意外考試悖論和認(rèn)識論問題

陶 昱

（北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871）

一、意外考試悖論和它的變形

意外考試悖論（the surprise exam paradox）在歷史上有多個(gè)類似版本，如“突然演習(xí)悖論”“意外絞刑悖論”和“求婚者悖論”等。意外考試悖論由哲學(xué)家奧康納 （D.J.O’Connor）于1948年正式提出，并以“語用悖論”（pragmatic paradox）稱謂之。1953年，另一位哲學(xué)家蒯因 （W.V.O.Quine）將此悖論從認(rèn)知的角度重新提起，引起了熱烈的討論，于是意外考試悖論被作為認(rèn)知悖論而受到學(xué)界的重視。

意外考試悖論是這樣的：一位老師對學(xué)生宣布，在下周的5個(gè)工作日內(nèi)要考試，但哪一天不確定；這位老師宣稱，考試時(shí)間是不能被預(yù)測到的。一位學(xué)生這樣想：老師一定不會(huì)在下周五考試，因?yàn)槿绻?天不考試的話，星期五考試就成為可預(yù)測的；如果星期五不考試，那么星期四也不會(huì)考試，因?yàn)槿绻?天和星期五不考試，那么星期四考試就成為可預(yù)測的。以此類推，星期一也不會(huì)考試，因?yàn)槿绻?天不考試，那么星期一考試就成為可預(yù)測的。這樣，老師每一天都不會(huì)考試。然而，這又同老師關(guān)于下一周內(nèi)必有考試的承諾相違背。這意味著，老師必有考試的承諾和讓考試日期不可預(yù)測的承諾之間是相矛盾的。這就是意外考試悖論［1-2］。

意外考試悖論還有若干變形，例如 “例外演習(xí)”悖論、“方片A撲克牌”①即一個(gè)人拿著一堆牌向另一個(gè)人一張一張地翻開，宣稱“你不可能提前知道下一張翻到的是方片A”，推理過程與意外考試悖論類似。悖論［3］、“被選中的學(xué)生”悖論等。大多數(shù)變形和原來的悖論實(shí)質(zhì)上相差不大，值得引起注意的是“被選中的學(xué)生”悖論，讓整個(gè)推理的過程不再需要考慮人的認(rèn)知水平隨時(shí)間的變化，這對于研究意外考試悖論具有重要意義。

除此之外，有人直接從哥德爾不完備性定理出發(fā)來論證這個(gè)悖論［4］，有人將它和“薛定諤的貓”的悖論聯(lián)系起來［5］。

二、先前關(guān)于解決意外考試悖論的工作

（一）通過“二階主體操作”的理論來解決

先前，陳曉平將悖論按照其邏輯形式分為“一階”和“二階”悖論［1］。悖論的描述當(dāng)中只涉及到對象語言的稱為“一階悖論”，比如“A既是B又不是 B”。悖論當(dāng)中涉及到元語言的稱為“二階悖論”，比如“這句話是一句假話”，按照其語義分為“客觀描述悖論”和“主體操作悖論”。悖論只涉及到客觀描述的稱作“客觀描述悖論”，涉及到操作問題的稱為“操作悖論”。意外考試悖論和一系列認(rèn)知悖論被劃入“二階主體操作悖論”的范疇。由于老師的宣告“被遵守就意味著被違反，被違反就意味著被遵守”，因此它是“不可操作的”，并且由于操作的封閉性，“不可操作也是一種操作”，因此就解決了這個(gè)悖論。

本人認(rèn)為這樣的解決方案其實(shí)并不能令人滿意。首先，該方案認(rèn)為“認(rèn)知悖論這種分類方法是模糊的”，與實(shí)際情況不相符合。事實(shí)上，人的“認(rèn)知”成為一個(gè)重要哲學(xué)概念的時(shí)間由來已久，在古希臘時(shí)期柏拉圖就有“知識是可以證明的真信念”的論斷，近代又產(chǎn)生了知識的JTB（justified true belief）理論和各種對于JTB知識論的質(zhì)疑和補(bǔ)充。所謂“認(rèn)知悖論”就是直接指向人的“知識”這一概念的悖論，這里沒有什么“模糊”的地方，強(qiáng)行將這些悖論劃歸到“語義悖論”和“操作悖論”的范疇當(dāng)中，看起來沒什么道理。

