基于非線性PID的交叉耦合同步控制器設(shè)計(jì)*

盛賢君，張亞鵬，許 才

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引言

在數(shù)控機(jī)床加工制造設(shè)備中，常要求雙軸進(jìn)行同步運(yùn)動(dòng)，如龍門機(jī)床的兩平行進(jìn)給軸、鏡像加工裝備加工主軸與支撐軸等[1-2]。理想情況下，雙軸通過跟蹤運(yùn)動(dòng)指令實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)同步；但機(jī)床實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程中，由于擾動(dòng)、伺服參數(shù)不匹配等影響，導(dǎo)致單軸伺服響應(yīng)存在延時(shí)產(chǎn)生跟蹤誤差，雙軸運(yùn)動(dòng)不協(xié)調(diào)產(chǎn)生同步誤差[3]。為了減小同步誤差，一方面需要降低單軸的跟蹤誤差，提高單軸的跟蹤精度，另一方面還需要引入交叉耦合控制，以實(shí)現(xiàn)雙軸的協(xié)調(diào)同步。

數(shù)控機(jī)床的位置控制是控制輸出量的最后環(huán)節(jié)，直接影響最后的加工質(zhì)量，位置控制的優(yōu)劣決定系統(tǒng)跟蹤精度的高低[4]。傳統(tǒng)的位置伺服控制系統(tǒng)通常采用PID控制方法，但存在控制參數(shù)適應(yīng)性差、抗干擾能力不強(qiáng)等缺陷[5-7]。為了適應(yīng)機(jī)床精確的運(yùn)動(dòng)需要，提高位置伺服系統(tǒng)的跟蹤精度、抗干擾性，采用非線性PID的位置控制，其架構(gòu)簡單、控制性能較好。文獻(xiàn)[8-9]設(shè)計(jì)的非線性函數(shù)的位置PID控制器實(shí)現(xiàn)超調(diào)量小、抗干擾性強(qiáng)，但系統(tǒng)上升時(shí)間慢于PID控制。文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)的非線性PID控制器改善了伺服控制系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能，但控制器參數(shù)整定較為復(fù)雜。針對以上不足，采用非線性PID的位置控制器，并通過遺傳算法進(jìn)行離線參數(shù)尋優(yōu)，減小跟蹤誤差。

交叉耦合同步控制由美國密歇根大學(xué)Y Koren等首先提出[11]，其核心思想是在并行同步控制的基礎(chǔ)上加入軸間耦合作用，將軸間同步誤差引入交叉耦合控制器(CCC控制器)中，經(jīng)過CCC控制器內(nèi)控制算法進(jìn)行處理后，以附加信號的形式分別分配至兩軸，對軸間誤差進(jìn)行補(bǔ)償，從而能夠獲得較好的同步控制性能[12]。文獻(xiàn)[13-14]通過分析輪廓誤差與跟蹤誤差的關(guān)系設(shè)計(jì)變增益交叉耦合控制有效降低輪廓誤差。文獻(xiàn)[15]通過設(shè)計(jì)交叉耦合算法能夠有效降低機(jī)床雙驅(qū)間的同步控制誤差。

本文將對經(jīng)典的位置控制策略和直線型雙軸同步運(yùn)動(dòng)的同步誤差與跟蹤誤差幾何關(guān)系進(jìn)行分析，并引入耦合誤差變量，提出一種位置環(huán)非線性PID的交叉耦合同步控制器，以實(shí)現(xiàn)跟蹤精度和同步性的同時(shí)提高。

1 伺服系統(tǒng)位置控制器

1.1 傳統(tǒng)線性PID控制器

傳統(tǒng)PID控制器是將控制偏差的比例、積分、微分線性組合構(gòu)成控制量來控制被控對象。其控制表達(dá)式為：

(1)

式中，u(t)為控制器的輸出；e(t)為控制器的輸入，即偏差信號；Kp為比例系數(shù)；Ki為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)。

傳統(tǒng)PID控制算法對于系統(tǒng)參數(shù)變化或設(shè)定值跟蹤與抑制擾動(dòng)采用線性算法進(jìn)行優(yōu)化，很難真實(shí)地反映控制量與偏差信號之間的非線性關(guān)系，使系統(tǒng)不能獲得較佳的控制效果。為了取得更好的控制效果，準(zhǔn)確地反映控制量與偏差信號之間的非線性關(guān)系，采用非線性PID控制算法對系統(tǒng)參數(shù)變化進(jìn)行跟蹤。

