螺旋轉(zhuǎn)子成形銑刀廓形數(shù)值計(jì)算方法

丁國(guó)龍，余金舫，朱海峰，張雅麗

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430068)

0 引言

螺旋轉(zhuǎn)子是螺桿壓縮機(jī)、螺桿泵的關(guān)鍵零件，其輪廓形狀與輪廓精度對(duì)機(jī)械本體的運(yùn)行平穩(wěn)性，包括振動(dòng)和噪聲，關(guān)系十分密切[1-4]。關(guān)于螺旋轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)與加工，首要問(wèn)題是依據(jù)螺旋轉(zhuǎn)子的幾何形狀確定加工該零件的刀具形狀。由于螺旋轉(zhuǎn)子的形狀復(fù)雜，目前大多采用成形銑削的方法對(duì)螺旋轉(zhuǎn)子進(jìn)行加工，所以加工螺旋轉(zhuǎn)子的成形銑刀的齒廓形狀計(jì)算是確保螺旋轉(zhuǎn)子能正確加工的基礎(chǔ)[5-7]。

計(jì)算成形銑刀廓形首先需要計(jì)算成形銑刀與螺旋轉(zhuǎn)子的接觸線。主要是依據(jù)成形銑削原理[8-9]或無(wú)瞬心包絡(luò)原理[10-11]，結(jié)合接觸條件公式和坐標(biāo)變換理論來(lái)計(jì)算。這些方法都是推導(dǎo)了接觸線的參數(shù)化方程，不過(guò)這些方程都是隱函數(shù)形式的。要計(jì)算確定的接觸線坐標(biāo)時(shí)，需要求解隱函數(shù)，并且要計(jì)算偏導(dǎo)。目前，產(chǎn)品設(shè)計(jì)與制造數(shù)字化是當(dāng)前制造業(yè)的主流，尤其是復(fù)雜曲面零件，如燃?xì)廨啓C(jī)葉片、航空結(jié)構(gòu)件等，大多采用數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造[12-13]。借鑒這一思想，本文提出了基于螺旋轉(zhuǎn)子幾何特征的接觸線數(shù)值計(jì)算方法，從而避免了求解復(fù)雜隱函數(shù)方程的問(wèn)題。同時(shí)該方法計(jì)算接觸線與成形銑刀廓形曲線理論上也能達(dá)到任意精度要求，只需要增加計(jì)算程序的迭代次數(shù)。

另外，對(duì)計(jì)算出的接觸線和成形銑刀廓形的驗(yàn)證同樣是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。范晉偉[8]在Matlab中從各個(gè)角度對(duì)銑刀廓形與螺旋轉(zhuǎn)子是否干涉進(jìn)行分析，從而判斷銑刀與螺旋轉(zhuǎn)子是否吻合良好。況雨春[14]使用三維軟件建立了成形銑刀和螺旋轉(zhuǎn)子的幾何模型，也是通過(guò)觀測(cè)的方法對(duì)是否干涉進(jìn)行判斷。這種通過(guò)在可視化環(huán)境中的觀察來(lái)判斷是否干涉的方法說(shuō)服力不強(qiáng)，更缺乏科學(xué)性。本文中提出的基于數(shù)字化運(yùn)動(dòng)仿真方法，通過(guò)在MATLAB軟件中對(duì)螺旋轉(zhuǎn)子與成形銑刀的相對(duì)銑削運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，再結(jié)合誤差分析來(lái)判斷所計(jì)算的接觸線以及成形銑刀廓形的正確性。該方法能清楚地判斷出成形銑刀與螺旋轉(zhuǎn)子的接觸狀態(tài)，從理論上證明所提出的接觸線數(shù)值計(jì)算方法的正確性。

1 基于最短距離原理的接觸線計(jì)算

本文研究對(duì)象為橢圓螺旋轉(zhuǎn)子，螺旋中心為橢圓的中心。

1.1 螺旋母線

如圖1所示，在螺旋轉(zhuǎn)子模型中建立坐標(biāo)系：以底面橢圓(端截面)的短軸為X軸，長(zhǎng)軸為Y軸，以轉(zhuǎn)子的軸線為Z軸。因?yàn)槁菪D(zhuǎn)子是由底面橢圓經(jīng)過(guò)螺旋上升，掃描而成的，所以底面橢圓上的任意一點(diǎn)在螺旋轉(zhuǎn)子的柱面上都會(huì)形成一條軌跡線，在本文中將這條軌跡線稱為螺旋轉(zhuǎn)子的螺旋母線。值得注意的是底面橢圓上不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)的螺旋母線升角不同，螺旋母線升角λ的計(jì)算公式為：