其次，“操作具有封閉性”這一個(gè)假設(shè)也缺乏依據(jù)和其他工作的支持，尤其是如果已經(jīng)從其中得出了“不可操作也是一種操作”這樣看起來比較荒謬的結(jié)論，就更說明這個(gè)假設(shè)可能存在問題。陳曉平認(rèn)為引入與認(rèn)知有關(guān)的謂詞，建立認(rèn)知的邏輯“與人類的直覺相去甚遠(yuǎn)”，但是這里關(guān)于“操作”的概念可能更加遠(yuǎn)離人類的直覺。從“操作”的字面意義上來理解，由于“不可操作”這個(gè)論斷本身并沒有做出任何的操作，因此將它也當(dāng)成一種操作看起來并不合理。

并且，陳曉平在文中已經(jīng)承認(rèn)“老師的宣告被遵守就意味著被違反”，這就已經(jīng)是意外考試悖論最為核心的問題了。因?yàn)閺闹庇X來看，老師的宣告是可以不在任何程度上被違反的，如果已經(jīng)假設(shè)了“老師的宣告被遵守就意味著被違反”，就意味著默認(rèn)了意外考試悖論里面最為荒謬的地方，在此情況下，得到了“不可操作也是一種操作”，并不能被認(rèn)為就解決了這個(gè)悖論。

總而言之，通過新建一個(gè)概念，生硬地做出一些假設(shè)，在新建立的這個(gè)體系中說明悖論已經(jīng)被解決，并且既不說明舊的體系的問題，也不說明建立新的體系的技術(shù)性以外的動(dòng)機(jī)，這個(gè)方法是平庸 （trivial）的，不是一個(gè)令人滿意的解決方案。

（二）通過轉(zhuǎn)移矛盾來解決

蒯因提出，在這個(gè)悖論當(dāng)中學(xué)生所否定的實(shí)際上并非教師的宣告本身，而僅僅是“學(xué)生在教師宣告之后，立刻知道教師的宣告為真”這一假定［6-7］。也就是說，在教師宣告之后，學(xué)生所做的推理僅僅能夠得到的結(jié)論是“教師的宣告為真”這一個(gè)斷言，但這還不能夠成為學(xué)生的知識，學(xué)生并不“知道”教師的宣告是否為真。

但是，本人認(rèn)為這樣的解決方案也不令人滿意，因?yàn)檫@會(huì)導(dǎo)致其他與人的直覺相矛盾的結(jié)論。最嚴(yán)重的是，這里所產(chǎn)生的“知識”的概念與常識和直覺上的“知識”并不一致。從直覺上來講，學(xué)生是應(yīng)該知道老師的宣告為真的，沒有證據(jù)證明老師在說謊，并且教師所做出的宣告，確實(shí)有實(shí)現(xiàn)的可能性：試想，老師在下周三考試，那么從直覺上講，學(xué)生并不可能在前兩天都沒有發(fā)生考試的情況下，在周二晚上就“知道”周三會(huì)進(jìn)行考試。在這種情況下，周三的考試對于學(xué)生來講確實(shí)是“意外”的?！皩W(xué)生并不能以教師所做出的宣告不能實(shí)現(xiàn)為理由為自己在考試中發(fā)揮失常推脫。”［3］并且學(xué)生在老師宣告之后，就可以立即預(yù)見到可能周三考試的狀況，預(yù)見到從直覺上自己并不能在前兩天都沒有發(fā)生考試的情況下，在周二晚上就“知道”周三會(huì)進(jìn)行考試的情況，因此學(xué)生立刻就可以知道，教師的宣告是可以被實(shí)現(xiàn)的。

另外，學(xué)生根據(jù)自己的邏輯推理，又可以在教師宣告之后立即知道教師的宣告是不可以實(shí)現(xiàn)的。因此，拋開學(xué)生是否知道教師的宣告為真的問題，只需要考慮學(xué)生知道老師的宣告是否有可能實(shí)現(xiàn)的問題，就足以導(dǎo)出反直覺的結(jié)論：學(xué)生的知識產(chǎn)生了自相矛盾，然而自相矛盾的兩個(gè)方面，“教師的宣告可能實(shí)現(xiàn)”來源于看起來沒有問題的直覺，而“教師的宣告不可能的實(shí)現(xiàn)”來源于從看起來沒有問題的直覺出發(fā)的邏輯演繹。

