CT系統(tǒng)的參數(shù)標(biāo)定方法

周非凡， 楊蘇娟

（南京郵電大學(xué)， 江蘇 南京 210023）

1 問題的重述

1.1 問題背景

計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)（Computed Tomography，CT）是一種最先進(jìn)的醫(yī)學(xué)影像成像技術(shù)之一，是由投影重建圖像技術(shù)，計(jì)算機(jī)技術(shù)以及相關(guān)檢測技術(shù)等多個技術(shù)學(xué)科綜合發(fā)展的結(jié)晶，它以其卓越的性能在醫(yī)學(xué)的各個領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。CT技術(shù)可以在不破壞樣品的情況下，用X射線旋轉(zhuǎn)照射樣品，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進(jìn)行斷層成像，由此獲取樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。

1.2 相關(guān)信息

在如圖1所示的典型二維CT系統(tǒng)中，該探測器以旋轉(zhuǎn)掃描方式進(jìn)行探測，多個探測器等距排列，將每個探測器視為獨(dú)立接收點(diǎn)，平行入射的X射線垂直于探測器平面。

圖1 CT系統(tǒng)示意圖

規(guī)定單元探測器數(shù)量為512個。保持X射線的發(fā)射器和探測器相對位置固定不變，整個發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某個固定旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180次，對每一個X射線方向，在探測器上測量512個等距單元探測器經(jīng)過二維待檢測介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，經(jīng)過增益等處理后得到180組接受信息。

CT系統(tǒng)安裝時往往存在誤差，導(dǎo)致影響成像質(zhì)量，為了減小誤差，需要對安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，即借助于模板標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)，并據(jù)此對未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行成像。本題中，在正方向托盤上放置兩個均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板，模板的幾何信息如圖2所示。

1.3 待解決的問題

圖2 模板示意圖（單位：mm）

圖3 10個位置示意圖（單位：mm）

根據(jù)以上給出的相關(guān)信息，對問題總結(jié)如下，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和算法進(jìn)行分析研究。

問題綜述：根據(jù)上述兩個均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板和接收信息，確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置，以及探測器單元之間的距離。

2 問題的分析

根據(jù)上頁圖3中提供的模板接收信息，我們需要求出兩個量：CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置，以及探測器單元之間的距離。

3 模型的假設(shè)

在正式處理問題之前，我們做出如下假設(shè)：

未知介質(zhì)各個位置的吸收率與該處重建圖像上反映的吸收系數(shù)成正比。

4 模型的建立與求解

解決問題需要首先分析探測器單元之間的距離，根據(jù)吸收圖譜中求得的小圓形模板對應(yīng)的探測器間隔數(shù)量以及小圓形模板直徑長度，通過比例關(guān)系，建立比例模型，求出探測器單元間距離的大小。最后確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求解多條弦中垂線的方程，對這些中垂線的交點(diǎn)求平均值確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心的位置。

4.1 比例模型求解探測器單元間距離

對于題目中給定的標(biāo)定模板，由上頁圖2中的幾何信息可知：兩個均勻固體介質(zhì)分別為橢圓和圓，其中橢圓的長半軸RL=40 mm，短半軸RS=15 mm，圓的半徑r=4 mm。以正方形托盤的左下角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為軸，豎直向上為軸，那么橢圓圓心Oe（50，50），圓的圓心坐標(biāo)Or（95，50）。

我們發(fā)現(xiàn)對于圓形模板，無論發(fā)射-接收系統(tǒng)方向如何改變，該模板的X射線吸收量出現(xiàn)數(shù)值的區(qū)間長度始終保持不變，利用MATLAB2017a隨機(jī)篩選出10組數(shù)據(jù)，通過三次樣條插值方法進(jìn)行擬合，得到如圖4的擬合曲線圖。限于文章篇幅，此處僅列出一組數(shù)據(jù)擬合曲線圖，將此圖稱之為吸收圖譜。

圖4 吸收圖譜

通過10組數(shù)據(jù)擬合曲線圖，利用MATLAB2017a編程得到小圓形模板對應(yīng)的探測器間隔數(shù)量均為N=29.12，對應(yīng)小圓形模板直徑長2r=8 mm，根據(jù)比例關(guān)系，對吸收圖譜上的長度與模板實(shí)際長度建立比例模型，求得探測器單元間距離：

4.2 旋轉(zhuǎn)中心的確定

已知整個發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某個固定旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，有512個等距單元的探測器排成一排，吸收經(jīng)過衰減后的射線能量。成排的探測器可以看作繞固定旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)形成的圓形的弦，用圖5所示的模型表示。根據(jù)圓心和弦的幾何關(guān)系可知，任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心，利用該定理建立幾何模型，求解出CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置。

圖5 CT旋轉(zhuǎn)模型

仍以上述建立的坐標(biāo)系為標(biāo)準(zhǔn)，選取其中一條弦即一組接收信息，該條弦的垂直平分線必然經(jīng)過512個等距探測器的中心點(diǎn)M，根據(jù)吸收圖譜可以得到橢圓模板中心Oe到探測器中心點(diǎn)M之間的探測器間隔數(shù)量N，利用比例模型求解出對應(yīng)實(shí)際長度：

同時，OeM的長度也是橢圓中心到該弦所對應(yīng)的垂直平分線的距離d，令該垂直平分線l的方程為：

其中：該直線的斜率k滿足k=cotθ

橢圓中心坐標(biāo)位置，將圓心坐標(biāo)代入點(diǎn)到直線的距離公式，有：

根據(jù)上述等式即可解得該條垂直平分線方程。理論上這些垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置，但是由于CT系統(tǒng)本身存在誤差以及模型的求解過程中會出現(xiàn)誤差，導(dǎo)致并沒有一個理想的交點(diǎn)出現(xiàn)。我們采用對多個交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)求平均值的方法，將該值作為CT系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心，最終求解得到即CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置為（40.756 6，56.095 3）。

[1]劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計(jì)教程（第二版）[M].北京:中國水利水電出版社,2010.

[2]莊天戈.CT原理與算法[M].北京:高等教育出版社,1992.