小樣本條件下裝備壽命分布研究

王新鵬, 張靜遠(yuǎn), 劉　洋

(1. 海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院, 湖北 武漢　430033;2. 海軍工程大學(xué) 教務(wù)處, 湖北 武漢　430033)

可靠性分析與評(píng)估是可靠性工程的重要組成部分,對(duì)于長(zhǎng)期處于貯存條件下的裝備而言,在進(jìn)行可靠性分析和評(píng)估前,需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)的壽命信息確定裝備的貯存壽命分布。

目前裝備壽命分布的確定大多采用多種模型擬合擇優(yōu)法。利用統(tǒng)計(jì)的裝備壽命信息對(duì)常用的幾種裝備壽命分布進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)[1-2],確定最佳的壽命分布模型。文獻(xiàn)[3-5]憑借積累經(jīng)驗(yàn)選擇分布具有較大的不確定性。傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)檢驗(yàn),如最小二乘法[6]、極大似然估計(jì)法[7]和極小χ2估計(jì)擬合[8]等方法對(duì)失效數(shù)據(jù)的樣本量要求較大?；趨?shù)的Bootstrap擬合優(yōu)度檢驗(yàn)對(duì)小樣本情況精度較高,但過(guò)程較為復(fù)雜[9]。

對(duì)于小樣本壽命數(shù)據(jù)條件下的擬合優(yōu)度檢驗(yàn),由于數(shù)據(jù)量較少,可能多種分布同時(shí)通過(guò)檢驗(yàn),且沒(méi)有綜合考慮模型的物理背景,效果不明顯,所以小樣本條件下的壽命分布需要綜合考慮選擇最佳的分布函數(shù)和分布的特性。

本文對(duì)常用的幾種壽命分布進(jìn)行極小χ2估計(jì)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上,綜合各分布的物理背景及專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)信息等,對(duì)通過(guò)檢驗(yàn)的分布進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)確定最佳的裝備貯存壽命分布模型。

1　可靠性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

隨著貯存時(shí)間的增加,受貯存環(huán)境的影響,裝備可靠性逐漸降低。統(tǒng)計(jì)從服役開(kāi)始到時(shí)刻ti時(shí)間段內(nèi)某型裝備的總數(shù)ni中未失效的數(shù)量為si,統(tǒng)計(jì)的可靠性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為

(ni,si,ti),i=1,2,…,k

(1)

設(shè)該型裝備的貯存壽命為T(mén),則T的壽命分布函數(shù)為

F(t)=P(T≤t)=1-R(t)

(2)

式中,R(t)為貯存可靠度。

檢測(cè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果中未失效數(shù)據(jù)si可以看作是一個(gè)服從B(ni,pi)的二項(xiàng)分布的樣本,且pi=R(ti),則可以用ti時(shí)刻pi的極大似然估計(jì)對(duì)R(ti)進(jìn)行估計(jì),即

(3)

2　極小χ2估計(jì)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

2.1　常見(jiàn)的壽命分布類(lèi)型

假設(shè)H0:F∈Ρ0,Ρ0={F(·;θ),θ∈Θ}是分布族,Θ為參數(shù)空間,根據(jù)裝備貯存可靠性的相關(guān)研究,常見(jiàn)的裝備壽命分布為:

1)指數(shù)分布:

{F(t;λ)=1-e-λt,λ∈R}

2)威布爾分布:

{F(t)=1-exp(-αtβ),α,β∈R}

3)對(duì)數(shù)正態(tài)分布:

2.2　構(gòu)造χ2統(tǒng)計(jì)量

設(shè)裝備的壽命分布為F(t,θ),設(shè)pi(θ)=1-F(ti,θ),i=1,2,…,k,基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)si～B(ni,pi),則

(4)

當(dāng)ni→∞時(shí),根據(jù)中心極限定理得:

(5)

對(duì)式(5)兩邊取平方,將式(3)代入可得:

(6)

令

(7)

當(dāng)ni→∞時(shí),χ2(θ)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布是自由度為k的χ2分布。

2.3　參數(shù)估計(jì)

(8)

2.4　擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

利用極小χ2估計(jì)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果分別對(duì)上述分布函數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn),設(shè)各個(gè)分布的待估參數(shù)數(shù)量為m,則對(duì)于各個(gè)分布的χ2統(tǒng)計(jì)量的漸近分布的自由度為k-m。

擬合優(yōu)度p為

(9)

擬合優(yōu)度p值衡量假定分布與統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)據(jù)的擬合程度,p值越大,擬合程度越好,所以可以通過(guò)各個(gè)分布p值來(lái)確定壽命分布。但由于壽命數(shù)據(jù)樣本量較小,可能會(huì)造成幾種分布的p值相近,所以需要利用模糊Bayes方法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià),確定最佳的壽命分布函數(shù)。

3　模糊貝葉斯方法確定壽命分布

3.1　Bayes方法

Bayes方法能夠綜合利用歷史信息和樣本數(shù)據(jù)確定裝備的壽命分布。對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量,Bayes定理可表示為

(10)

式中,h(θ|x)為后驗(yàn)分布密度函數(shù);π(θ)為先驗(yàn)分布密度函數(shù);p(x|θ)為條件分布密度函數(shù)。

模糊Bayes方法的先驗(yàn)分布采用二級(jí)模糊評(píng)價(jià),將影響參數(shù)的各個(gè)因素劃分為若干等級(jí),按等級(jí)進(jìn)行一級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià),再按因素集進(jìn)行二級(jí)評(píng)價(jià),得到先驗(yàn)分布評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)而可以計(jì)算得到各分布的后驗(yàn)分布。