誠然，蒯因通過轉(zhuǎn)移矛盾避免了直接演繹得到一個(gè)矛盾式，情況變成了只是在學(xué)生的知識中出現(xiàn)了矛盾。然而，這樣的解決方案只解決了這個(gè)悖論的一部分，還不是一個(gè)完全的解決方案；它只是削弱了矛盾，而非解決了矛盾。因?yàn)閮H僅是學(xué)生在認(rèn)識上的自相矛盾就已經(jīng)是一個(gè)令人不能接受的結(jié)論了。這個(gè)矛盾說明了人類完全符合直覺和邏輯的認(rèn)知過程有可能產(chǎn)生完全矛盾的知識（教師的宣告事實(shí)上不可能既有可能實(shí)現(xiàn)又不可能實(shí)現(xiàn)）。如果不能直接解決這個(gè)問題，或者不能將可靠的和不可靠的認(rèn)知過程區(qū)分開來，就意味著人類所掌握的所有知識都將成為不可靠的知識，這是不能接受的結(jié)論。

另外，“悖論是從一組看似合理的前提出發(fā)，經(jīng)過有效的邏輯推導(dǎo)，得出了一對自相矛盾的結(jié)論的命題”［2］。我們還需要注意到，“學(xué)生知道老師的宣告為真”本來也是“看似正確”的前提之一。除了從邏輯上否定它，還必須找出它的問題，而蒯因的工作仿佛并沒有直接說明這個(gè)命題有什么不對的地方。

總而言之，蒯因的解決方案的缺陷與之前所述的操作理論解決方案的缺陷有相似之處，即都回避了這個(gè)悖論中最重要的問題：為什么老師的宣告會(huì)有問題？事實(shí)上，把解決方法歸結(jié)于“受到否定的只是老師的宣告”，無異于將悖論的矛盾之處從一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了另一個(gè)點(diǎn)，并沒有解決矛盾。

（三）通過拒斥知識的持久性來解決

克里普克試圖通過拒斥知識的持久性來解決這個(gè)悖論。他首先分析了這個(gè)悖論依賴的一些關(guān)于知識的前提條件，也就是“公認(rèn)正確的背景知識”，共有10條：

（1）教師宣布考試將在下一周的某個(gè)時(shí)間舉行；

（2）考試將在下一周某個(gè)確切的時(shí)間舉行；

（3）學(xué)生在舉行考試的前一天并不知道考試將在第二天舉行；

（4）如果前i-1天都沒有考試，那么學(xué)生在第i-1天知道這個(gè)事實(shí)；

（5）如果某一天發(fā)生了考試，那么這一天的前面的日子沒有考試；

（6）凡是學(xué)生知道的東西都是真的；

（7）如果學(xué)生知道a并且a蘊(yùn)含b，那么學(xué)生知道b；

（8）學(xué)生知道所有的邏輯重言式；

（9）如果學(xué)生在某個(gè)時(shí)候有某個(gè)知識，那么他在這個(gè)時(shí)刻之后的每一個(gè)時(shí)刻都有這個(gè)知識；

（10）如果學(xué)生知道a，那么他知道自己知道a。

從這10條出發(fā)，就可以得出矛盾?？死锲湛藢τ谄渲械牡?條（如果學(xué)生在某個(gè)時(shí)候有某個(gè)知識，那么他在這個(gè)時(shí)刻之后的每一個(gè)時(shí)刻都有這個(gè)知識），也就是對知識的持久性提出了懷疑。由于一個(gè)認(rèn)知主體在時(shí)間流逝中可能會(huì)發(fā)現(xiàn)新的證據(jù)，并用它來反對自己之前所擁有的知識，所以知識并不是持久的。雖然有“知道蘊(yùn)含真理”的原則，而且真理是不會(huì)改變的，但是人對于真理的信念的強(qiáng)度確實(shí)會(huì)受到所見的證據(jù)的影響，有可能轉(zhuǎn)而對真理采取不相信的態(tài)度，因此拒斥原則9是有一定的依據(jù)的。美中不足的是，仿佛沒有人說明，在得出謬誤的過程中，究竟有什么新的證據(jù)足以消除認(rèn)知主體過去擁有的關(guān)于舉行考試的情況的知識。

