基于四元數(shù)模型的信號導(dǎo)向矢量求解方法

趙繼超， 王湘宇

（1.中國電子科技集團(tuán)公司第二十研究所， 陜西 西安 710000；2.西安電子科技大學(xué)， 陜西 西安 710126）

引言

在“Joint Estimation of DOA and Polarization with CLD Pair Cylindrical Array Based on Quaternion Model”一文中[1]，作者將四元數(shù)旋轉(zhuǎn)不變子空間算法（quaternion estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,Q-ESPRIT）擴(kuò)展到由共心式磁環(huán)-偶極子天線組成的圓柱陣中，但是通過陣列流形的每一列除以該列首元素求解信號導(dǎo)向矢量的表述是不正確的，該問題在文獻(xiàn)[2]第三節(jié)的公式（19）也同樣出現(xiàn)。

由文獻(xiàn)[3]可知，通過特征值分解反推得到的陣列流形，其每列與真實(shí)值存在一個模糊系數(shù)，該系數(shù)可以表示為僅含實(shí)部和第二虛部的一個四元數(shù)，由于四元數(shù)不滿足乘法交換律[4]，所以導(dǎo)向矢量是不能通過陣列流形的每一列除以該列首元素得到。

本文主要分為兩部分，首先通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明存在模糊的陣列流形，是無法通過文獻(xiàn)[1]中的方法估計(jì)得到信號的導(dǎo)向矢量；其次，基于四元數(shù)乘法的特殊性，給出了一種信號導(dǎo)向矢量的求解方法，并通過Matlab進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 文獻(xiàn)[1]中導(dǎo)向矢量求解方法錯誤的數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明

由文獻(xiàn)[1]中第四節(jié)公式（23）可知，陣列流形是通過下式估計(jì)得到的：

式中：滿秩矩陣T是通過對E#1E2（詳細(xì)可見文獻(xiàn)[1]中第4節(jié)公式（21）特征值分解得到。但是由文獻(xiàn)[3]可知，通過特征值分解反推得到的陣列流形，其每列與真實(shí)值存在一個模糊系數(shù)，可以表示為：

其中，μk表示其模值，ωk表示其相位，k=1，2，…，N。

基于式（2）和（3）可以表示為：

依據(jù)文獻(xiàn)[1]中4.1節(jié)的公式（25），信號的導(dǎo)向矢量由下式估計(jì)得到：

很明顯，公式（5）等價(jià)于下式：

因?yàn)樗脑獢?shù)不滿于乘法交換律，所以公式（6）中的不等于公式（4）中的。文獻(xiàn)[1]中求解信號導(dǎo)向矢量的方式是不正確的。由文獻(xiàn)[1]中 4.1.節(jié)公式（26）至（29）可知，信號的方位角是由信號導(dǎo)向矢量估計(jì)得到的，因此，信號導(dǎo)向矢量的錯誤會導(dǎo)致信號方位角的估計(jì)錯誤。

2 所提導(dǎo)向矢量求解方法

式中：μk＞0，θk∈（0，π），γk∈（0，π/2），因此，μksinθksinγk＞0。

式中分別表示的第一虛部和第三虛部。

首先，通過右乘e-jωk消除其相位模糊：

其次，通過左乘消除幅度模糊，從而得到信號的導(dǎo)向矢量qL（θk，φk）：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

圖1 導(dǎo)向矢量估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差

仿真實(shí)驗(yàn)部分，采用跟文獻(xiàn)[1]相同的圓柱陣，兩個信號的波達(dá)方向和極化參數(shù)也設(shè)置成一樣，即，（θ1，φ1，γ1，η1）=（72°，85°，30°，120°），（θ2，φ2，γ2，η2）=（30°，43°，67°，80°）快拍數(shù)依然設(shè)置為1 024，信噪比由0～45 dB變化，間隔為5 dB，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100。

圖2 方位角估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差

由圖1和圖2可以明顯看出，文獻(xiàn)[1]中求解信號導(dǎo)向矢量的方法是失效的，這是因?yàn)樗脑獢?shù)不滿足乘法交換律，不能簡單的通過除以首元素的方式進(jìn)行歸一化處理得到信號導(dǎo)向矢量，而本文所提的算法通過消除模糊系數(shù)的相位模糊和幅度模糊，得到正確的信號導(dǎo)向矢量。

[1]Guibao Wang，Haihong Tao，Lanmei Wang，et.al.Joint estimation of DOA and polarization with CLD pair cylindrical array based on quaternion model[J].Mathematical Problems in Engineering，vol.2014，article ID 806853.

[2]Lanmei Wang，Zhihai Chen，XuanRao，et.al Estimating DOA and polarization with spatially spread loop and dipole pair array[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2015，26（1）：44-49.

[3]Jin He，M Omair Ahmad，M N S Swamy.Extended-aperture angle-range estimation of multiple Fresnel-region sources with a linear tripole array using cumulants[J].Signal Processing，2012，92：939-953.

[4]W.R.Hamilton，On quaternions[M].Proc.Royal Irish Academy，1 843.