3.2　先驗(yàn)分布的模糊綜合評(píng)價(jià)

模糊綜合評(píng)價(jià)是根據(jù)評(píng)價(jià)對(duì)象和評(píng)價(jià)目標(biāo)要求建立模糊矩陣,通過(guò)各種判斷,由最佳隸屬度原則得到可靠結(jié)論的一種評(píng)價(jià)方法[10]。

模糊綜合評(píng)價(jià)的步驟為:

1)確定備擇集

設(shè)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中通過(guò)檢驗(yàn)的分布有k個(gè)分布通過(guò)檢驗(yàn),p值較大且相近。用Mk(k=1,2,…,m)表示分布函數(shù)模型,則備擇集V可由Mk組成:

V=(M1,M2,…,Mm)

(11)

2)確定因素集和評(píng)判集

綜合考慮專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析影響裝備壽命分布確定的因素建立因素集U={u1,u2,u3},其中u1代表壽命分布函數(shù)的物理背景與該型裝備壽命數(shù)據(jù)物理機(jī)制的相符程度;u2代表相似裝備壽命分布函數(shù)的選取經(jīng)驗(yàn);u3代表分布函數(shù)模型使用的方便程度。不同因素又有不同的評(píng)判等級(jí),從而建立評(píng)判集uij={ui1,ui2,…uin},其中uij為第i個(gè)因素的第j個(gè)評(píng)價(jià)。

3)確定評(píng)判矩陣

設(shè)評(píng)判對(duì)象按第i個(gè)因素的第j個(gè)uij評(píng)價(jià),備擇集中第k個(gè)元素的隸屬度為rijk,則評(píng)判矩陣為

(12)

4)確定評(píng)判權(quán)重集

評(píng)判權(quán)重集為

(13)

則第i個(gè)因素的評(píng)判權(quán)重集為

Wi=(Wi1,Wi2,…Win)

(14)

5)確定一級(jí)模糊評(píng)判矩陣

第i個(gè)因素的一級(jí)模糊評(píng)判矩陣為

Ai=Wi°Ri=(ai1,ai2,…,aim)

(15)

由此可得,一級(jí)評(píng)判矩陣為

(16)

6)確定二級(jí)模糊評(píng)判

設(shè)因素權(quán)重集為W=(W1,W2,W3),由此可得

B=W·A=(b1,b2,…,bm)

(17)

則該型裝備各個(gè)壽命分布函數(shù)的先驗(yàn)概率為:

P(Mk)=bk,(k=1,2,…,m)

(18)

3.3　壽命分布的確定

根據(jù)統(tǒng)計(jì)壽命數(shù)據(jù)和模糊綜合評(píng)價(jià)所得先驗(yàn)分布,由Bayes定理得

(19)

令P(M)=max{P(Mk|T)},(k=1,2,…,m),則相應(yīng)的Mk為最佳的壽命分布函數(shù)模型。

4　實(shí)例計(jì)算與分析

4.1　裝備壽命數(shù)據(jù)

某型裝備處于自然貯存環(huán)境下的壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1　某型裝備貯存壽命數(shù)據(jù)

4.2　極小χ2估計(jì)擬合方法確定先驗(yàn)分布

利用極小卡方估計(jì)擬合方法計(jì)算3種壽命分布的參數(shù)估計(jì)和擬合優(yōu)度值如表2所示。

從表2中可以看出,威布爾分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布均通過(guò)檢驗(yàn),且擬合優(yōu)度值相等,從數(shù)學(xué)角度分析均可作為該型裝備的壽命分布,所以將兩者作為先驗(yàn)分布進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)確定最佳的壽命分布函數(shù)。

表2　極小卡方估計(jì)擬合方法計(jì)算結(jié)果

4.3　模糊貝葉斯方法確定壽命分布

根據(jù)極小卡方估計(jì)擬合方法確定的威布爾分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布作為備擇集:

V={威布爾分布M1,對(duì)數(shù)正態(tài)分布M2}。

建立因素集和評(píng)判集如表3所示。

表3　模糊因素集和評(píng)判集

由表3評(píng)判集及兩種分布的特性、物理背景等可得評(píng)判矩陣為

確定評(píng)判權(quán)重集為

W1=(0.5,0.3,0.2);
W2=(0.3,0.4,0.3);
W3=(0.3,0.5,0.2)；

從而可以計(jì)算一級(jí)評(píng)判矩陣為

因素權(quán)重集取W=(0.4,0.3,0.3),從而可以計(jì)算二級(jí)模糊評(píng)判矩陣為

B=(0.14,0.09)。

P(T|M1)=0.4896,P(T|M2)=0.4866，

由此可得

P(M1|T)=0.61,P(M2|T)=0.39。

所以該型裝備的壽命服從威布爾分布,分布函數(shù)為

F(t)=1-exp(-0.0012t1.7538)。

5　結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)長(zhǎng)期處于貯存狀態(tài)的裝備小樣本條件下壽命數(shù)據(jù)的特點(diǎn),提出在極小χ2估計(jì)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上,利用模糊Bayes方法對(duì)先驗(yàn)分布進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)進(jìn)而計(jì)算得到各壽命分布的后驗(yàn)概率,確定該型裝備的最佳壽命分布函數(shù)模型。該方法利于程序化,且綜合考慮各分布的物理背景、裝備失效機(jī)理等信息,更能真實(shí)合理地反映裝備可靠性變化規(guī)律,具有較好的工程實(shí)用價(jià)值。