然而，索倫森將這個(gè)悖論變形，構(gòu)造了一個(gè)“被選中的學(xué)生”的新的悖論，從而完全避開了知識隨時(shí)間變化的問題［7-8］。

“被選中的學(xué)生”是這樣的一個(gè)情形：有n個(gè)學(xué)生排成一列，教師在他們每個(gè)人后背上貼了一個(gè)五角星，只有一個(gè)同學(xué)背后的五角星是金色的，這個(gè)同學(xué)就是被選中的同學(xué)。每一個(gè)同學(xué)只能看見前面同學(xué)背后的五角星顏色，看不見自己的和后面同學(xué)的。教師宣告，這位被選中的同學(xué)并不知道自己被選中了。

然而，根據(jù)邏輯推理，每一位同學(xué)都知道這是不可能的。如果金色五角星貼在最后一位同學(xué)后背上，那么他看見前面的同學(xué)后背就知道了自己被選中了，因此被選中的不是最后一位同學(xué)。如果被選中的是倒數(shù)第二位，由于他明知最后一位同學(xué)不可能被選中，又看見之前的同學(xué)都沒有被選中，就知道自己被選中了，因此他也不是被選中的。由此類推可以得到被選中的只能是最前面的同學(xué)，這樣一來他就知道了自己被選中，因此教師的宣告不能成立。

“被選中的學(xué)生”悖論在推理過程中將時(shí)間的前后轉(zhuǎn)換成空間的前后關(guān)系，因此避免了知識隨時(shí)間變化的問題，而且其中的每一個(gè)“不可能選中第X個(gè)學(xué)生”的結(jié)論都是所有學(xué)生共同的知識。

除了索倫森之外，還有人通過質(zhì)疑JTB知識論，或者質(zhì)疑最后一條規(guī)則（也被稱為正內(nèi)省原則）來質(zhì)疑克里普克的解決方案，但正如文獻(xiàn)［3］中指出的一樣，這樣的論點(diǎn)實(shí)際上不足以構(gòu)成對于克里普克的解決方案的質(zhì)疑。

總而言之，由于索倫森的工作，克里普克雖然找到了一個(gè)解決意外考試悖論的方法，但是他的解決方案卻不能解決一個(gè)和意外考試悖論極為類似的悖論，不具有可以推廣的性質(zhì)。為了解決這一類悖論，還需要做更多的工作。

三、通過形式認(rèn)知系統(tǒng)尋找矛盾

（一）形式系統(tǒng)的建立

克里普克對意外考試悖論的解決方案被索倫森構(gòu)造的新悖論反駁，說明他的解決方案也許并未觸及這個(gè)悖論的本質(zhì)。進(jìn)一步可以斷言，通過修改人的知識和時(shí)序的關(guān)系來解決這個(gè)悖論并不能觸及到這個(gè)問題的本質(zhì)。本文擬通過在一階算術(shù)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上建立形式系統(tǒng)的方式來分析形成這個(gè)悖論的每一個(gè)前提的可靠性，進(jìn)而研究拒斥某一些原則的解決方案。哥德爾在證明不完全性定理中所做的工作表明，我們可以通過編碼的方式將所有的元語言全部用自然數(shù)來表示，稱為對字符串進(jìn)行哥德爾編碼。又由于一個(gè)函數(shù)的可計(jì)算性、可表達(dá)性和遞歸性三者之間存在等價(jià)關(guān)系，元語言中的清晰地表達(dá)對象關(guān)系的語句也可以用一階算術(shù)的形式表達(dá)。利用這種思想，我們可以將關(guān)于人類認(rèn)知的理論形式化，事實(shí)上克里普克已經(jīng)給出了意外考試悖論對應(yīng)的形式系統(tǒng)［7］。

事實(shí)上，通過形式系統(tǒng)來研究悖論有重要的意義，因?yàn)橥ㄟ^嚴(yán)密的邏輯推理，可以清晰地看見達(dá)成悖論所需要的所有前提，可以排除在推理的過程中自相矛盾的情況，這樣就可以用一種分析的方法來看待悖論的問題。對“被選中的學(xué)生”，也可以模仿克里普克的工作來建立這樣一個(gè)形式系統(tǒng)：除了一階算術(shù)已有的謂詞和公理之外，加入n個(gè)1元謂詞 K1，K2，…，Kn，此處Ki（x）解釋為第i個(gè)學(xué)生知道哥德爾編碼為x的這一個(gè)公式①在本文當(dāng)中，我們在謂詞K當(dāng)中用一個(gè)公式代表它的哥德爾編碼，例如K1（p p）實(shí)際上代表的是K1（m），其中m是公式p p的哥德爾編碼。；并加入n個(gè)0元謂詞 （也就是命題），P1，P2，…，Pn，此處Pi解釋為金色五角星粘貼在第i個(gè)同學(xué)背上。

