無失效數(shù)據(jù)的Weibull分布小子樣壽命評估模型

趙 遠，楊 琳

（1.中國電子科技集團公司第二十研究所， 陜西 西安710068；2.蘭州理工大學， 甘肅 蘭州 730050）

引言

如何高效地驗證航天產(chǎn)品高可靠壽命已成為目前迫切需要解決的工程問題。傳統(tǒng)的處理定時截尾數(shù)據(jù)的統(tǒng)計方法已經(jīng)不難滿足工程需求[1-3]。國內(nèi)外的專家們都對無失效數(shù)據(jù)問題展開了研究[4，5]。傅惠民等[2]提出了一種Weibull分布定時無失效數(shù)據(jù)可靠性分析方法，在形狀參數(shù)下限已知的情況下，給出了可靠度和使用壽命的單側(cè)置信下限。張勇波等[6]提出了一種Weibull分布定時無失效數(shù)據(jù)疲勞壽命分散系數(shù)修正方法，從疲勞分散系數(shù)的定義出發(fā)，分別對無失效數(shù)據(jù)情形下基于平均壽命、特征壽命等疲勞壽命分散系數(shù)進行了修正。在對產(chǎn)品某些特定時刻的可靠度具有較多的經(jīng)驗認識基礎上，多名專家提出了基Bayes理論的無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析評價方法[7-8]。

針對上述可靠度驗證的迫切工程問題，本文開展無失效數(shù)據(jù)的Weibull分布小子樣壽命驗證模型研究。通過該模型能夠確定Weibull分布函數(shù)的形狀參數(shù)估計區(qū)間，并且，進一步得到了產(chǎn)品使用壽命和可靠度的單側(cè)置信下限。最后，以某型產(chǎn)品的可靠壽命驗證試驗為例，應用該評估模型，給出了后續(xù)試驗方案，驗證了其工程實用性和有效性。

1 無失效數(shù)據(jù)的壽命驗證模型

1.1 驗證模型原理

無失效數(shù)據(jù)的壽命驗證模型原理如圖1所示。結(jié)合壽命試驗數(shù)據(jù)，對Weibull分布的形狀參數(shù)m進行區(qū)間估計。通過引入特征壽命的相對差值和特征壽命變化量的相對差值，來確定m的區(qū)間范圍。分別確定一定置信水平下的給定可靠度R(t)的最優(yōu)置信下限壽命。討論不同試驗子樣下，需繼續(xù)試驗時間，以選擇最優(yōu)的試驗方案來驗證產(chǎn)品的可靠壽命。

圖1 無失效數(shù)據(jù)的壽命驗證模型原理

1.2 無失效數(shù)據(jù)的壽命驗證流程

1.2.1 形狀參數(shù)估計有n個產(chǎn)品，試驗時間為t1≤t2≤…≤tn時未發(fā)生故障，其壽命分布函數(shù)為

其中，m為形狀參數(shù)，η為特征壽命。通過指數(shù)變換，得到威布爾分布的特征壽命η在1-α置信水平下的單側(cè)置信下限為：

引入特征壽命的相對差值和特征壽命變化量的相對差值來確定m的上下限。

特征壽命的相對差值為：反映了不同形狀參數(shù)下的特征壽命與最長無失效數(shù)據(jù)的相對差值，通過設定可接收的特征壽命與最長無失效數(shù)據(jù)的相對差值范圍，即Δ(m)≤0.3，能夠確定形狀參數(shù)m的下限。

特征壽命變化量的相對差值為：

反映了不同形狀參數(shù)下的特征壽命變化量的相對差值，設定可接受的特征壽命變化量的相對差值范圍，ΔηL＜0.01，不同的形狀參數(shù) m1和 m2下，特征壽命的變化量相對于試驗數(shù)據(jù)已非常小，m取m1到m2（甚至更大）之間，對特征壽命的預估影響很小。能夠確定形狀參數(shù)m的上限。