(1)

式中，p表示螺旋轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程，r表示該點(diǎn)到坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離。

圖1 螺旋母線

底面橢圓任意一點(diǎn)Po(x,y)可表示為：

(2)

式中，a、b分別表示底面橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)度，u為角度變量。

任意一條螺旋母線的參數(shù)方程Ps(x1,y1,z1)可表示為：

(3)

式中，θ表示任一高度的橢圓截面相對(duì)于底面橢圓的旋轉(zhuǎn)角度。

1.2 最短距離原理

圖2為成形銑刀安裝示意圖，螺旋轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系{O;x,y,z}同圖1，成形銑刀坐標(biāo)系{Om;xm,ym,zm}以銑刀中心為原點(diǎn)，以中軸線為X軸，Y軸方向與螺旋轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系Y軸方向相同，Z軸按右手定則確定。使用成形銑刀銑削螺旋轉(zhuǎn)子時(shí)，銑刀軸線需要與螺旋轉(zhuǎn)子軸線成一個(gè)夾角λb(z軸與xm軸的夾角)，大小為：

(4)

即λb為橢圓短軸螺旋母線升角的余角。

圖2 成形銑刀安裝位置圖

使用成形銑刀加工螺旋轉(zhuǎn)子時(shí)，假定螺旋轉(zhuǎn)子被固定，則成形銑刀需要在自轉(zhuǎn)的同時(shí)，還需要沿螺旋轉(zhuǎn)子軸線方向移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)。分析該運(yùn)動(dòng)方法可知：成形銑刀與螺旋轉(zhuǎn)子的接觸線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都是一條螺旋母線。又因?yàn)槿我粫r(shí)刻螺旋母線上只有一點(diǎn)與成形銑刀相接觸，依此推斷：螺旋母線上距離成形銑刀軸線最短的那一點(diǎn)即為接觸線上的一點(diǎn)。本文將這一結(jié)論稱為螺旋母線的最短距離原理。該原理與一般計(jì)算方法所用到的公式n·V=0(n表示螺旋轉(zhuǎn)子表面上的任意一點(diǎn)的法向量，V表示該點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度[5])的本質(zhì)是一樣的。

1.3 接觸線方程

最短距離原理是螺旋母線的重要特性，利用該原理可計(jì)算螺旋轉(zhuǎn)子與成形銑刀的接觸線。

如圖3所示，空間曲線上一點(diǎn)到直線的距離計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算空間曲線上一點(diǎn)與直線上兩點(diǎn)圍成的三角形的面積(此時(shí)距離最短等價(jià)于面積最小)。之所以使用計(jì)算面積代替計(jì)算距離，是因?yàn)樵谇蠼饨佑|線方程時(shí)需要求導(dǎo)，而距離表達(dá)式中帶有根號(hào)，求導(dǎo)會(huì)使得方程更加復(fù)雜。

圖3 最小面積(最短距離)計(jì)算示意圖

已知成形銑刀軸線上一點(diǎn)Om，另一點(diǎn)Pm取為：

OPm=OOm+nm

(5)

再計(jì)算ΔPsPmOm的面積S(用ΔPsPmOm的兩條邊所對(duì)應(yīng)的矢量進(jìn)行叉乘來(lái)計(jì)算S)。由于

(6)

從而S可表示為：

(7)

式(7)最后可簡(jiǎn)化成如下形式：

S=Ax1+By1+Cz1+D

(8)

式中,A、B、C、D均為與參數(shù)a、b、p、rm有關(guān)的常數(shù)項(xiàng)。

式(8)是關(guān)于參數(shù)u和θ的關(guān)系式，表示的整個(gè)旋轉(zhuǎn)面上的任意一點(diǎn)與銑刀軸線上兩點(diǎn)的面積模型。若只考慮任意一條螺旋母線上的任意一點(diǎn)到銑刀軸向的距離，可以將參數(shù)θ事先設(shè)置為常數(shù)，以表示計(jì)算某一條螺旋母線上的接觸點(diǎn)，將大大減小計(jì)算的復(fù)雜度。所以只需要對(duì)S關(guān)于參數(shù)u求導(dǎo)，并令S′|u=0，則有：

Esin(u)+Fcos(u)+G=0

(9)