在克里普克所提出的幾個(gè)公理當(dāng)中，以下幾條是關(guān)于人類的認(rèn)識規(guī)律的①（C1—C3）每一條都對應(yīng)著若干條公理，因?yàn)楣街械膇，j，k…可以分別取1-n的整數(shù)值，之后的（H1-H5）也是如此。：

對“被選中的學(xué)生”這個(gè)特殊的情形，由于學(xué)生對游戲規(guī)則知情，還有這么幾條基本假設(shè)（模式）：

在開始推理之前有幾點(diǎn)需要說明：

首先，在工作當(dāng)中徐召清曾指出，“知識的合取規(guī)則”，也就是 （K（A） K（B））→K（A B）應(yīng)當(dāng)作為一條新的原則被引入［3］。本人認(rèn)為這是沒有必要的，因?yàn)檫@一命題是前述的公理和形式算術(shù)其他公理的邏輯后承。在此有必要證明一下這個(gè)結(jié)論。之后，將知識的合取規(guī)則記為（CK）。

命題1

證明 由于一階邏輯的演繹定理，只需要證明

事實(shí)上，可以做這樣的演繹：

因此，結(jié)論成立。

由于 （CK）是 （C1）（C2）（C3）的后承，又考慮到 （C4），因此可以認(rèn)為每一個(gè)同學(xué)都知道知識的合取規(guī)則。其次，在關(guān)于知識的公理（C1—C3）當(dāng)中并沒有之前所說的“正內(nèi)省原則”，這是因?yàn)閷?shí)際上在“被選中的學(xué)生”這一個(gè)具體的悖論問題當(dāng)中，并不需要一個(gè)普遍的正內(nèi)省原則，而且在之前克里普克關(guān)于“意外考試悖論”的推理當(dāng)中也并沒有出現(xiàn)這一個(gè)假定［3］。但是，知識的正內(nèi)省性質(zhì)可能在其他涉及到知識論的場合很重要。另外，（C4）和（H5）事實(shí)上是正內(nèi)省原則在本問題當(dāng)中的一個(gè)特例。普遍的正內(nèi)省原則受到了很多質(zhì)疑，但是這個(gè)特例看起來易于接受。這也從另一個(gè)側(cè)面說明，普遍的知識正內(nèi)省原則并非“被選中的學(xué)生”悖論的關(guān)鍵。

其次，有必要對于幾個(gè)假設(shè)的公式給出解釋。（H1）可以解釋為，每一個(gè)學(xué)生都知道在所有學(xué)生當(dāng)中至少有一個(gè)學(xué)生被選中；（H2）可以解釋為，每一個(gè)學(xué)生都知道不可能有兩個(gè)學(xué)生同時(shí)被選中；（H3）可以解釋為，每一個(gè)學(xué)生都知道被選中的那個(gè)人不知道自己被選中了；（H4）可以解釋為，每一個(gè)同學(xué)都知道以下事實(shí)：如果某一個(gè)同學(xué)背后沒有貼金色的五角星，那么所有他后面的同學(xué)都可以看到他沒有貼金色的五角星；（H5）可以解釋為每一個(gè)同學(xué)都知道任何一個(gè)同學(xué)對游戲規(guī)則是知情的。

（二）形式系統(tǒng)的演繹

有必要驗(yàn)證之前建立的形式系統(tǒng)，從它的假設(shè)出發(fā)是否能夠?qū)С雒?。我們分若干部分來證明。

命題2

證明 在之前的證明中，可以發(fā)現(xiàn)A B可以作為A和B的邏輯后承。之后把這個(gè)規(guī)則記為CD，不再說明。

先證明 Ki（Pn→Kn（ Pj））（j＜n）。事實(shí)上可以如下演繹：因此有Ki（Pn→Kn（ P1）），Ki（Pn→Kn（ P2）），…，Ki（Pn→Kn（ Pn-1））。由于（A→B）（A→C）→（A→（B C））是一個(gè)重言式，反復(fù)運(yùn)用知識合取規(guī)則和（C2）就可以將這n-1個(gè)命題合并成一個(gè)命題，也就是 Ki（Pn→Kn（ P1P2… Pn-1））。

