基于修正的子空間正交測試寬帶DOA估計方法*

陳明建，龍國慶，黃中瑞，蔡 進(jìn)

（國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，合肥 230037）

0 引言

陣列處理中信號的波達(dá)方向（DOA）估計一直是雷達(dá)、通信以及聲納等領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容之一［1］。由于具有優(yōu)良的超高分辨特性，空間譜估計技術(shù)已成為DOA估計的經(jīng)典方法［2］。如基于子空間分解的多信號分類法（MUSIC）［3-5］、旋轉(zhuǎn)子空間不變法（ESPRIT）［6-8］以及子空間擬合法［9-10］。上述傳統(tǒng)的空間譜估計均假設(shè)信源為窄帶信號，針對寬帶信號的DOA估計主要分為兩類：一類是非相干子空間法（ISM）［11］。該方法只有在高信噪比條件下具有較好的估計效果，且不能處理相干信源；另一類是相干子空間處理法（CSM）［12-13］，該方法可以分辨寬帶相干信源，在低信噪比條件下估計性能優(yōu)于ISM法，但需要角度預(yù)估計［14］。針對該問題Yoon等人提出了一種投影子空間正交性測試（TOPS）算法［15］，該算法無需角度預(yù)估計。DOA估計性能取決于協(xié)方差矩陣估計準(zhǔn)確性，若協(xié)方差矩陣估計有誤差，則會造成后續(xù)的投影得到的各矩陣含噪聲，最終結(jié)果中會出現(xiàn)偽峰，且算法的性能與參考頻點(diǎn)選擇有關(guān)［16］。

針對傳統(tǒng)TOPS算法易出現(xiàn)偽峰問題，提出了一種改進(jìn)TOPS算法，通過最大化各頻率點(diǎn)信號子空間與噪聲子空間的特征值區(qū)分度選擇參考頻點(diǎn)，然后利用信號子空間投影矩陣代替其零空間投影矩陣，能夠有效消除偽峰的存在，提高了算法的分辨能力和DOA估計精度。

1 信號模型

考慮遠(yuǎn)場空間存在K個寬帶信號，信號帶寬均為，以角度入射到由M元陣元組成的均勻線陣上，陣元間距d為最高頻率對應(yīng)半波長。則第m號陣元接收到的信號為

其中，sk（t）第k個寬帶輻射源信號，，c為光速，nm（t）為復(fù)圓高斯空時白噪聲。

對接收數(shù)據(jù)xm（t）做離散時間傅立葉變換，將其劃分為J個子帶，即表示為

將所有陣元輸出Xm（fj）寫成矩陣形式為

其中，表示頻點(diǎn)fj處陣列流型矩陣，其列向量為可表示為

則Xm（fj）的協(xié)方差矩陣為

其中，為噪聲方差，I為單位矩陣。

若K個信源互不相關(guān)，則對Rs（fi）特征分解，可得信號子空間Fj、噪聲子空間Wj分別為

其中，為R（fi）的特征向量，對應(yīng)的特征值由大到小降序排列。

2 基于TOPS的寬帶信號DOA估計

2.1 傳統(tǒng)TOPS算法

對于均勻線陣的對角酉變換矩陣為

則新的陣列方向向量為

其中，。若，則有，即方向向量可由頻點(diǎn)fj變換到fk，而不改變其DOA信息。

假定，文獻(xiàn)［15］證明了下列兩個矩陣的值域是相等，即

其中，新的角度依賴于φ，滿足如下關(guān)系

符號［］i表示矢量的第i個元素。

若假定，定義M×K的矩陣為

其中，為可能的到達(dá)角。定義矩陣為

可以證明：當(dāng)φ為陣列流型中的某一角度時，矩陣將缺秩。對矩陣做奇異值分解，找到最小奇異值，通過對式（13）的峰值搜索可得到DOA估計值

為了減少Uj估計誤差，定義零空間的投影矩陣為

其中，為的投影矩陣。

利用修正得到，即

將代替重新計算矩陣，利用

式（13）進(jìn)行譜峰搜索估計得到DOA。

2.2 修正的MTOPS算法

針對TOPS方法易出現(xiàn)偽峰，修正的TOPS算法通過選擇最優(yōu)參考頻點(diǎn)，同時利用信號子空間投影代替其零空間投影，解決了噪聲子空間泄露引起的偽峰問題。

2.2.1 最優(yōu)參考頻點(diǎn)的選取

若信號子空間和噪聲子空間對應(yīng)的最小和最大特征值分別為，。定義特征值區(qū)分度為，則最優(yōu)參考頻點(diǎn)可由下式求得

2.2.2 信號子空間投影矩陣剔除偽峰

在TOPS算法中，利用信號子空間的零空間投影矩陣以消除信號子空間F0估計誤差，能夠部分解決由于噪聲子空間泄露引起算法性能下降問題，但TOPS方法仍無法避免出現(xiàn)偽峰。