式中，E、F、G均為與參數(shù)a、b、p、rm、θ有關(guān)的常數(shù)項(xiàng)。

結(jié)合實(shí)際意義可知，S′|u=0時(shí)對(duì)應(yīng)的u值，一定是螺旋母線上到成形銑刀軸線距離最短的點(diǎn)。從而計(jì)算出u為：

(10)

式(10)即為接觸線方程。由于參數(shù)E、F、G只與θ有關(guān)，所以利用式(10)能夠計(jì)算出一個(gè)確定的θ值對(duì)應(yīng)的u值。但是在實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于參數(shù)E、F、G表達(dá)式復(fù)雜，往往會(huì)出現(xiàn)計(jì)算出的u值為復(fù)數(shù)或計(jì)算出錯(cuò)。

1.4 基于幾何特征的接觸線數(shù)值計(jì)算方法

為了避免上述問(wèn)題，提出了基于螺旋母線最短距離原理的接觸線數(shù)值計(jì)算方法。結(jié)合實(shí)例，給出具體計(jì)算方法。實(shí)例參數(shù)如表1所示。

表1 實(shí)例參數(shù)表

首先確定參數(shù)u和θ的范圍。橢圓螺旋轉(zhuǎn)子是一個(gè)雙頭螺桿，即導(dǎo)程是螺距的兩倍，所以在選取u的范圍時(shí)，只需要選取半圓即可。又由于前面設(shè)定底面橢圓的短軸與坐標(biāo)系X軸重合，長(zhǎng)軸與Y軸重合，所以選取u的范圍為[-π/2,π/2]。θ值范圍決定了螺旋轉(zhuǎn)子高度范圍，由于銑刀中心點(diǎn)高度(Z坐標(biāo))為p/4，所以接觸線Z向范圍肯定在[0,p/2]的之內(nèi)，再根據(jù)Z軸高度與θ的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

(11)

得到θ的范圍為[0,π]。

然后在參數(shù)u和θ的范圍取適量的值(例如間隔1°取值)，計(jì)算出這些點(diǎn)到成形銑刀軸線的距離，并取出最小值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。由于參數(shù)u和θ是事先選取好的點(diǎn)集，所以這些最小值點(diǎn)只是“比較接近”相同θ值的接觸點(diǎn)，導(dǎo)致這些最小值點(diǎn)的連線(近似的接觸線)并不光滑，如圖4所示。所以還需要一定的方法提高接觸點(diǎn)的計(jì)算精度。

圖4 初步計(jì)算的接觸線

如圖5所示，K1點(diǎn)、K點(diǎn)與K2點(diǎn)為在同一條螺旋母線上連續(xù)的3個(gè)點(diǎn)，且K點(diǎn)為在上一步中選取的一個(gè)距離最近點(diǎn)，從而可以確定理論的接觸點(diǎn)一定在K1點(diǎn)和K2點(diǎn)之間。所以分別在K1K和KK2之間二等分，等分點(diǎn)分別為K3點(diǎn)和K4點(diǎn)。然后選出K3、K與K4三點(diǎn)中距離成形銑刀軸線最近的點(diǎn)，再在最近點(diǎn)及其相鄰兩點(diǎn)間二等分(圖5中第3個(gè)圖表示第2次選取的點(diǎn)為K3點(diǎn))。

圖5 二分逼近法求接觸點(diǎn)

隨迭代次數(shù)的增加，二分法的誤差減小，兩個(gè)角度u和θ的誤差ue和θe與迭代次數(shù)的關(guān)系為：

(12)

式中，Δu和Δθ分別為兩個(gè)角度的初始步距角。

各個(gè)軸的誤差與ue和θe的關(guān)系為：

(13)

絕對(duì)誤差e為：

(14)

經(jīng)過(guò)迭代計(jì)算接觸線如圖6所示，迭代計(jì)算次數(shù)為10次，誤差為0.0015mm。

圖6 經(jīng)過(guò)迭代計(jì)算后的接觸線

1.5 成形銑刀廓形

使用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將定坐標(biāo)系下的接觸線變換到成形銑刀坐標(biāo)系下，變換公式為：

(15)

成形銑刀廓形方程為[5]：

(16)