命題3

證明 事實(shí)上可以做如下演繹。為了縮減篇幅，用 A表示 Kn（ P1（ P2… Pn-1），B表示Kn（P1P2… Pn），C表示 Kn（（P1… Pn）（ P1… Pn-1））。

由此我們可以得出，每一個(gè)同學(xué)都知道，如果最后一個(gè)同學(xué)被選中，那么他知道他自己被選中了，這正是之前非形式化論述悖論時(shí)的一步。

命題4

證明 演繹如下：

因此，我們演繹后得到的結(jié)論是：每一個(gè)同學(xué)都知道被選中的人只能在前n-1個(gè)同學(xué)當(dāng)中。

命題5

證明 我們經(jīng)過剛才的演繹，事實(shí)上得到了：

根據(jù)一階邏輯演繹定理就有：

下面，對于n使用數(shù)學(xué)歸納法來證明：

n＝1 由于A→A是重言式，顯然成立。

假設(shè)對于n＝k，命題成立。由之前的演繹我們知道：

根據(jù)歸納假設(shè)，

運(yùn)用假言三段論（HS）就有：

由數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立，再由演繹定理知Ki（P1）。

特別地，有K1（P1）。再進(jìn)一步演繹就可以導(dǎo)出矛盾。

命題6

證明 事實(shí)上可以這樣演繹：

這樣就演繹得到了矛盾式P1P1。因此我們可以說，這樣的結(jié)果不僅是“反直覺”的，而且是“自相矛盾”的。這說明我們采用的9條假設(shè)相互之間并不相容，因此有必要考察它們中的每一條，驗(yàn)證它們的可靠性。

（三）對于各種修改方案的討論

（C1）—（C4）是關(guān)于每一個(gè)同學(xué)認(rèn)知能力的基本假設(shè)。其中，（C1）代表同學(xué)相信的都是正確的，這一條假設(shè)仿佛正確性得不到保障，并且假設(shè)教師選中了第五個(gè)人，那么通過剛才的演繹過程，中間得到的同學(xué)的某一些知識與事實(shí)是相反的，比如前四個(gè)、前三個(gè)、前兩個(gè)同學(xué)當(dāng)中都沒有被選中的同學(xué)。事實(shí)上，如果舍棄（C1），那么即使得到了“第一個(gè)同學(xué)知道自己被選中”的結(jié)論也不能導(dǎo)出邏輯上的不一致，只能夠?qū)С鐾瑢W(xué)在認(rèn)識上的不一致和矛盾①導(dǎo)出認(rèn)識上的矛盾可能還需要知識的正內(nèi)省原則。?！爸R蘊(yùn)含真理”這一條假設(shè)也確實(shí)受到了很大的質(zhì)疑，因?yàn)閺某ＷR上來講人確實(shí)經(jīng)常產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識。刪除（C1）仿佛是一個(gè)不錯(cuò)的解決方案。

然而，這里的“知道”并不完全是日常生活中的“知道”。這里同學(xué)們所“知道”的內(nèi)容都是從其他幾條假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過了嚴(yán)格的邏輯演繹過程得到的結(jié)論，所依賴的前提也僅僅是游戲規(guī)則和很難說有什么錯(cuò)誤的自己親眼所見前面同學(xué)背后沒有金色五角星的事實(shí)。實(shí)際上，如果舍棄了“經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯演繹得到的結(jié)論是真的”的假設(shè)，那么幾乎沒有什么東西是真的了?！皬恼娴闹R出發(fā)經(jīng)過合法的演繹過程得到的結(jié)論是知識（也就是真理）”是人類思維當(dāng)中極其基本的原則，舍棄它會(huì)給其他場合下解決問題帶來很大的困難，而且從直覺上講這一條也不應(yīng)該被舍棄，因此是否舍棄 （C1）是一個(gè)可以接受的解決方案還有待考慮。

