLMS算法在脈沖噪聲出現(xiàn)時(shí)候的性能不住。本文提出的FxnMCC和混合H-Fx-RMC算法能有效地降低脈沖噪聲，魯棒性比FxLMS算法強(qiáng)，得到的其它結(jié)論和試驗(yàn)1相似。

圖4 混合噪聲

圖5 試驗(yàn)2不同算法仿真結(jié)果ANR曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

本文進(jìn)行了脈沖噪聲存在時(shí)候提高魯棒性的算法研究。基于最大相關(guān)熵MCC，本文提出了變步長(zhǎng)FxnMCC算法能很好地降低脈沖噪聲，提高主動(dòng)降噪系統(tǒng)的魯棒性和降噪性能。但是變步長(zhǎng)算法的收斂速度較慢，為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文進(jìn)一步結(jié)合現(xiàn)有的FxRMC算法提出了混合HFx-RMC算法。該混合算法的計(jì)算復(fù)雜度比FxRMC低，具有快速收斂的性能，而且能有效地衰減脈沖信號(hào)噪聲。本文通過(guò)多個(gè)仿真研究證明了混合H-Fx-RMC算法的優(yōu)點(diǎn)。

[1]王登峰，劉學(xué)廣，劉宗巍，等.基于發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的車內(nèi)有源消聲控制策略和自適應(yīng)算法[J].公路交通科技，2004，21.

[2]陳克安，馬遠(yuǎn)良.自適應(yīng)有源噪聲控制：原理、算法及實(shí)現(xiàn)[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社，1993.

[3]Wu L，He H，Qiu X.An Active Impulsive Noise Control Algorithm With Logarithmic Transformation：IEEE Press；2011.

[4]George NV，Panda G.A robust filtered-s LMS algorithm for nonlinear active noise control.Applied Acoustics，2012，73.

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