1.2 非線性PID控制器

根據(jù)PID控制原理，非線性PID控制器的比例函數(shù)、積分函數(shù)、微分函數(shù)的構(gòu)造思想為：

(1)比例函數(shù)Kp(e)：比例控制主要是獲得較小的超調(diào)量，加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。當(dāng)系數(shù)輸出在遠(yuǎn)離期望值時(shí)，Kp(e)的絕對值應(yīng)該較大，而在期望值附近時(shí)，Kp(e)的絕對值應(yīng)該很小，因此構(gòu)造非線性比例函數(shù)為：

(2)

式中，ap，bp，cp為正實(shí)數(shù)，且為定值；當(dāng)誤差e趨近于無窮大時(shí)，比例增益系數(shù)Kp取最大值an+bn，當(dāng)誤差e趨近于0時(shí)，比例增益系數(shù)Kp取最小值ap。cp的值決定Kp的變化速度。

(2)積分函數(shù)Ki(e)：積分控制主要是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)系統(tǒng)誤差較小時(shí)，Ki(e)應(yīng)取較大的值，當(dāng)誤差較大時(shí)，Ki(e)應(yīng)取較小的值，這樣保證控制系統(tǒng)靜態(tài)無誤差，加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，又不會(huì)引起積分飽和而使超調(diào)增大，因此構(gòu)造非線性積分函數(shù)為：

(3)

式中，ai，bi為正實(shí)數(shù)；當(dāng)誤差e趨近于無窮大時(shí)，Ki應(yīng)取最小值0，當(dāng)誤差e趨近于0時(shí)，Ki應(yīng)取最大值ai。bi的值決定Ki的變化速度。

(3)微分函數(shù)Kd(e)：微分控制主要是加快系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)速度，增加系統(tǒng)阻尼，減小調(diào)節(jié)時(shí)間。對于微分作用在位置控制模式來說，不應(yīng)該取較大值，主要是因?yàn)槲恢铆h(huán)是最外環(huán)，響應(yīng)時(shí)間比較長，系統(tǒng)本身也有了一定的阻尼，如果微分作用較大，很容易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，甚至發(fā)生振蕩。微分作用控制較為簡單，即與偏差的變化趨勢相反即可，因此構(gòu)造非線性微分函數(shù)為：

(4)

式中,ad，bd，cd，dd為正實(shí)數(shù)；當(dāng)誤差e趨近于正無窮大時(shí)，Kd應(yīng)取最小值ad，當(dāng)誤差e趨近于負(fù)無窮大時(shí)，Kd應(yīng)取最大值ad+bd，當(dāng)誤差e趨近于0時(shí)，Kd應(yīng)取值為ad+bd/(1+cd)。dd的值決定Kd的變化速度。

由上述可知非線性PID控制器的函數(shù)表達(dá)式：

(5)

式中，u(t)為非線性PID控制器的輸出。

2 雙軸伺服系統(tǒng)同步控制器設(shè)計(jì)

2.1 同步誤差與跟蹤誤差的幾何關(guān)系

研究雙軸同步控制須關(guān)注的2個(gè)指標(biāo)：跟蹤誤差和同步誤差，設(shè)計(jì)同步控制系統(tǒng)目的是使這2個(gè)指標(biāo)盡可能快地收斂為零，定義X、Y軸的跟蹤誤差ex/y為：

ex=pxd-pxa
ey=pyd-pya

(6)

定義同步誤差eps為：

eps=px-py

(7)

式中，px、py表示X、Y軸實(shí)際位移。

雙軸同步誤差與跟蹤誤差的幾何關(guān)系如圖1所示，OD為理論雙軸運(yùn)動(dòng)軌跡；OA為實(shí)際雙軸運(yùn)動(dòng)軌跡；45°為理論軌跡與X軸夾角；Pd(pxd，pyd)為期望位置點(diǎn)；Pa(pxa，pyd)為實(shí)際位置點(diǎn)；e為跟蹤誤差；eps為同步誤差。

圖1 同步誤差與跟蹤誤差幾何關(guān)系

(8)

則同步誤差與跟蹤誤差的幾何關(guān)系為：

eps=ex-ey

(9)