（C2）（C3）是關(guān)于同學(xué)們邏輯演繹能力的公理，同時(shí)也代表著一個(gè)人相信自己演繹的結(jié)果。這也同樣是非?；镜募僭O(shè)，而且同學(xué)們顯然也應(yīng)該具有邏輯演繹的能力并相信自己的結(jié)果。雖然確實(shí)有人提出了通過拒斥認(rèn)知的封閉性來解決悖論的解決方案［7］，但是如同知識的正內(nèi)省原則一樣，這個(gè)悖論事實(shí)上并沒有用到普遍的認(rèn)知封閉性的原則，只用到了它的若干個(gè)特例②由于用到的特例數(shù)量眾多，如果一一列舉將會(huì)使得篇幅過長，因此本文中僅用了一個(gè)普遍的公理模式來表示。，并且并沒有證據(jù)表明其中任何一步的推理是錯(cuò)誤的③這里的情況仿佛與連鎖悖論有接近的地方，冗長的推理過程沒有任何一步有明顯問題，但是推出了荒謬的結(jié)論，然而正如文獻(xiàn)［3］所談到的，推理的過程沒有任何的模糊性，因而也無法用解決連鎖悖論的方法來解決這個(gè)悖論。，因此刪除它們不是可以接受的解決方法。

（C4）則是說明每個(gè)同學(xué)都知道其他同學(xué)有充分的認(rèn)知能力。如同之前所論證的，這是正內(nèi)省原則的一個(gè)特例，比起普遍的正內(nèi)省原則可靠很多，這也不是一個(gè)可以舍棄的公理。

在（H1）—（H5）之中，（H3）的可靠性是最得不到保障的④當(dāng)然，如果（H3）的可靠性有待商榷，那么包含（H3）的（H5）的可靠性也是同樣的。。（H3）是想要表述“被選中的同學(xué)不知道自己被選中”的事實(shí)，采用了“如果第i個(gè)同學(xué)被選中，那么他不知道自己被選中”的形式。這樣的一個(gè)形式是否恰如其分地捕捉到了“被選中的同學(xué)不知道自己被選中”這一句話的語義，從直觀上看來并不能確定。

一種想法是采用 Ki（Pi）的形式，但是正文中的（H3）是它的后承 （因?yàn)锳→（B→A）是重言式），因此從這一個(gè)條件出發(fā)同樣導(dǎo)致矛盾。

鑒于“被選中的學(xué)生不知道自己被選中”這句話只對一個(gè)學(xué)生對于自己有沒有被選中的認(rèn)知情況做出了斷言，而（H3）實(shí)際上對每一個(gè)學(xué)生對自己有沒有被選中的認(rèn)知情況做出了一定程度的斷言，另一個(gè)可能產(chǎn)生的想法是，讓（H3）只涉及到一個(gè)同學(xué)，這就需要將同學(xué)的編號作為變量引入，即將Pi改為P（i），Ki（m）改為 K（i，m），然后將假設(shè)改為

（H1′） ?iK（i，?！j（P（j）））可能可以更好地捕捉“被選中的學(xué)生不知道自己被選中”的意思。事實(shí)上，在這樣修改之后，先前用于導(dǎo)出矛盾的演繹過程不再適用，而且本人沒有找出從這4條假設(shè)出發(fā)得到矛盾的演繹方法，也沒有找出這個(gè)公理體系的模型，因此這幾個(gè)假設(shè)和 （C1）—（C3）是否一致還有待進(jìn)一步證明。

這樣的方法也有問題，比如同學(xué)數(shù)量是有限的，但是一階邏輯的變量的取值范圍很可能是無窮的。除此之外，認(rèn)知封閉性的原則，可能需要復(fù)雜的修改，因?yàn)樵谝胱兞恐?，如果公式A不是閉公式，那么一般不能從AB得出A→B，然而 AB本身并不是一個(gè)一階邏輯公式。另外，需要給這個(gè)形式系統(tǒng)也賦予意義，這必須要用到一階邏輯的模型。在一階邏輯的任何一個(gè)模型當(dāng)中都必須給謂詞P明確地賦值，因而也就明確了哪一個(gè)同學(xué)被選中，這就意味著任何一個(gè)模型都沒有“有一個(gè)同學(xué)被選中但是不知道是哪一個(gè)”的情況。