由式(16)表示的平面曲線即為成形銑刀在銑刀坐標(biāo)系中xmomzm平面的截型，圖7為銑刀截形坐標(biāo)圖。

圖7 成形銑刀廓形圖

2 成形銑刀廓形驗(yàn)證

用計(jì)算出的成形銑刀廓形反求螺旋轉(zhuǎn)子的形狀，以驗(yàn)證計(jì)算的成形銑刀廓形是否正確。使用數(shù)字化運(yùn)動(dòng)仿真的方法，在Matlab中對(duì)螺旋轉(zhuǎn)子的銑削加工進(jìn)行仿真，從而對(duì)計(jì)算的接觸線或成形銑刀廓形的精確性進(jìn)行驗(yàn)證。該方法相對(duì)于文獻(xiàn)[8,14]中的方法，具有過(guò)程明確、結(jié)果直觀的特點(diǎn)，能夠科學(xué)性地驗(yàn)證成形銑刀廓形是否正確。

2.1 內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集提取

內(nèi)包絡(luò)面的點(diǎn)集提取包括四個(gè)步驟，如圖8所示。本文將此方法稱為“指定空間內(nèi)距離最短法”，該方法的具體實(shí)施步驟如下：

圖8 內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集提取流程圖

(1)點(diǎn)集生成：根據(jù)螺旋轉(zhuǎn)子與成形銑刀的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，計(jì)算出不同角度時(shí)銑刀在空間中的點(diǎn)集。相對(duì)運(yùn)動(dòng)初始時(shí)，螺旋轉(zhuǎn)子與成形銑刀的相對(duì)位置如圖2所示。由圖2可知，銑刀模型只選取[5π/4,7π/4]范圍內(nèi)的點(diǎn)集(接觸線在這一角度范圍內(nèi))，以減少計(jì)算量。在仿真運(yùn)動(dòng)需要中將螺旋轉(zhuǎn)子固定，而讓銑刀做旋轉(zhuǎn)和移動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，其旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角度β和移動(dòng)的距離h滿足以下關(guān)系式：

(17)

仿真加工運(yùn)動(dòng)完成后，銑刀運(yùn)動(dòng)生成的點(diǎn)集存在一個(gè)內(nèi)包絡(luò)面，該內(nèi)包絡(luò)面即為螺旋轉(zhuǎn)子的外輪廓。

(2)點(diǎn)集初步刪選：對(duì)銑刀的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)集進(jìn)行初步刪選，刪選條件為：①去掉Z軸方向在[0,π/2]之外的點(diǎn)；②去掉距離Z軸大于長(zhǎng)半軸的點(diǎn)。

(3)點(diǎn)集劃分區(qū)域：在初步刪選過(guò)的點(diǎn)中選出屬于內(nèi)包絡(luò)面上的點(diǎn)。選點(diǎn)的主要方法是通過(guò)將這些點(diǎn)分區(qū)域后，再選擇各個(gè)區(qū)域內(nèi)距離Z軸(螺旋轉(zhuǎn)子軸線)最近的點(diǎn)。點(diǎn)集先按Z方向分層，再按角度范圍分區(qū)域。Z方向分層和角度劃分間隔的大小可根據(jù)實(shí)際計(jì)算速度與精度進(jìn)行適當(dāng)選取。

(4)內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集提取：點(diǎn)集劃分區(qū)域后，在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都有若干個(gè)點(diǎn)，選取該區(qū)域內(nèi)距離Z軸最近的點(diǎn)，這些距離最近的點(diǎn)即組成內(nèi)包絡(luò)面，也就是螺旋轉(zhuǎn)子的外輪廓面，內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集如圖9所示。

圖9 提取的內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集

2.2 內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集誤差計(jì)算

對(duì)提取的內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集進(jìn)行誤差分析，以驗(yàn)證內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集提取算法是否正確合理。誤差分析方法主要是將提取的內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集與理論輪廓面點(diǎn)集進(jìn)行比較，判斷兩者之間的誤差是否在允許范圍之內(nèi)。

因?yàn)樘崛〉膬?nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集不是規(guī)律分布的，所以不能將內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集與理論輪廓面點(diǎn)集直接對(duì)比。由公式(3)可知，可以根據(jù)角度參數(shù)u和θ的值計(jì)算出輪廓面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值。提取的內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集中的任意一點(diǎn)雖然不一定在理論輪廓面上，但是一定可以在理論輪廓面上找到一點(diǎn)，使得過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線平行于XOY平面，并且該直線與Z軸相交。內(nèi)包絡(luò)面提取點(diǎn)與對(duì)應(yīng)理論點(diǎn)的誤差用兩點(diǎn)之間的距離差e表示，如圖10所示。在XOY平面中，由于理論點(diǎn)、提取點(diǎn)以及原點(diǎn)共線，所以對(duì)應(yīng)理論點(diǎn)的角度參數(shù)u等于提取點(diǎn)的極角。又因?yàn)槔碚擖c(diǎn)與提取點(diǎn)Z軸坐標(biāo)相同，所以對(duì)應(yīng)理論點(diǎn)的角度參數(shù)θ可由公式(11)計(jì)算。從而確定了對(duì)應(yīng)理論點(diǎn)的坐標(biāo)值。