為提高單軸跟蹤精度和實(shí)現(xiàn)雙軸同步運(yùn)動(dòng)，即要求ex、ey和eps都盡快地收斂為0，因此提出改進(jìn)的交叉耦合同步控制策略。

2.2 雙軸同步控制器設(shè)計(jì)

雙軸控制器不僅要求保證單軸的位置跟蹤精度，還要消除軸間的同步誤差，因此引入耦合誤差e*，其包含了各軸的跟蹤誤差和同步誤差，耦合誤差公式為：

(10)

式中，β為耦合系數(shù)，表示同步誤差項(xiàng)在耦合誤差中的權(quán)重，用于衡量控制系統(tǒng)的跟蹤性能和同步性能。耦合誤差e*作為位置控制器的輸入，任意軸位置控制器對雙軸的跟蹤誤差都做出反應(yīng)，以提高跟蹤精度和雙軸同步性。

根據(jù)傳統(tǒng)交叉耦合控制，結(jié)合式(10)設(shè)計(jì)雙軸同步控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，圖中pxd和pyd是運(yùn)動(dòng)控制器的參考位置指令；pxa和pya是X、Y軸電機(jī)實(shí)際位置；eps是同步誤差；β是耦合系數(shù)；cx和cy是交叉耦合控制器的同步誤差分配系數(shù)；Gx和Gy是X、Y軸包括速度環(huán)、電流環(huán)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)在內(nèi)的環(huán)節(jié)；Gpx和Gpy是X、Y軸位置控制器，采用非線性PID控制算法；Gc是交叉耦合控制器，采用PD控制算法，以提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和響應(yīng)速度。原理為：包含跟蹤誤差ex/y和同步誤差eps的耦合誤差e*作為位置控制器的輸入，建立兩軸的耦合關(guān)系，同時(shí)減小跟蹤誤差和同步誤差，提高跟蹤精度和雙軸同步性；同步誤差eps為交叉耦合控制器的輸入，處理獲得兩軸同步誤差補(bǔ)償控制量，將補(bǔ)償量疊加到各伺服軸，以實(shí)現(xiàn)雙軸同步運(yùn)動(dòng)。

圖2 雙軸同步控制結(jié)構(gòu)框圖

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

采用X-Y運(yùn)動(dòng)平臺(tái)驗(yàn)證提出的位置環(huán)控制結(jié)合交叉耦合控制的有效性，如圖3所示。X-Y運(yùn)動(dòng)平臺(tái)選用了日本THK公司生產(chǎn)的十字滑臺(tái)AX1015P4EY，X軸有效行程為150mm，Y軸有效行程為100mm，重復(fù)定位精度±0.001mm，螺距5mm。所用伺服設(shè)備是日本松下公司的MINAS A5 II系列伺服驅(qū)動(dòng)器及電機(jī)。

圖3 X-Y運(yùn)動(dòng)平臺(tái)

系統(tǒng)中每個(gè)伺服軸均為三環(huán)串級控制結(jié)構(gòu)如圖4所示，伺服電機(jī)編碼器作為位置環(huán)傳感器將信號反饋至伺服驅(qū)動(dòng)器及運(yùn)動(dòng)控制器中，構(gòu)成半閉環(huán)控制；速度環(huán)和電流環(huán)PID控制器內(nèi)置于伺服驅(qū)動(dòng)器中。位置環(huán)和交叉耦合結(jié)構(gòu)在LabVIEW平臺(tái)上完成，設(shè)計(jì)原理為：使用GALIL卡TP指令進(jìn)行平臺(tái)位置的反饋，通過反饋的位置指令計(jì)算出X軸和Y軸各自的跟蹤誤差，兩軸跟蹤誤差求差得到軸間同步誤差。由跟蹤誤差和同步誤差得到耦合誤差，其值作為位置環(huán)非線性PID控制器的輸入，經(jīng)過非線性函數(shù)處理將最終參數(shù)修改指令至GALIL卡；同步誤差經(jīng)過PD控制器處理后分別乘以各軸的同步系數(shù)，再以速度補(bǔ)償?shù)男问綄Ω鬏S的速度值進(jìn)行修改。

圖4 系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)