也許在表達(dá)當(dāng)中蘊(yùn)含模糊性，也可以更好地表達(dá)“被選中的學(xué)生不知道自己被選中”這句話的意思。這既有可能通過在一階邏輯中引入模糊性謂詞來實(shí)現(xiàn)，也有可能通過在模態(tài)邏輯中引入代表模糊性的符號來實(shí)現(xiàn)。引入模糊性，也許還可以運(yùn)用解決連鎖悖論的方案來解決這個(gè)問題①與之前提到的模糊性不同，這里的模糊性并非隱含在推理過程中，而是從推理的源頭（也就是假設(shè)）開始的。。這里引入模糊性并不是沒有理由的技術(shù)性處理，而是因?yàn)槿缰八f，“被選中的學(xué)生不知道自己被選中”這句話確實(shí)有一定的模糊性。

從技術(shù)層面來講，拒斥（H1）或者（H2）也是中斷推理過程從而避免矛盾的方法之一。事實(shí)上，這就是拒斥了“學(xué)生知道老師的宣告為真”的假設(shè)，因?yàn)槔蠋煹男婵梢苑譃?個(gè)部分：“所有同學(xué)當(dāng)中有人被選中了”；“只有一個(gè)同學(xué)被選中”；“被選中的同學(xué)不知道自己被選中”。最后一個(gè)與（H3）相關(guān)，而前兩個(gè)與（H1）（H2）相關(guān)，并且從直覺上來講這兩個(gè)一階邏輯公式非常精確地表達(dá)了“同學(xué)知道有人被選中”和“同學(xué)知道不可能有兩個(gè)人同時(shí)被選中”的意思，因此拒斥它們就等同于拒斥“學(xué)生知道老師的宣告為真”。這實(shí)際上就是蒯因的解決方案，如之前的論證所說的，這并不是一個(gè)令人滿意的解決方案。

至于還在演繹中用到了的“重言式”、形式算術(shù)系統(tǒng)的各個(gè)公理、三段論的分離規(guī)則以及假言三段論等推理規(guī)則，則是比起（C1—C3）、（H1—H5）更加基礎(chǔ)和重要的原則，舍棄它們同樣不是可以接受的解決方案。當(dāng)然，如果引入了其他的邏輯系統(tǒng)，其中的推理規(guī)則等有所不同，也就等于拒斥了這些公理中的一部分。

總而言之，在檢查了每一條假設(shè)之后，有兩種解決方案看起來是有可能被接受的，值得繼續(xù)深入研究。一種是將同學(xué)的編號i量化，在含有變量的公式中進(jìn)行邏輯演繹；另一種是引入模糊性謂詞或者符號來擴(kuò)充這個(gè)形式邏輯系統(tǒng)。兩者的出發(fā)點(diǎn)都是（H3）并沒有精確地表示“被選中的同學(xué)不知道自己被選中”這句話當(dāng)中“被選中的同學(xué)”這個(gè)概念的模糊性。然而，前者在利用模型來解釋含義的時(shí)候還會(huì)遇到問題，而兩者都由于作者水平有限，無法獨(dú)立驗(yàn)證其是否可行，只有留待以后的研究來檢驗(yàn)。

四、結(jié)語

本文回顧了“意外考試悖論”的提出及其一些解決方案。本來克里普克的拒斥知識持久性的解決方案是一個(gè)不錯(cuò)的解決方案，但是由于索倫森構(gòu)造的“被選中的學(xué)生”的悖論，這個(gè)方案也變得不令人滿意，于是本文模仿克里普克的工作建立了一個(gè)針對“被選中的學(xué)生”的公理系統(tǒng)，并且驗(yàn)證了從中確實(shí)可以導(dǎo)出矛盾。本文還就建立的公理體系討論了解決索倫森提出的悖論的方案，并且指出了舍棄“知識蘊(yùn)含真理”的原則，引入變量，或者利用比一階邏輯更加復(fù)雜的邏輯系統(tǒng)來修改對于游戲規(guī)則的表述的解決方案的優(yōu)劣。

然而，本文的工作也是很有局限的，最嚴(yán)重的是未能直接檢驗(yàn)引入變量或者利用帶有模糊性的邏輯是否能夠解決悖論，這個(gè)工作只有留待以后完成了。

致謝：感謝北京大學(xué)哲學(xué)系陳波教授和四川大學(xué)公共管理學(xué)院徐召清副教授在本文撰寫過程中給予的幫助。

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