圖10 誤差定義圖

由于理論輪廓面點(diǎn)集和提取的內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集均為螺旋面，對(duì)誤差大小的判斷不夠直觀。而螺旋面的每個(gè)截面形狀都是相同的，所以無(wú)論是理論輪廓面點(diǎn)集還是提取的內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集，點(diǎn)集中的點(diǎn)都可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使得整個(gè)點(diǎn)集形成的面變?yōu)橹?。點(diǎn)集中的各個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度與該點(diǎn)的Z軸坐標(biāo)值相關(guān)，角度值θ1可參考公式(11)，為：

(18)

公式中的負(fù)號(hào)表示點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方向與轉(zhuǎn)子的螺旋方向相反。

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換的提取內(nèi)包絡(luò)面點(diǎn)集和對(duì)應(yīng)的輪廓點(diǎn)集如圖11所示，其中，輪廓面的Z向視圖很好的顯示了輪廓提取誤差。通過(guò)數(shù)據(jù)分析，提取的包絡(luò)面點(diǎn)誤差最大值為0.2526mm，最小值為0mm，平均值為0.0478mm。誤差的主要來(lái)源為曲線離散成直線段時(shí)形成的弦高誤差，通過(guò)增加數(shù)字化的運(yùn)動(dòng)仿真中刀具點(diǎn)集的密度，可以減小提取出來(lái)的內(nèi)包絡(luò)面的誤差值。

從誤差分析可知：通過(guò)數(shù)值化的運(yùn)動(dòng)仿真形成的點(diǎn)集的內(nèi)包絡(luò)面與理論輪廓足夠接近，從而說(shuō)明文中提出的基于最短距離原理的接觸線計(jì)算方法的合理性。

(a) 提取點(diǎn)與理論點(diǎn) (b) Z向視圖

3 結(jié)論

(1)提出了螺旋母線的概念，其特征為：每一條螺旋母線上，距離成形銑刀旋轉(zhuǎn)軸最近的點(diǎn)即為螺旋轉(zhuǎn)子與成形銑刀的一個(gè)接觸點(diǎn)。所有的螺旋母線上“最短距離點(diǎn)”組成接觸線。

(2)提出了一種基于幾何特征的接觸線數(shù)值計(jì)算方法。該方法避免了理論推導(dǎo)中復(fù)雜非線性隱函數(shù)式接觸線方程在迭代求解時(shí)結(jié)果不穩(wěn)定的問(wèn)題。而且，該方法通過(guò)增加計(jì)算程序的迭代次數(shù)，能夠計(jì)算出達(dá)到任意精度要求的接觸線坐標(biāo)。

(3)接觸線的計(jì)算充分利用了螺旋母線的最短距離原理和幾何特征，包括距離計(jì)算轉(zhuǎn)化為面積計(jì)算，使用迭代法提高接觸點(diǎn)坐標(biāo)精度。目前常用的接觸線方程求解時(shí)沒(méi)有任何螺旋轉(zhuǎn)子的幾何形狀信息，純粹的方程求解，相比之下，該方法更直觀，結(jié)果更穩(wěn)定。

(4)本文提出的接觸線數(shù)值計(jì)算方法與數(shù)字化運(yùn)動(dòng)仿真方法具有普適性，適用于各種截面形狀的螺旋轉(zhuǎn)子接觸線計(jì)算及驗(yàn)證，對(duì)于具有螺旋溝槽的刀具(鉆頭、鉸刀、齒輪滾刀等的前刀面)以及斜齒輪的成形銑削和磨削加工也同樣適用。數(shù)字化運(yùn)動(dòng)仿真方法不僅能驗(yàn)證接觸線是否正確，還可以在已知銑刀形狀或成形砂輪與相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的條件下，反求螺旋轉(zhuǎn)子或斜齒輪的輪廓形狀。

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