3.2 對比實(shí)驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證位置環(huán)非線性PID的交叉耦合同步控制器的有效性，采用X-Y運(yùn)動(dòng)平臺(tái)分別進(jìn)行PID+傳統(tǒng)交叉耦合、非線性PID+傳統(tǒng)交叉耦合、非線性PID+改進(jìn)的交叉耦合同步控制對比實(shí)驗(yàn)。Gc交叉耦合控制器采用PD控制器，其參數(shù)為：Kpc=100、Kdc=40；同步誤差分配系數(shù)cx=1、cy=1；耦合系數(shù)β=1.5；位置環(huán)為PID控制器時(shí)參數(shù)為：Kpx=15、Kpy=15，Kix=0.5、Kiy=0.5，Kdx=50、Kdy=50；位置環(huán)為非線性PID控制器時(shí)參數(shù)如表1所示。三組實(shí)驗(yàn)的運(yùn)動(dòng)行程PR均為10mm，電機(jī)初始速度SP均為0.5mm/s，實(shí)驗(yàn)的主要評價(jià)指標(biāo)為系統(tǒng)單軸跟蹤誤差及軸間同步誤差。

表1 非線性PID參數(shù)

圖5a、圖5b、圖5c分別為PID+傳統(tǒng)交叉耦合(方法Ⅰ)、非線性PID+傳統(tǒng)交叉耦合(方法Ⅱ)、非線性PID+改進(jìn)的交叉耦合(方法Ⅲ)三種情況下的X軸跟蹤誤差、Y軸跟蹤誤差和軸間同步誤差實(shí)驗(yàn)曲線，表2～表4分別為X軸跟蹤誤差、Y軸跟蹤誤差和軸間同步誤差的最大值、均方根值。

(a) X軸間跟蹤誤差

(b) Y軸間跟蹤誤差

(c) 軸間同步誤差圖5 軸間同步誤差、X和Y軸跟蹤誤差

實(shí)驗(yàn)條件X軸跟蹤誤差(mm)最大值均方根值PID+交叉耦合0.00200.0008非線性PID+交叉耦合0.00150.0007非線性PID+改進(jìn)的交叉耦合0.00100.0003

表3 Y軸跟蹤誤差

表4 軸間同步誤差

由圖5實(shí)驗(yàn)曲線可以明顯看出，在相同條件下，采用非線性PID+改進(jìn)交叉耦合的控制策略最佳，能夠提高系統(tǒng)的跟蹤性能，并且有效的減小軸間同步誤差。由表2～表4可知，非線性PID+改進(jìn)的交叉耦合同步控制相比于非線性PID+傳統(tǒng)交叉耦合同步控制，在X軸跟蹤誤差的最大值和均方根值上分別減少了33.33%和57.14%，在Y軸跟蹤誤差的最大值和均方根值上分別減小了33.33%和50%，在軸間同步誤差的最大值和均方根值上分別減小了33.33%和55.56%。非線性PID+改進(jìn)的交叉耦合同步控制相比于PID+傳統(tǒng)交叉耦合同步控制，在X軸跟蹤誤差的最大值和均方根值上分別減少了50%和62.5%，在Y軸跟蹤誤差的最大值和均方根值上分別減小了50%和55.56%，在軸間同步誤差的最大值和均方根值上分別減小了60%和63.64%。可見，在非線性PID的改進(jìn)的交叉耦合同步控制下，明顯提高了跟蹤精度和同步性。

4 結(jié)論

本文在分析了經(jīng)典的位置控制策略和雙軸同步運(yùn)動(dòng)的同步誤差與跟蹤誤差幾何關(guān)系的基礎(chǔ)上，并引入耦合誤差變量，設(shè)計(jì)了一種位置環(huán)非線性PID控制結(jié)合改進(jìn)的交叉耦合的雙軸同步控制器，利用X-Y運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行雙軸同步控制實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明：非線性PID+改進(jìn)的交叉耦合同步控制相比于PID+傳統(tǒng)交叉耦合同步控制，在X軸跟蹤誤差的最大值和均方根值上分別減少了50%和62.5%，在Y軸跟蹤誤差的最大值和均方根值上分別減小了50%和55.56%，在軸間同步誤差的最大值和均方根值上分別減小了60%和63.64%。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，位置環(huán)非線性PID控制結(jié)合改進(jìn)的交叉耦合的雙軸同步控制器減小了雙軸不協(xié)調(diào)引起的誤差，提高了雙軸的同步性。本文提出的同步控制器也可推廣到機(jī)床加工裝備多軸同步控制平臺(tái)，以提高各軸的跟蹤精度和多軸的同步性。

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