由式（11）可知：

1）當(dāng)時，矩陣與信號子空間F0正交，即理想情況下某一行向量將退化為零向量。即式（13）在來波方向能夠出現(xiàn)峰值的原因。

2）當(dāng)時，與非正交，此時中的部分列向量可表示為

式（17）中項(xiàng)進(jìn)一步加強(qiáng)了噪聲子空間，即加劇了中信號子空間F0估計誤差的影響，這可能是TOPS算法出現(xiàn)偽峰的原因。

為了解決該問題，提出了信號子空間投影替代其零空間投影，即

類似式（12）構(gòu)造矩陣為

當(dāng)中的每一項(xiàng)可表示為

2.2.3 判決函數(shù)：矩陣跡

TOPS算法通過判決矩陣的秩缺程度來得到DOA估計，等價求解如下約束優(yōu)化問題

其中，表示矩陣秩；Θ為DOA搜索空間范圍。

式（21）是個NP優(yōu)化問題，傳統(tǒng)算法通過對的最小特征值來判斷其缺秩情況，因此，需要特征分解，計算量較大。為了解決該問題，本文利用近似松弛的方法，式（21）可近似等價為［19］

符號表示矩陣的核范數(shù)，等價于矩陣所有奇異值之和，即

符號trace表示矩陣的跡。

因此，改進(jìn)的MTOPS算法可表示為

2.2.4 誤差性能分析

假定分別為，其中為估計誤差，滿足、。為了行文的簡潔，分別表示為，則式（24）的分母項(xiàng)可表示為：

式（25）求跡運(yùn)算中的每一項(xiàng)矩陣可表示為

當(dāng)，此時，式（26）可以簡化為

則式（27）中含有關(guān)于的二次項(xiàng)和高階項(xiàng)。假定時，取值較小，因此，在時將出現(xiàn)峰值。

當(dāng)，此時式（26）可表示為

其中，，矩陣C為式（28）第一個等式中展開關(guān)于的多項(xiàng)式矩陣。雖然Trace（C）較小，但是由于較大，因此，在時將不出現(xiàn)峰值，避免了偽峰。

綜上所述，本文算法流程簡述如下：

1）對陣列接收到寬帶信號數(shù)據(jù)進(jìn)行分段，對每段進(jìn)行離散傅立葉變換DFT；

2）求得各頻點(diǎn)處的協(xié)方差矩陣R（fj）；

3）對R（fj）進(jìn)行特征分解，得到信號子空間Fj和噪聲子空間Gj；

4）利用式（16）判決式選取最優(yōu)參考頻率，求得參考頻率點(diǎn)的信號子空間0；

5）根據(jù)假定的DOA構(gòu)造方向向量投影矩陣和矩陣（φ）；

6）利用式（24）進(jìn)行譜峰搜索，得到K的局部極大值點(diǎn)，即為信號的來波方向。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真1考慮10個全向陣元組成的均勻線陣，陣元間距為入射信號最高頻率對應(yīng)的半波長。兩個獨(dú)立遠(yuǎn)場寬帶信號入射，其DOA分別為9°、12°，DFT點(diǎn)數(shù)為256，Montel-Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200次。圖1是信噪比SNR分別為10 dB、30 dB時兩種算法的空間譜。

圖1 不同信噪比時算法空間譜

由圖1可知，傳統(tǒng)TOPS算法易出現(xiàn)多個偽峰，而本文算法能夠有效剔除偽峰，且算法分辨率更高，譜峰更加尖銳。

仿真2 定義DOA均方根誤差，圖2為不同信噪比條件下DOA估計的均方根誤差性能。

圖2 不同信噪比SNR時算法均方根誤差RMSE

圖3 不同角度間隔時算法成功估計概率

由圖2可知，兩種方法的均方根誤差均隨著SNR增大而減小。在整個信噪比區(qū)間上，修正的MTOPS算法的RMSE均小于傳統(tǒng)的TOPS算法。

仿真3考慮兩個獨(dú)立寬帶信號源入射方位角為，其他參數(shù)同仿真1，信噪比SNR為5 dB。假定寬帶信號DOA的估計值分別為，則認(rèn)為該次估計成功分辨兩目標(biāo)。圖3為兩種算法在不同角度間隔下△θ的目標(biāo)成功分辨概率。

由圖3可知，兩種算法成功估計概率均隨著△θ的增大而提高，當(dāng)△θ為1.5°時傳統(tǒng)TOPS算法無法正確估計，而本文算法成功估計概率達(dá)到90%，即具有更高的分辨率。，若

4 結(jié)論

針對傳統(tǒng)TOPS算法易出現(xiàn)偽峰問題，本文提出了修正的TOPS算法。該方法選取最優(yōu)參考頻點(diǎn)，利用信號子空間投影代替其零空間投影，解決了噪聲子空間泄露引起的偽峰問題，然后通過矩陣跡搜索DOA，避免了特征值分解，減小了計算量。最后的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

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