通過上述確定的m范圍，分別討論可靠度R（t）的最優(yōu)置信下限和可靠壽命tR的最優(yōu)置信下限：

1.2.2 可靠壽命驗證試驗分析

通過文獻[1]可知，

式中而由 m'下述方程得到，其中，ti為試驗得到的無失效數(shù)據(jù)，t為已知給定的工作時間（次數(shù)）。

若（5）式的解為 m*，當 m*＜m1時，取 m'=m1；當 m*＞m2時，取 m'=m2；當 m1≤m*≤m2時，取 m'=m*。若（5）式無解，當 t＞tn時，取 m'=m2；當 t＜t*時，取 m'=m1。因此，在m1≤m≤m2的無失效數(shù)據(jù)情形下，可靠度R（t）在置信水平1-α的最優(yōu)置信下限為

式中為（5）式的根。

在給定壽命T及其可靠度R0下，在原有試驗時間的基礎上，假定持續(xù)進行x時間（次數(shù)）的試驗。從而得到無失效數(shù)據(jù)變?yōu)閠i+x，通過公式（6）能夠使到：

進一步，通過（7）式，能夠得到不同樣本量k（k=1,…,n）下，的繼續(xù)試驗時間，在結(jié)合試驗成本、進度要求，選擇最有利的試驗方案，來驗證產(chǎn)品的可靠壽命。

2 實例

以某型產(chǎn)品0.8置信水平下，5 500次點火的可靠度置信下限為0.98的驗證過程為例，來說明該驗證模型的工程有效性和可行性，該產(chǎn)品點火試驗數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 試驗結(jié)果

2.1 壽命評估

1）確定m的下限值。將4組數(shù)據(jù)代人到公式（2）中，在80%置信水平下，分別計算了11個形狀參數(shù)所得到的特征壽命和相對差值，如表2所示。通過特征壽命與最大點火次數(shù)的相對差值，Δ(m)≤0.3，確定m的下限為3。

2）確定m的上限值。進一步得到了形狀參數(shù)m與特征壽命η之間的關(guān)系，分別計算了m分別取9和30下的特征壽命。特征壽命η（9）與η（30），僅相差了48次，遠小于設備點火總次數(shù)（目前已開10 000次量級）的0.5%。并且，m取9到30（甚至更大）之間，對特征壽命的預估影響很小。為了便于在無失效數(shù)據(jù)下的產(chǎn)品點火次數(shù)進行評估，取產(chǎn)品點火次的壽命形狀參數(shù)m的上限為9。

現(xiàn)計算在0.8的置信水平下，產(chǎn)品點火5500次時可靠度得置信下限。通過公式（6）得

表2 不同形狀參數(shù)下的特征壽命與方差

2.2 驗證試驗方案分析

通過（7）式，得到后續(xù)試驗次數(shù)與可靠壽命置信下限得關(guān)系式

計算得到后續(xù)開展5 805次無失效點火循環(huán)試驗，能夠驗證考核目標。

通過公式（8）給出了不同試驗方案：不同試驗樣本量的點火循環(huán)次數(shù)與可靠度下限驗證方案的對比，試驗人員可以根據(jù)時間進度、成本和場地等因素進行權(quán)衡，以選擇相應的試驗方案。

3 結(jié)論

為了高效地驗證高可靠、長壽命產(chǎn)品的可靠壽命，本文提出了一種無失效數(shù)據(jù)的Weibull分布小子樣壽命驗證模型，該模型有以下優(yōu)點：

1）通過試驗的無失效數(shù)據(jù)，在一定的置信度下得到了Weibull形狀參數(shù)區(qū)間，進一步得到產(chǎn)品的可靠性特征結(jié)果。

2）在形狀參數(shù)區(qū)間估計的基礎上，對試驗方案（試驗時間和子樣）進行優(yōu)化分析。

3）本文的模型既能充分利用無失效數(shù)據(jù)的壽命信息，又能發(fā)揮Weibull分布無失效數(shù)據(jù)可以累加的優(yōu)點。

4）本文的計算方法簡單，便于工程應用。

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